精品解析：上海市吴淞中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

2025-2026学年度吴淞中学高二数学10月月考卷 一、填空题 1. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 2. 已知，，若与共线，则_________. 3. 已知是斜率为的直线的倾斜角，计算______________． 4. 如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________. 5. 已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 6. 一个上底面边长为1，下底面边长为4，高为3的正四棱台的体积为________. 7. 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 8. 如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过直线作与平面平行的截面，则该截面的面积为______． 9. 一个圆柱形容器内放一个实心圆锥（同底等高），得到如图所示的容器，其体积为．现从上往下向容器内注水，当水位恰好在圆柱母线中点处时，记所注水的体积为，则________． 10. 已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A，不重合）．给出下列结论： ①存在点P，使得平面平面； ②对任意点P，都有； ③面积的最小值为； ④若是平面与平面的夹角，是平面与平面的夹角，则对任意点P，都有．其中所有正确结论的序号是_________． 12. 已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点.若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是__________; 二、单选题（共20分） 13. 给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（ ） ①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且 ，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 异面直线所成的角为定值 C. 直线与平面所成角为定值 D. 三棱锥体积为定值. 15. 如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（　　） A. B. 平面 C. 平面 D. 平面平面 16. 已知中，，，为斜边上一动点，沿将三角形折起形成直二面角，记，当最短时，（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共76分） 17. 已知直线过点 （1）若直线的倾斜角为，求实数的值； （2）求直线的斜率. 18. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点. （1）证明：直线平面； （2）若，求三棱锥的体积. 19. 如图，是半球的直径，为球心，，，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且. （1）证明：平面平面； （2）若点在底面圆内的射影恰在上，求点到平面的距离. 20. 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND． （1）在翻折过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论； （2）当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 21. 在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G． （1）若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； （3）设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度吴淞中学高二数学10月月考卷 一、填空题 1. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【详解】正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角， 而，因此. 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为： 2. 已知，，若与共线，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示得出的值. 【详解】因为与共线，所以，所以，，则. 故答案为： 3. 已知是斜率为的直线的倾斜角，计算______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 4. 如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可得出答案. 【详解】设圆锥的母线长为， 所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：， 所以，所以圆锥的高. 故圆锥的体积为：. 故答案为：. 5. 已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的底面积和侧面积公式求出圆柱的底面圆半径和高，再根据圆柱的体积公式即可得解. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 由题意可得，解得， 所以圆柱的体积. 故答案为：. 6. 一个上底面边长为1，下底面边长为4，高为3的正四棱台的体积为________. 【答案】21 【解析】 【分析】由已知求出正四棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解． 【详解】由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与正四棱台的体积相等， ∵正四棱台的上下底面边长分别为1和4，则上底面积，下底面积，棱台的高， 则棱台体积， 故答案为：21. 7. 已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解； （3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 8. 如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过直线作与平面平行的截面，则该截面的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】取，的中点分别为，连接，先证明四边形是平行四边形，再利用面面平行的判断定理证明平面平面，可得平行四边形即为所求的截面，再计算其面积即可. 【详解】取，的中点分别为，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 因为所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以四边形是平行四边形， 因为，平面，平面， 所以平面， 同理可证平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因此过点作与平面平行的截面，即是平行四边形， 连接，作于点， 由，， 可得， 所以， 所以平行四边形的面积为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是找出过与平面平行的截面，所以想到作平行线，利用面面平行的判断定理证明所求的截面即是平行四边形，先求四边形一半的面积，乘以即可得所求平行四边形的面积，也可以直接求菱形的面积. 9. 一个圆柱形容器内放一个实心圆锥（同底等高），得到如图所示的容器，其体积为．现从上往下向容器内注水，当水位恰好在圆柱母线中点处时，记所注水的体积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱，圆台及圆锥的体积公式计算求解. 【详解】设圆柱底面半径为，当水位恰好在圆柱母线中点处时水面截圆锥的半径为， 记所注水的体积为是圆柱体积的一半减去圆台体积，则 所示的容器体积为是圆柱体积减去圆锥体积，则 则． 故答案为：. 10. 已知四棱锥的5个顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可知四点共圆，可得，由余弦定理可得，且，再根据外接球直径利用勾股定理计算出外接球半径，可得球的表面积. 【详解】根据题意可知四边形的顶点在同一个圆上，连接，如下图所示： 易知，又， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得; 又易知，所以可得， 解得，又，所以， 可得，即， 设四边形的外接圆半径为，由正弦定理可得， 解得， 又平面，且， 设四棱锥的外接球半径为， 可得，即； 因此外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用四点共圆性质得出对角线，再由正弦定理求出外接圆半径，再根据线面垂直关系可得外接球半径可得结果. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A，不重合）．给出下列结论： ①存在点P，使得平面平面； ②对任意点P，都有； ③面积的最小值为； ④若是平面与平面的夹角，是平面与平面的夹角，则对任意点P，都有．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①可通过线面垂直的判定定理找到点P；②③④都可以通过建立空间直角坐标系解决，其中通过向量的长度可以对②进行判断；利用两条直线所成的角和三角形面积公式可以判断③；求出三个面的法向量，并求出和，即可对④进行判断. 【详解】①因为，在上取点使， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故①正确； ②以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图 ，，，，则，， 设，则，, 从而，，所以，故②正确； ③由②，，， ，， 当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为，故③正确； ④平面的法向量，平面的法向量， 设平面的法向量， 由即得， 令得， 则，， 令得或，而，故， 从而对存在点P，使得，而不大于直角， 故，故④错误； 故答案为：①②③. 12. 已知异面直线所成角为，直线与均垂直，且垂足分别是点.若动点，则线段中点的轨迹围成的区域的面积是__________; 【答案】 【解析】 【分析】构造线段的中垂面，求得点的轨迹，从而求得的轨迹围成的区域的面积. 【详解】设线段的中垂面为，则的轨迹在平面内， 在平面内分别作直线的投影，则两直线的夹角为， 设在平面的投影为， 设在平面内的投影为， 则为的中点， 所以， 因为，所以， 在直线上分别取点四点， 使得， 因为， 所以， 过作交于， 则， 所以的中点在上， 同理可得在上， 所以的轨迹是矩形， 因为， ， 所以. 故答案为： 【点睛】求解空间异面直线所成角有关的问题，关键点在于如何利用两异面直线所成的角，根据异面直线所成的角的概念，可在空间一点作两条异面直线的平行直线，从而可得异面直线所成角. 二、单选题（共20分） 13. 给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（ ） ①三个不同的点确定一个平面； ②一条直线和一个点确定一个平面； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④两条平行直线确定一个平面. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面公理及推论即可判断. 【详解】由三个不在同一直线不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 空间两两相交的三条不能交于同一点的直线确定一个平面，故③错误； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 故选：C 14. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且 ，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 异面直线所成的角为定值 C. 直线与平面所成角为定值 D. 三棱锥体积为定值. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BD交AC于O，连接OE，由正方体特征得平面判断A；由是平行四边形，得到，则是异面直线所成的角求解判断B；由平面，得到是直线与平面所成的角求解判断C；由四面体的体积为判断D. 【详解】如图所示： 对于A，连接BD交AC于O，连接OE，易知， 由平面，平面，则， 由，且平面，则平面， 由平面，则，对； 对于B，，则是平行四边形，则， 所以是异面直线所成的角，又平面， 则，而OE不是定值，则不是定值，不是定值，错； 对于C，由平面得是直线与平面所成的角，且为定值，对； 对于D，三棱锥的体积为 为定值，对. 故选：B 15. 如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（　　） A. B. 平面 C. 平面 D. 平面平面 【答案】D 【解析】 【分析】利用反证法可判断A；由二面角的变化可判断B；利用反证法结合面面平行的性质可判断C；利用面面垂直的判定定理可判断D． 【详解】对于D选项，翻折前，，， 翻折后，，， 因为，、平面，则平面， 因为平面，所以平面平面，故D正确； 对于B选项，因为，， 则二面角的平面角为， 在翻折的过程中，的大小会发生变化，故与不一定垂直， 所以与平面不一定垂直，故B错误； 对于A选项，设， 在图一中，， 又因为，所以，， 因为，所以， 所以，则， 在图二中，过点在平面内作，交于点，连接， 则，故，则， 因为，所以不是的中点， 因为，，则， 若，因为，、平面， 则平面， 因为平面，所以， 因为、平面，且，所以， 因为为的中点，则为的中点，与已知矛盾，故A错误； 由选项A知，因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则，、平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，则， 因为为的中点，则为的中点，与已知条件矛盾，故C错误． 故选：D． 16. 已知中，，，为斜边上一动点，沿将三角形折起形成直二面角，记，当最短时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面垂直得线面垂直，进而得线线垂直，由锐角三角函数以及余弦定理分别表示的长度，进而由勾股定理，结合三角函数的形状即可求解最值. 