精品解析：江苏省南菁高级中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段考试数学试题

高三数学第一学期第一次阶段考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用一元二次不等式求解集合，再应用值域得出集合，最后应用交集定义计算求解. 【详解】集合，， 则. 故选：B. 2. 已知向量不共线，，则 是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的概念分析即可. 【详解】因为向量不共线，可知均非零向量， 由，可知，则，满足充分性； 若，则，即，所以，解得， 满足必要性， 所以是“”的充要条件. 故选：C 3. 复数满足，则（     ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的分母实数化进行化简求得，利用公式求解模长即可. 【详解】， 所以1. 4. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设，则，故排除B; 设，当时，， 所以，故排除C; 设，则，故排除D. 故选：A. 5. 已知函数，（）是奇函数，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，因为是奇函数， 所以，即， 又，故. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对利用对数运算以及利用导数比较大小即可求解. 【详解】设，则，令，解得， 则当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 又，，， 因为，所以. 故选：D． 7. 已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定方程在上有一个解，从而得在上必有两个不同解，即必有两个非正数解，由二次函数根的分布情况列出不等式组求解即可. 【详解】当时，,单调递增且值域为， 所以此时直线与函数的图象始终有一个交点， 即方程在上有一个解； 由题意可得在上必有两个不同解， 即在上必有两个非正数解， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 8. 已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，有，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在等式中，令求出的值，在等式中，利用赋值法求出、的值，然后利用等式结合赋值法求出、的值，再结合以及题设条件可求出的值. 【详解】定义在上的函数满足：，都有，且， 所以，故， 在等式中，令可得，所以， 所以，，， ，， 在等式中，令可得，所以， 所以，，， ， 当时，有， 又因为，且，故. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 的充要条件是存在唯一一个实数，使得 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，当时，，A正确； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，的充要条件是存在唯一实数，使得，C错误； 对于D，，则有， 结合向量夹角的范围可知， ，D正确. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可得，再利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由题意知不等式的解集为， 所以，且方程的两根为和1， 所以，所以，， 所以，故A错误； 因为，所以， 所以， 当，时，的最小值为，故B正确； 因为，，所以，即，解得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C正确； ， 当且仅当，即时等号成立， 但由C可知，所以等号无法取到，所以最小值不是，故D错误. 故选：BC． 11. 已知三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的拐点是 B. 当时，若在区间内有最小值，则实数m的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有且仅有一个公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据题设定义求得，即可求解；对于B，根据条件，求得的极小值为，并求得，即可求解；对于C，根据条件，将问题转化成与有三个交点，利用导数求出的单调区间和极值，即可求解；对于D，联立直线与曲线方程，通过判断方程解的个数，即可求解. 【详解】对于A，由得， 则， 令，解得， 又，所以的拐点是，故A正确； 对于B，当时，，则， 所以当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又由，得到，解得或， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，即的取值范围是，故B正确； 对于C，因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C错误， 对于D，由，可得， 即，显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有且仅有一个公共点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在中，，，为上一点，且满足，则____________；若，则的最小值为____________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由，得，把改写为的线性组合，利用C，P，D 三点共线，则系数之和为1，求出；对平方展开，代入得到表达式；再用基本不等式，求出的最小值，开方得到模长最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，由向量三点共线结论：若，则， 所以，所以； 所以， 因为，所以，得， 因为， 所以， 由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以，即的最小值为. 13. 已知函数（，）的图象关于点中心对称，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦函数的单调性及周期求得，利用特殊点求得，即可求出解析式，从而利用余弦函数单调性求解即可. 【详解】记的最小正周期为， 显然，得. 由，且得. 可得. 由，，，. 所以函数的单调递减区间为，， 单调递增区间为，. 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增. 故的最大值为． 14. 若二次函数的图象与曲线存在公切线，则实数的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】设公切线与、的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数的取值范围． 【详解】设公切线与的图象切于点， 与曲线切于点， 因为，，则， 由得， 则，则或， ，且， ，则，即，且， 设，则， 则时，时， 在上单调递增，在上单调递减， ， 又， 综上，实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的值及的最小正周期； （2）求的单调递减区间． 【答案】（1）1；最小正周期为 （2）． 【解析】 【小问1详解】 由题意， 所以． 该函数的最小正周期为 【小问2详解】 由(1)知． 由，得． 所以的单调递减区间为． 16. 已知函数. （1）设是函数的极值点，求的值； （2）设，讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【解析】 【分析】（1）对求导后代入使导数值为0即可求解； （2）由条件整理出后求导，再讨论根的位置关系即可得到的单调性. 【小问1详解】 由题意得， 因为是函数的极值点，所以， 解得， 当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 为函数的极小值点，满足条件，故； 【小问2详解】 因为， 则. 且， 当时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 当且时，，令得，令得， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，. 综上，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 17. 在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得，用正弦定理边化角，化简得，结合锐角三角形，即可求出角； （2）由中线向量公式得，结合余弦定理，得，再用正弦定理表示，由锐角条件求其范围，即得范围. 【小问1详解】 因为，所以． 在中，由正弦定理得：， 展开得：，即． 因为，得．又，故． 【小问2详解】 因为点是边的中点，由向量中线公式：， 两边平方得：，即． 因为，，由余弦定理得：， 则，故． 所以． 因为，所以，即． 因为是锐角三角形，所以有，则． 又， 则 ． 由，得，故， 所以，， 故的长的取值范围为． 18. 已知偶函数满足，奇函数满足． （1）请直接写出的解析式（无需求解过程）； （2）求关于m的不等式的解集； （3）存在满足，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义求解即可. （2）先判断的单调性，然后化简不等式，求出解集即可. （3）先求出的最小值和最大值，然后结合已知条件求出范围即可. 【小问1详解】 因为偶函数满足，奇函数满足． 所以，所以，所以. ，即，所以，所以. ． 【小问2详解】 由（1）知，其定义域为． 令，在上，单调递减， 所以单调递减．又因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知在上单调递减． 因为在上单调递减，所以． 解：即恒成立，， 即，解得，解，即， 解：即，因式分解得， 解得或．综合以上三个不等式的解，取交集得 因此，不等式的解集为． 【小问3详解】 ， 所以的值域为． 因为存在满足， 所以． 即，令，则， 即，因式分解得，解得或（舍去）． 所以，解得．又因为，所以． 因此，的取值范围是． 19. 对于函数，和，，设，若，，且，都有成立，则称是的“从属函数”． （1）若，是的“从属函数”，且是偶函数，求证：也是偶函数； （2）设，，，求证：是的“从属函数”； （3）设是的“从属函数”，且在区间上存在两个零点，，求证：． 【答案】（1）因为是偶函数，对于任意，都有， 因为是的“从属函数”，对于任意且，都有， 令，（其中），代入上式得， 因为，所以，而，故必有， 即对任意非零成立，当时，等式显然成立， 所以也是偶函数. （2）对于任意且， ，， 因为，所以，同理， 因此，所以， 故，即成立， 所以是的“从属函数”。 （3）因为是的“从属函数”， 对于任意且，都有， 已知是的两个零点，即，， 所以，故，即， 化简得，即， 令（且），则， 不妨设，令，则，且， 所以，即，解得， 要证明，需证，即， 因为，所以，得，即， 令，求导， 设，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，则，在上单调递减，而， 所以时，恒成立，即成立，故， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义及偶函数的性质得，即可证； （2）由题设，对于任意且，，，利用不等式性质及函数新定义即可证； （3）根据已知，对于任意且，有，从而有，令（且），，转化为证明时恒成立即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问注意将问题转化为证明不等式恒成立，结合函数新定义及导数分析证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学第一学期第一次阶段考试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量不共线，，则 是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 复数满足，则（     ） A. 1 B. 2 C. D. 3 4. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，（）是奇函数，则值为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若方程有三个实数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，有，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 当时， B. 若，则 C. 的充要条件是存在唯一一个实数，使得 D. 若，则 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的拐点是 B. 当时，若在区间内有最小值，则实数m的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有且仅有一个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在中，，，为上一点，且满足，则____________；若，则的最小值为____________． 13. 已知函数（，）的图象关于点中心对称，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最大值为_____． 14. 若二次函数的图象与曲线存在公切线，则实数的取值范围是____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的值及的最小正周期； （2）求的单调递减区间． 16. 已知函数. （1）设是函数的极值点，求的值； （2）设，讨论函数的单调性. 17. 在锐角中，角所对的边分别为．向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边的中点，求线段的长的取值范围． 18. 已知偶函数满足，奇函数满足． （1）请直接写出的解析式（无需求解过程）； （2）求关于m的不等式的解集； （3）存在满足，求的取值范围． 19. 对于函数，和，，设，若，，且，都有成立，则称是的“从属函数”． （1）若，是的“从属函数”，且是偶函数，求证：也是偶函数； （2）设，，，求证：是的“从属函数”； （3）设是的“从属函数”，且在区间上存在两个零点，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $