北京中国人民大学附属中学2026-2027学年高三上学期10月质量检测练习数学试卷

人大附中2027届高三10月质量检测练习 数 学 说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题纸上填写个人信息，并将条形码贴在答题纸的相应位置上． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知命题：，，则命题是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．角的始边在轴的正半轴上，终边在直线上，则（ ） A．2 B． C．-3 D．1 4．过点可作两条曲线的切线，则点的坐标可能为（ ） A． B． C． D． 5．已知，，若，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，则“，是“，”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数图象与直线的两个交点间的最小距离为，且．若，且在区间上单调，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．某AI实验室训练大模型的训练成本与参数数量成正比，与芯片效率成反比、已知参数数量每年增长20%，芯片效率每年增长50%．某大模型今年训练成本为，若第年后（）的模型的训练成本不超过，则的最小值为（ ）（参考数据：，） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 9．已知函数，其中若，都有成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．小斌老师在上课时在黑板上画出了函数图像的一部分，然后他画了一条长度为12的线段，如图所示：端点，落在曲线上，与轴交于点，与曲线交于点．若，，则满足条件的，可能是 A．， B．， C， D．， 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11．已知向量，不共线，，．若，共线，则实数_____． 12．若函数为偶函数，则_____． 13．函数的最小值为_____． 14．在中，内角，，所对的边分别为，，，满足，其中， （1）若，则_________； （2）若，，则_________． 15．已知函数，其中，给出以下四个结论： ①对于任意正实数，为偶函数； ②记集合，则“中各项可以构成一个等差数列”的充要条件是“是正整数”； ③若有最大值，则； ④存在正整数，使得在区间中，恰好有2027个极值点． 其中正确结论的序号是：_____． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．） 16．已知为数列的前项和，满足，．数列是等差数列，且，． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）若数列的通项公式为，求数列的前项和的最小值． 17．已知函数． （Ⅰ）当时，求的单调区间与极值； （Ⅱ）若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 18．已知函数． （Ⅰ）若，的单调递增区间； （Ⅱ）已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求在区间上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 19．天宁寺塔位于北京市西城区广安门外护城河西岸，是辽代八角十三层密檐式实心砖塔，也是北京城区现存最古老的地面建筑之一．某校实践小组在护城河东岸同一水平面内选取，两个观测点，测量天宁寺塔的高度．由于塔底位于对岸无法直接到达，小组先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行35米到达点处，在点处测得塔顶的仰角为．已知，且观测点与塔底在同一水平面内． （Ⅰ）求天宁寺塔的高度； （Ⅱ）求的大小； （Ⅲ）若点在直线上（且在，之间），满足，求的值． 20．已知函数． （Ⅰ）当时，求在点处的切线方程； （Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）当时，若是在的零点，比较与的大小，并证明你的结论． 21．设是如下形式的行列的数表， 其中位于第行第列的数为，且满足时，，时，． 已知集合． 给定数表和序列：，，…，，其中，对数表进行如下变换：将的减1，加1，其余各项不变，记为；将的减1，加1，其余各项不变，记为；以此类推得到…，简记为． 记，即数表的第行各数之和． （1）当时，给定序列：，，写出，，； （2）若序列：，，…，各项互不相同，且满足第三分量等于的项至多有个． （ⅰ）当时，是否存在序列：，，…，，使得，若存在，写出一个符合条件的序列，若不存在，说明理由； （ⅱ）求的最大值，使得存在序列：，，…，，满足． 学科网（北京）股份有限公司 $