【详解】如图2，过点作于点，连接， 由于平面平面，且两平面的交线为,平面， 所以平面，平面，故， 所以， 由于在直角三角形中，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以 ， 故当时，最小，此时（由于），故. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查了空间中垂直关系的转化：面面垂直-线面垂直-线线垂直.灵活利用垂直关系得新的垂直关系是解题的关键.在平面图形翻折形成立体几何体的过程中，要明确改变的量和不发生变化的量，注意把平面图形与立体图形结合起来找到解题的突破口.线段的长度的求解，多需要借助于直角三角形的勾股定理，必要时也可利用向量的模长求解. 三、解答题（共76分） 17. 已知直线过点 （1）若直线的倾斜角为，求实数的值； （2）求直线的斜率. 【答案】（1）； （2）且. 【解析】 【分析】（1）根据斜率的两点式及斜率与倾斜角的关系列方程求参数值； （2）应用斜率两点式求斜率，注意参数取值. 【小问1详解】 由题设，可得，即； 【小问2详解】 由题设，当时，直线不存在斜率， 所以，则. 18. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是下底面圆周上一点，点是线段中点. （1）证明：直线平面； （2）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 连接，令，连接DE，则E是、的中点， 在△中D是线段BC中点，E是的中点， ∴，又平面，平面， ∴直线平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，令，连接DE，要证直线平面，只要证，根据三角形的中位线容易证得； （2）根据已知求出相关线段长，再由求棱锥体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为， ∵点在底面圆上， ∴， ∵，D是BC的中点， ∴，， 因为是圆柱的轴截面，则到AB的距离，即到平面的距离， 所以. 19. 如图，是半球的直径，为球心，，，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且. （1）证明：平面平面； （2）若点在底面圆内的射影恰在上，求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接，如图，是半圆上的两个三等分点， 则有， ∵， ∴都是正三角形. ∴， 四边形是菱形，， ∵，平面， ∴平面，平面 ∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】(1)由面面垂直的判断定理可知，要证平面平面，只需证一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线即可，根据，结合题意只需证明，即四边形是菱形即可； (2)由(1)可得平面，结合已知条件可得点P在底面圆内的射影是与的交点Q，在中，由勾股定理计算，求出，再根据即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知，平面PON， 所以平面平面OMNB，平面PON∩平面OMNB=ON， 则点P在底面圆内的射影在ON上， 又点P在底面圆内的射影在BM上， 点P在底面圆内的射影是ON与MB的交点Q， ， 故， 在中，由余弦定理，可得， 故，故， 在中，， 故， 故. 由，可得， 即，所以， 点到平面的距离为. 【点睛】 20. 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，，．沿MN将翻折到的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND． （1）在翻折过程中是否总有平面平面PAG？证明你的结论； （2）当四棱锥P-MNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在翻折过程中总有平面平面PAG， 证明如下：∵点M，N分别是边BC，CD的中点，∴， 又因为菱形ABCD中∠DAB＝60°，∴是等边三角形， ∵G是MN的中点，∴， ∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴，∴， ∵，平面PAG，平面PAG， ∴平面PAG，∴平面PAG，∵平面PBD，∴平面平面PAG． （2） （3） 假设符合题意的点Q存在． 以G为坐标原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 因为平面PMN，故平面PMN的一个法向量为， 设，∵，， 故，∴，， 平面QMN的一个法向量为，则，， 即，令，所以， 即， 则平面QMN的一个法向量，设二面角的平面角为， 所以，解得：， 故符合题意的点Q存在，且Q为线段PA的中点． 【解析】 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面PAG. （2）首项判断出平面MNDB时，四棱锥P-MNDB体积最大，作出直线PB和平面MNDB所成角，解三角形求得其正弦值. （3）建立空间直角坐标系，设，根据二面角的余弦值求得，由此确定点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且DB＝4，MN＝2，， 所以等腰梯形MNDB的面积， 要使得四棱锥P-MNDB体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可， ∴当平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为， 此时四棱锥P-MNDB体积的最大值为， 连接BG，则直线PB和平面MNDB所成角的为∠PBG， 在中，，，由勾股定理得：． ∴． 【小问3详解】 略 21. 在棱长均为2的正三棱柱中，E为的中点．过AE的截面与棱分别交于点F，G． （1）若F为的中点，试确定点G的位置，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的正切值； （3）设截面AFEG的面积为，面积为，面积为，当点F在棱上变动时，求的取值范围． 【答案】（1） 在平面内延长，相交于点P，则平面，又平面， 则有平面平面，，即A，G，P三点共线． 因为E为的中点，F为的中点，所以，所以，又因为，所以， 所以，即点G为棱上靠近点的三等分点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长，相交于点P，证明，可确定点G的位置； （2）利用几何方法找到截面AGEF与底面ABC所成锐二面角的，求得相应有边长，可得二面角的正切值； （3）由，通过构造函数，利用单调性求取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内延长，相交于点Q，连接，则平面平面， 在平面内作于点M，则平面ABC， 又平面，所以， 在平面内作于点N，连接， 又平面，，所以平面， 平面，所以， 所以为截面与底面所成锐二面角的平面角． 在中，作于点H，，，，， ，， 由余弦定理，则， ，可得，所以， 又，所以， 故截面与底面所成锐二面角的正切值为. 【小问3详解】 设，则，． 设的面积为S，所以， 又因为，所以，且， 故，令，则， 设， 当时，， ，，，则，即， 所以在上单调递减， 所以，，所以， 所以． 【点睛】方法点睛： 空间图形中确定点在直线上的位置，三角形相似和比例线段比较常用；作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；边长比、面积比的限值范围，可以通过构造函数，利用单调性解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $