精品解析：河北省石家庄市第二中学西校区2026-2027学年第一学期9月月考高二数学试题

石家庄二中西校区2026—2027学年度第一学期9月月考 高二数学学科试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（共10小题，每题5分，其中1-5难度层级为A（易），6-8为B（中），9、10为C1（偏难）） 1. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化直线一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于直线的斜率求得倾斜角. 【详解】由，得， 设直线的倾斜角为，则， ，故选D. 【点睛】本题主要考查直线的斜截式方程的应用以及直线斜率与直线倾斜角的关系，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 2. 若向量，，且，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，由已知可得，结合平面向量数量积的运算性质可求出的值即可. 【详解】由已知， 因为，则，解得. 故选：B. 3. 已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点满足，其中，得到点是平面内的一点，再由当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高达到最小值求解. 【详解】如图所示： 根据题意，点满足，其中 所以， 所以， 所以点是平面内的一点，又正四面体棱长为1， 所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高， 此时且达到最小值． 故选：A． 4. 若直线与直线垂直，垂足为，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直关系可求，再根据点在直线上可求，，从而可得正确的选项. 【详解】因为与直线垂直，故即， 因为垂足为，故，故， 故， 故选：D. 5. 已知，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 所以． 因为， 所以， 故在上的投影向量为． 故选：D. 6. 如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得出，，利用空间向量数量积的运算性质可求得的长. 【详解】由已知，二面角等于，即， 所以，， 所以， ， 因此，. 故选：C. 7. 已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线l过的定点，设为P，求出，结合图象，即可确定答案. 【详解】由可得， 即直线过定点，设为P， 结合，则， 直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或，即或， 故m的范围为， 故选：D 8. 如图，在四面体中，为的重心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】 如图，连接并延长交于点.则为的中点， 所以， 所以. 故选：A 9. 已知点A，B位于直线上，其中点A在x轴上，点C是平面xOy中的一点，若为正三角形，则直线AC的斜率为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定直线的倾斜角，再利用两角和差的正切公式，即可求斜率. 【详解】因为点A在x轴上，且在直线上，所以， 易知直线l的倾斜角为，若为正三角形， 则直线AC的倾斜角为或，即或， 故直线AC的斜率为， 或. 故选：D 10. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，是的中点，是的中点，过，，三点的平面与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选作为基底表示出向量，根据向量共线和四点共面的充要条件得到，再求模长. 【详解】设， 则，且两两夹角为， 因此， 因为是的中点，所以， 同理， 又， 因为点在上，所以设， 所以， 又，，，四点共面， 所以存在唯一的实数对，使得， 故， 所以，解得， 所以， 所以 ， 故选：D 二、多选题（本题共5小题，每小题6分，共30分．其中11、12难度层级为A（易），13、14为B（中），15为C1（偏难）） 11. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，分直线的截距为0和直线的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解. 【详解】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即． 当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 则，解得或， 当时，可得直线的方程为，即； 若时，可得则直线的方程为，即． 故选：BCD. 12. 已知空间中四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)，D(－1，3，4)．下列说法中，正确的有（ ） A. B. C. A，B，C三点共线 D. A，B，C，D四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求出向量，，，，的坐标.根据可判断选项A；根据可判断选项B；根据可判断选项C；设，求出和的值，从而可判断选项D. 【详解】易知，，，，， 因为，所以 ，故选项 A正确； 因为，且四点不共线，所以，故选项B正确； 因为，所以 A，B，C三点不共线 ，故选项C错误； 易知当时，A，B，C，D共面， 即，所以， ， 解得， ，所以A，B，C，D共面，故选项D正确. 故选：ABD. 13. 下列说法正确的是（ ） A. 若方程表示直线，则 B. ，分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 直线与相交于点，则过点，的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，举特例判断即可；B选项，两平行线距离即为的最小值，利用两平行线距离公式求出答案；C选项，先求出直线的定点，进而分析求解即可；D选项，代入，得到，根据两点确定一条直线，得到答案. 【详解】A选项，当不同时为0时，方程表示直线， 例如，此时表示的是一条直线，故A错误； B选项，直线与平行，故两平行线距离即为的最小值， 而，故两平行线距离为，故B错误； C选项，直线，即， 由，解得，则直线过定点， 因此，当点到直线的距离最大时， 与直线垂直， 而直线的斜率为，，则，故C正确； D选项，直线与相交于点， 故，因为两点确定一条直线， 则过点，的直线方程为，故D正确. 14. 如图，在三棱柱中，P为空间中一点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点在棱上 B. 当时，点在线段上 C. 当时，点在棱上 D. 当时，点在线段上 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断点是否在线段上，利用共线向量定理及推论逐项判断即可． 【详解】对于A，当时，，，所以，则点在棱上，故A正确； 对于B，当时，，，连接，即， 即，所以点在线段上，故B错误；    对于C，当时，，，所以， 所以，即，所以点在棱上，故C正确； 对于D，当时，，， 由三点共线结论知,三点共线，所以点在线段上，故D正确． 故选：ACD. 15. 如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是45° D. 与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的加减运算和数量积运算，对每个答案进行分析和运算即可得到答案. 【详解】对A，，则 ， 所以，A正确； 对B， ，所以，B正确； 对C，因为，若与的夹角是45°，则与的夹角是45°，即，易知，显然不成立，C错误； 对D，，， ， ， ， 所以，， 于是与所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共4小题，每小题5分，其中16、17难度层级为A（易），18为B（中）、19为C1（偏难）） 16. 直线恒过定点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程得到，进而可求解. 【详解】直线， 即， 联立可得，∴， 即直线恒过定点. 故答案为： 17. 点关于直线对称的点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，已知直线的斜率为， 两条互相垂直的直线斜率乘积为，所以，即， 因为两点的中点在直线上，所以，即， 联立，解得，即坐标为. 18. 已知向量且共面，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得存在非零实数满足，结合空间向量坐标的线性运算可得的值，进而结合空间向量模的坐标公式求解即可. 【详解】若共面，则存在非零实数满足， 则， 即，解得， 所以，则， 所以. 故答案为：. 19. 在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，则该四面体外接球的体积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的性质，结合空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】设球心坐标为：，显然有， 即， 化简得：，因此该四面体外接球的半径为：， 所以该四面体外接球的体积是. 故答案为： 四、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，其中20难度层级为A（易），21为B（中），22、23为C1（偏难）） 20. 已知的三个顶点分别为． （1）求边的中线和高所在直线的方程； （2）若直线l过顶点A，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）中点坐标公式得到中点坐标，由两点求斜率用点斜式写出中线方程；由斜率得到高的斜率，点斜式写出直线方程； （2）谈论斜率是否存在，当斜率不存在时，符合题意；当斜率不存在时，设出直线方程，由点到直线距离求出斜率，写出直线方程. 【小问1详解】 ①边的中点为，又直线的斜率为， 边上的中线所在直线的方程为，即． ②直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； ②当直线的斜率存在时，直线的方程可设为，即， 由题意，原点到直线的距离为2，即，解得， 所求直线的方程为． 综上，所求直线的方程为或． 21. 过点作直线分别交轴的正半轴于两点. （Ⅰ）当取最小值时，求出最小值及直线的方程； （Ⅱ）当取最小值时，求出最小值及直线的方程； （Ⅲ）当取最小值时，求出最小值及直线的方程. 【答案】(Ⅰ)最小值为，方程为；(Ⅱ)最小值为，方程为；(Ⅲ)最小值为，方程为； 【解析】 【分析】（Ⅰ）设. 设直线方程为，代入得，由基本不等式可得，此时，而斜率.，由点斜式可得直线方程 （Ⅱ） 由基本不等式可求的最小值，此时，可求斜率,则直线方程可求 （Ⅲ）设直线，则.则=，当且仅当，时，取最小值，又，可得，则直线方程可求. 【详解】设. （Ⅰ）设直线方程为，代入得， 得，此时，. ∴方程为. （Ⅱ） ， 此时，. ∴方程为. （Ⅲ）设直线，分别令，得. 则=， 当且仅当，即时，取最小值，又∵， ∴，这时的方程为. 22. 如图，在棱长为2的正方体中，点M是的中点. （1）求到平面的距离； （2）求证：平面平面. 【答案】（1） （2） 因为， 所以， 设平面的一个法向量为， 因为，所以， 令，则，所以， 又因为平面的一个法向量， 所以，所以， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，先求解出平面的一个法向量，然后利用公式即可求解出到平面的距离； （2）先求解出平面的一个法向量，然后根据的运算结果判断的位置关系，由此完成证明. 【小问1详解】 以为坐标原点，以为轴建立如图所示空间直角坐标系， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 因为，所以， 令，则，所以， 设到平面的距离为， 所以. 【小问2详解】 略 23. 如图，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 【答案】（1）依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得. 设，则. 依题意，是平面的法向量， 又，可得， 又因为直线平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证明线面平行； （2）分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； （3）首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于长度的方程，解方程可得的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，， 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得， 因此有. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设为平面的法向量，则，即. 不妨令，可得. 由题意，有，解得. 经检验，符合题意. 所以，线段的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄二中西校区2026—2027学年度第一学期9月月考 高二数学学科试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（共10小题，每题5分，其中1-5难度层级为A（易），6-8为B（中），9、10为C1（偏难）） 1. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 2. 若向量，，且，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 4. 若直线与直线垂直，垂足为，则（ ） A. B. 4 C. D. 5. 已知，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四面体中，为的重心，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知点A，B位于直线上，其中点A在x轴上，点C是平面xOy中的一点，若为正三角形，则直线AC的斜率为（    ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，是的中点，是的中点，过，，三点的平面与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共5小题，每小题6分，共30分．其中11、12难度层级为A（易），13、14为B（中），15为C1（偏难）） 11. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 12. 已知空间中四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)，D(－1，3，4)．下列说法中，正确的有（ ） A. B. C. A，B，C三点共线 D. A，B，C，D四点共面 13. 下列说法正确的是（ ） A. 若方程表示直线，则 B. ，分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 直线与相交于点，则过点，的直线方程为 14. 如图，在三棱柱中，P为空间中一点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，点在棱上 B. 当时，点在线段上 C. 当时，点在棱上 D. 当时，点在线段上 15. 如图所示，平行六面体，其中，，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是45° D. 与所成角的余弦值为 三、填空题（共4小题，每小题5分，其中16、17难度层级为A（易），18为B（中）、19为C1（偏难）） 16. 直线恒过定点的坐标为_____． 17. 点关于直线对称的点的坐标为__________． 18. 已知向量且共面，则__________. 19. 在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，则该四面体外接球的体积是________． 四、解答题（本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，其中20难度层级为A（易），21为B（中），22、23为C1（偏难）） 20. 已知的三个顶点分别为． （1）求边的中线和高所在直线的方程； （2）若直线l过顶点A，且原点到直线l的距离为2，求直线l的方程． 21. 过点作直线分别交轴的正半轴于两点. （Ⅰ）当取最小值时，求出最小值及直线的方程； （Ⅱ）当取最小值时，求出最小值及直线的方程； （Ⅲ）当取最小值时，求出最小值及直线的方程. 22. 如图，在棱长为2的正方体中，点M是的中点. （1）求到平面的距离； （2）求证：平面平面. 23. 如图，平面，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）若二面角的余弦值为，求线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $