浙江天域名校协作体2027届高三上学期10月学科练习数学试卷

高三数学学科练习 注意事项： 1．本题共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效． 4．结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，i为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 3. 已知，，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 若将函数的图象向左平移个单位后的函数图象关于y轴对称，则可取值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知事件与事件同时发生时，事件必然发生，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设，分别为数列，的前项和，且，则当取得最大值时， A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 7. 已知函数，则（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 10 8. 设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 掷一枚质地均匀的骰子，连续抛掷4次，记录每次朝上的点数．若该组数据的平均数为3，则（ ） A. 中位数可能为3 B. 极差可能为1 C. 众数可能为2 D. 方差可能为6 10. 在棱长为2的正四面体中，点在平面内，且，则下列说法正确的有（ ） A. 点的轨迹是圆 B. 三棱锥的体积最大值为 C. 存在点，使得 D. 的最小值为 11. 已知奇函数和偶函数的定义域均为，其导函数分别为，，且，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 对任意，都有，那么的取值范围为 D. 若直线与函数、函数的图象分别交于、两点，函数在点处的切线与函数在点处的切线相交于，则的最小值为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两单位向量，满足，则，的夹角为______． 13. 已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则______． 14. 设数列满足，，，记为不超过实数的最大整数，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对应的边分别为，，，，． （1）求； （2）若，求． 16. 如图，在三棱柱中，为边长为2的正三角形，顶点在底面的投影为线段的中点，已知直线与平面所成的角为，为棱上一动点． （1）求三棱锥的体积； （2）若，求平面与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）求证：函数在上存在唯一极值点； （2）设为（1）中的极值点，求证：对任意，都有． 18. 已知椭圆：，点在椭圆上，为坐标原点，，关于原点对称，设直线斜率为，过点作斜率为的直线交轴于点，直线与椭圆交于另一点． （1）证明：直线与直线斜率之和为定值； （2）若直线，直线，直线的斜率依次成等比数列，求的值； （3）求外接圆圆心的纵坐标的最大值． 19. 已知，，…，为1，2，…，的一个排列，定义一次划分变换：把小于的数按照原排列的顺序排在左边（若没有小于，则其左侧不放任何数）；把大于的数按照原排列的顺序排在右边（若没有大于，则其右侧不放任何数），得到新的数列记为，其中，，． （1）若排列为4，2，3，1，写出以及； （2）对于任意有限排列，必定存在正整数使得．记使得成立的最小的正整数为随机变量，且表示满足的排列的个数，其中． （ⅰ）若，求的值（用表示）； （ⅱ）证明：． 高三数学学科练习 注意事项： 1．本题共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效． 4．结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】1023 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）由，则， 令，，则，则在上单调递减， 令，，则， 当，，则在上单调递减；当，，则在上单调递增， 所以，所以，即，所以， 由，则，所以， 所以存在唯一零点，使得， 当，，即；当，，即， 因此是的唯一极值点，证毕． （2）由（1）可知是极大值点，所以对任意，都有． 因此只需证明不等式：对任意，都有． 由，得，得， 则， 则， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 故，即，证毕． 【18题答案】 【答案】（1）设，则，则直线的斜率为， 又直线AD的斜率为，则直线AD的方程为， 又点在轴上，则点的坐标为， 则直线的斜率为， 所以直线与直线斜率之和为（定值），证毕． （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）：2，3，1，4，：1，2，3，4 （2） （ⅰ） （ⅱ）解法一：， 当时，，从而，满足结论． 当时，由（ⅰ）得. 令，则 又因为， 于是． 综上，． 记，则， 于是单调递增，从而，当且仅当等号成立． 所以，即． 故． 命题得证． 解法二：当时，，从而，满足结论． 当时，将1，2，…，m任意排列得到随机排列A：， 使得成立的最小的正整数k为X，记此时X的期望为． 设A：中，则t等可能地取1，2，…，m， 故，． 对A作用一次划分变换F 若，则没有小于1的数，变换后排列不变，此时； 若，则： 其中是1，2，…，的一个排列， 并且此后的划分变换F只对左侧的个数起作用，右侧大数保持相对顺序不变， 此时满足，后续需要的最少次数的期望为， 于是，在的条件下，有， 故， 即①，从而②， ①-②得，即③ 易知，，容易验证满足， 从而有， 记，则， 于是单调递增，从而，当且仅当等号成立． 所以，即． 故． 综上，X的期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $