湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期第一次月考数学自编卷02（范围：必修一二、选必一1-2单元）

湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期第一次月考自编卷02 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A B D B C BCD AC 题号 11 答案 BCD 1．B 【解析】根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值. 【详解】由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 表示复数对应的点与点间的距离， 又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1， 所以. 故选：B 【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题. 2．B 【分析】根据题意可得或解方程，再利用集合元素的互异性即得. 【详解】因为，， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性， 故（舍去）， 当，解得（舍去）或，此时，满足题意， 故实数的值为. 故选：B. 3．C 【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可. 【详解】因为函数的值域是， 所以， 所以， 所以， 所以， 故函数的值域是. 故选：C. 4．A 【分析】根据集合的交集与补集运算即可得答案. 【详解】全集， 又，，则， 所以. 故选：A. 5．B 【分析】先对原函数分离常数得出，然后根据条件得出，然后根据基本不等式“1”的代换即可得解． 【详解】由题设，又，得， 整理得，且，则， u所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 6．D 【分析】根据题设定义得平面的法向量为，结合直线方向向量，求线面角的正弦值. 【详解】由过，可化为， 所以平面的法向量为，而直线的方向向量为， 所以直线与平面的所成角的正弦值. 故选：D 7．B 【分析】先利用正弦定理将已知边角等式全部化为角的关系式，借助三角形内角和与两角和正弦公式化简，消去后解出角；再由正弦定理用角表示，结合把整理成单一正弦型函数，最后根据的取值范围求出的取值区间． 【详解】由及正弦定理， 得， 因为，所以， 则有， 即， 所以， 整理得， 又，所以， 则，即， 由，得，解得， 又，所以， 由正弦定理， 所以，， 又，， 代入得 因为，所以， 则，． 8．C 【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得存在，使得成立，令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出. 【详解】存在，不等式成立， 则，能成立， 即对于，成立， 令，， 则需要大于函数在的最小值， 则，令， 所以当，，单调递增， 当，，单调递减， 又， ，，，，， 所以，所以. 故选：C. 9．BCD 【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的概念等知识逐项判断即可. 【详解】设，由得： A选项：，，不一定等于2，A错误； B选项：，B正确； C选项：表示圆心为原点的单位圆上的点到点的距离，最小值为，C正确； D选项：，D正确 10．AC 【分析】根据幂函数，对数函数，指数函数的性质判断． 【详解】∵，由在上是增函数，，故A正确； 由对数函数性质是减函数，，∴，，即，故B错误； 由是减函数得，故C正确； ，，故D错误； 故选：AC 11．BCD 【分析】当时，BP最小，结合正三角形性质，求得B到直线的距离判断A，将平面翻折到平面上，求得PA+PC的最小值判断B，由题可得平面，进而可得三棱锥的体积不变，判断C，根据球的截面的性质可得以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可判断D. 【详解】对于A，当时，BP最小，由于 到直线的距离，故A错误； 对于B，将平面翻折到平面上，如图，    连接AC，与的交点即为点P，此时取最小值AC， 在三角形ADC中，,，故B正确； 对于C，由正方体的性质可得，平面， 平面，到平面的距离为定值，    又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故正确； 对于D，由于平面，设与平面交于点， ，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为， ，， 在以为圆心，为半径的圆上，    由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ， 故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内， 交线长为，故正确． 故选：BCD. 12． 或 【分析】分离常数可得，根据函数的中心对称点以及对称轴方程，通过图像的平移即可求解. 【详解】， 由于函数图象的对称中心为坐标原点，对称轴方程为， 将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位， 可得到函数的图象， 所以，函数的图象的对称中心的坐标是， 对称轴方程为或， 即或. 故答案为：；或. 【点睛】本题考查了函数的中心对称点、对称轴方程，属于基础题. 13． 【分析】判断的范围，再利用给定函数的性质，结合对数概念及运算计算作答. 【详解】，，则， 又 ，即，因此，而函数为奇函数， 所以． 故答案为： 14．/ 【分析】设复数，确定复数z对应的点在圆上，结合的几何意义以及圆的性质，即可求得答案. 【详解】设复数，则， 即复数z对应的点在圆上， 而表示的是z对应的点和复数对应的点之间的距离， 则的最大值即为圆上的点和点之间的距离的最大值， 由于，即在圆外， 则圆上的点和点之间的距离的最大值为， 即的最大值为， 故答案为： 15．（1）-1；（2）. 【分析】（1）利用对数的运算法则，对数恒等式即可得出答案； （2）利用指数幂的运算法则即可得出答案. 【详解】解：（1）原式= （2）原式= 16．(1)列表如下： 作出函数在一个周期内的图象如下图所示： (2) 【分析】（1）根据“列表描点连线”可作出函数在一个周期上的图象； （2）由已知条件可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出，再利用两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）略 （2）因为，且，所以，， 所以，， 因此， . 17．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）连接、，利用三角形全等证明、，得出四边形是平行四边形，再证明平面； （2）证明，，得出平面，即可证明平面平面. 【详解】证明：（1）连接、，如图所示: 由E，F分别是，的中点， 所以， 又， ， 所以， 所以； 同理， 所以四边形是平行四边形； 所以； 又平面，平面， 所以平面； （2）正方体中， 平面，平面， 所以； 又，且， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的证明问题，也考查了推理与证明能力，是中档题. 18．(1) (2) 当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是430元. 【详解】（1）        （2）当时 ，                        当时， 当且仅当时，即时等号成立               答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是430元. 点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，在解题的过程中，注意认真审题，找出等量关系式，求得函数解析式，之后应用函数的解析式求得函数的最值. 19．(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高二上学期第一次月考自编卷02 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册第1-2单元。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，若，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．5 3．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，，若，则的最小值为（　　） A．9 B． C．3 D． 6．在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 7．设的内角的对边分别是，若，且，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分 9．已知复数满足，是的共轭复数，则（    ） A． B． C．的最小值为1 D． 10．已知实数a，b，c满足，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，正方体棱长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（    ）      A．的最小值为 B．的最小值为 C．当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．函数的图象的对称中心的坐标是_________；对称轴方程是_________. 13．已知奇函数对任意实数满足，且当，，则__________ 14．复数满足，则的最大值为________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．计算（1）； （2）． 16．已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)若，且，求的值. 17．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点， （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 18．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元.已知这种水果的市场售价为16元/千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）． （１）求的函数关系式； （２）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 19．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $