上海市南洋中学2026-2027学年高二上学期10月学习能力诊断测试数学试卷

2621高二年级数学学科10月学习能力诊断测试题 （满分150分，考试时间120分钟) 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果， 1.空间两条异面直线l与1，所成的角日的取值范围是 (用区间表示) 2.已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为上， 3.已知在正方体ABCD-4BCD中，4E=14C,若正=x4+y(丽+D), 则x+y= D E B B 第3题图 第4题图 第5题图 4.在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成角的大小为_· 5.如图，在三棱台ABC-ABC的9条棱所在直线中，与直线AB是异面直线的共有 条。 6.已知a、bc是直线，B是平面，b、ccB,则“a⊥平面B”是“a⊥b且a⊥c” 的 条件。 7.如图，正方形ABCD边长为1cm,它是水平放置的某一个平 面图形的直观图，则原图形的面积是cm. 8,如图，底面ABCD为正方形，顶点V在底面上的射影为正方 形ABCD的中心，侧面BC与底面ABCD所成的锐二面角为：， 侧棱B与底面ABCD所成的角为B,则anC tan B 第1页共4页 9.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称 为正广，非高腰边称为邪.如图，底面ABCD为邪田，两畔CD、AB 的长分别为1、3，正广AD长为2√5，PD⊥平面ABCD,则邪所 在直线与平面PAD所成角的大小为. D1 C 10,在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别为棱 A4BB的中点，G为棱AB上的一点，且AG=(0<2<2), 则点G到平面DEF的距离为一· C 1.己知ā、方是空间相互垂直的单位向量，且日=10， ca=c方=3N2,则c-ma-nb的最小值是 2W2 12.体积为 的正四面体内有一个球O,球O与该正四面体的各面均有且只有一个公共 3 点，点M,N是球O的表面上的两动点，点P在该正四面体的表面上运动，当MW最大 时，PM·PN的最大值是一， 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂 势既同，则积不容异”.如图，己知两个体积分别为， ”,的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这 两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别 为S,S2,则“=V”是“S=S,”的( A.充分不必要条件； B.必要不充分条件： C.充分必要条件； D.既不充分也不必要条件. 14.对任意直线a,平面上必有直线b,使b与a成为( A.平行直线； B.相交直线： C.异面直线： D.垂直直线. 第2页共4页 15.在正方形SGG2G中，E、F分别是GG2G,G3的中点，D是 EF的中点.现在沿SE、SF及EF把这个正方形折起，使 G、G2G3三点重合，重合后的点记为G,那么(). A.GF⊥平面SEF; B.GD⊥平面SEF; C.SD⊥平面EFG; D.SG⊥平面EFG. 16.点P为平面ABC外的一点，点M是棱BC上的动点（包含端点），记异面直线PM与AB 所成角为a,直线PM与平面ABC所成角为B,则a与B的大小关系为(). A.a>B;B.a≥B; C.a≤B; D.a<B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形，PA=AB=1, AD=2,点F是PB的中点，点E在边BC上移动. (1)求异面直线PB与AD所成角的大小： D (2)证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE. 18.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，己知正四棱柱ABCD-ABCD,底面ABCD的边长为 2,A4=3. (1)求二面角A-BD-A的大小；（结果用反三角形式表示） (2)求点A到平面ABD的距离. 19.(本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分) 某种“笼具”由上、下两层组成，上层和下层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱 与圆锥的底面半径相等，如图所示：圆锥无底面，圆柱无上底面有下底面，内部镂空，已 第3页共4页 知圆锥的母线长为20cm,圆柱高为30cm,底面的周长为24πcm. (1)求这种“笼具”的体积； (2)现要使用一种纱网材料制作这样“笼具”的保护罩（包括 底面)50个，该保护罩紧贴包裹“笼具”，纱网材料（按实测面积计 算)的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到01元） 20.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，AB/1CD,AB⊥BC,AA=AB=BC=2, CD=3,点E为AB的中点，点F在AC上，且满足 4织=，点G在4D上，且满起49-名 A4C 3 AD 3 G -‘A (1)求直四棱柱ABCD-ABCD的侧面积： (2)以点A为坐标原点，以AB为y轴正半轴，以 A4为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，分别求向量AG AE AF的坐标； (3)判断直线AG是否在平面AEF上，并说明理由. 21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 如图，已知直三棱柱AB,C,-ABC中，∠ABC=90°且 B AB=4,BC=BB=2,D、E、F分别为AC、BC、BB的中 点，G为线段DE上一动点， (1)求直线C,F与平面ABC所成角的正切值； (2)证明：CF⊥AG; (3)求锐二面角C-AG-B,的余弦值的最大值. 第4页共4页