精品解析：内蒙古自治区赤峰第八中学2025-2026学年九年级上学期数学第一次适应性测试

2025年赤峰八中九年级上学期第一次适应性测试 数学 （时间90分钟，总分100分） 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确选项，请你将正确选项前的代号填在答题卡上．本题共有8个小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. a 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项错误； B、是一元二次方程，故此选项正确； C、是分式方程，不是一元二次方程，故此选项错误； D、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得到答案． 【详解】解：， 方程两边同时加上4得，即， 故选：B． 4. 若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】向右平移2个单位，将原解析式中的x替换为，得到第一次平移后的解析式．向下平移3个单位，在第一次平移后的解析式基础上减去3，整理后和选项对比即可． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 再向下平移3个单位，得． 5. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，列出方程即可． 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 由题意，得：； 故选：C． 6. 已知点（﹣1，y1），（，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣2x2＋4x＋c上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y2＞y3＞y1 B. y1＞y2＞y3 C. y2＞y1＞y3 D. y1＞y3＞y2 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴及其开口方向得出离抛物线对称轴的水平距离越远，对应函数值越小，据此求解可得答案． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣2x2＋4x＋c的对称轴为直线x＝1，且抛物线的开口向下， ∴离抛物线对称轴的水平距离越远，对应函数值越小， ∵点(4，y3)离对称轴的距离最远，点(，y2)离对称轴的距离最近， ∴y2＞y1＞y3， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由旋转可得：，，，进而得到：，，即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，，， ，， ， 故选：B． 8. 如图，将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，将绕点逆时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，如图，连接，由旋转性质可知，，，，，则是等边三角形，是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出，，，，然后由勾股定理求出，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由旋转性质可知：，，，，， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∴点的坐标为， 故选：． 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．本题共有4个小题，每小题3分，满分12分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握“关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数”是解题的关键． 利用关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标互为相反数）计算即可． 【详解】解：点关于原点的对称点：横坐标：，纵坐标：， 故答案为：． 10. 在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则，若，则x的值为___________． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．先根据新定义得出方程，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴或， 解得，， 故答案为：2或8． 11. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 12. 二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系，利用，时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ，即异号， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，故①正确； ②当时，图象在轴下方， ， ，故②正确； ③对称轴为直线， ，即，由②知， ， ， ，故③正确； ④对称轴为直线， 与关于对称轴对称， 当时，， 当时，，故④正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， ， ， ，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是①②③④． 三、解答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共6题，满分64分） 13. 计算 （1）； （2） 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】（1）对二次三项式十字相乘分解为两个一次因式乘积； （2）移项后提取公因式分解为两个一次因式乘积． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， 移项得， ， 提取公因式得， 或， 解得，． 14. 已知关于的一元二次方程； （1）求证：不论任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为、且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：在方程中，，，， ， 不论m取何值，， ． 不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数关系的应用．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．一元二次方程根与系数关系：，． （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明即可； （2）首先利用根与系数的关系可以得到，，接着利用得到关于m的方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知方程总有两个不相等的实数根、， ，， 而，即， 解并检验得 15. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． （1）长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】（1） （2）的值为8 （3） 苗圃的面积不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【小问1详解】 解：依据题意，， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； 【小问3详解】 略 16. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 17. 如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式及D点的坐标； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为：，点的坐标为 （2）①②点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【小问1详解】 解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 18. 如图，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．解答下列问题： （1）如果 ①当点D在线段上时，（与点B不重合），如图1，线段之间的位置关系为_________，数量关系为_________． ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否成立，为什么？（要求写出证明过程．） （2）如果，点D在线段上运动，且时， ①请你判断线段之间的位置关系，并直接写出结论． ②若，求正方形的边长． 【答案】（1）①，； ②结论仍然成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， 即． 又， ∴． ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． （2）①．②． 【解析】 【分析】（1）①运用正方形的边相等、内角为的性质，以及已知的，的条件．得，，所以可推出，结合，，用证明，根据全等三角形对应边相等、对应角相等得到和的数量关系，再结合推导角的关系得到位置关系． ②点D在延长线上时同理证明全等即可验证结论． （2）①过点A作交于点G，构造出等腰直角，可得到，结合正方形，同理证明，再通过推导角的关系得到与的位置关系． ②连接，过点A作，交于点G．因为已证，且构造的是等腰直角三角形，已知，可求出的长度，结合得到的长度，再在直角三角形中用勾股定理求的长度，即正方形的边长． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴，即． 又， ∴． ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． ②略 【小问2详解】 解：①结论：． 过点A作，交于点G． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ②连接，过点A作，交于点G． 由①知，是等腰直角三角形， ∴． 由①知，， ∴， ∵等腰直角中，， ∴． 由①知，， ∴在中，． ∵正方形的边，且正方形边长满足， ∴， 解得． 即正方形的边长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年赤峰八中九年级上学期第一次适应性测试 数学 （时间90分钟，总分100分） 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确选项，请你将正确选项前的代号填在答题卡上．本题共有8个小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. a 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点（﹣1，y1），（，y2），（4，y3）都在抛物线y＝﹣2x2＋4x＋c上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y2＞y3＞y1 B. y1＞y2＞y3 C. y2＞y1＞y3 D. y1＞y3＞y2 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，将绕点逆时针旋转得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．本题共有4个小题，每小题3分，满分12分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是_________． 10. 在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则，若，则x的值为___________． 11. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 12. 二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①，②，③，④，⑤（）（）中正确的是__________． 三、解答题（解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共6题，满分64分） 13. 计算 （1）； （2） 14. 已知关于的一元二次方程； （1）求证：不论任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为、且满足，求的值． 15. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． （1）长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 16. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 17. 如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． （1）求该抛物线的表达式及D点的坐标； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 如图，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．解答下列问题： （1）如果 ①当点D在线段上时，（与点B不重合），如图1，线段之间的位置关系为_________，数量关系为_________． ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否成立，为什么？（要求写出证明过程．） （2）如果，点D在线段上运动，且时， ①请你判断线段之间的位置关系，并直接写出结论． ②若，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $