精品解析：内蒙古自治区赤峰第六中学2024-2025学年度第一学期九年级第二次阶段学情自测数学试卷

赤峰六中 2024-2025 学年度第一学期 九年级第二次月考数学试卷 一、单选题 （每题2分，共20分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是中心对称图形而不是轴对称图形； B、是轴对称图形而不是中心对称图形； C、既不是中心对称图形也不是轴对称图形； D、既是轴对称图形也是中心对称图形； 故选：D． 2. 将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可． 【详解】解：将二次函数y=(x-1)2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是y=(x-1+1)2+2，即y=x2+2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，知道抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 3. 已知点与点关于原点对称，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横坐标与纵坐标互为相反数计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称 ∴ 解得： ∴ 故选：A． 4. 关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程，解得的值，注意方程中二次项系数不为0的情况，即可解答． 【详解】解：把代入， 可得：， 解得， 当时，， 此时方程不为一元二次方程，与题意不符， 故， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义，熟知上述概念是解题的关键． 5. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，根据旋转的性质得出相等的角和边，再利用三角形内角和定理及角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， 根据旋转的性质得，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 如图，是的直径，，点D是上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，正确作出辅助线是解题的关键．连接，可知，，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 又∵， 由圆周角定理可得：， ∴， 故选：C． 7. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，函数中自变量与函数表达的实际意义；令，计算求解即可求出结果． 【详解】解：令 即 解得：（舍去） ∴推出铅球的距离为； 故选：C． 8. 已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A. B. 1 C. 2或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得． ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴，解得： 故选：C． 9. 如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键，先根据直径所对的圆周角是直角和勾股定理算出长，再根据垂径定理得出长，最后根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，和均为等腰直角三角形，且，点在同一条线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤；正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定及性质、三角形面积等知识点，由 “”可证可得，可判断； 由等腰直角三角形的性质可得，，可判断，由线段和差关系可判断，由全等三角形的性质可求，可判断；由等底同高的两个三角形面积相等以及面积差可判断，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 【详解】∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 根据已知条件不足以判定，故错误； ∵为等腰直角三角形，平分， ∴，故正确， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，故正确， ∵点在同一直线上,和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故正确； ∵， ∴， ∴ ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 二、填空题 （每题3分，共18分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，有理数的乘方等知识．熟练掌握一元二次方程的根，有理数的乘方是解题的关键． 由题意知，，即，然后代值求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：． 12. 等腰三角形内接于，若的半径为5，底，则腰长__________________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质， 先连接，当圆心O在内时，过点O作，于点E，可知是的垂直平分线，根据圆的对称性可知点A，O，E共线，再根据勾股定理求出，即可得出，然后根据勾股定理求出答案； 当圆心O在外时，过点O作，于点E，可知是的垂直平分线，根据圆的对称性可知点E在上，再根据勾股定理求出，即可得出，然后根据勾股定理求出答案． 【详解】如图所示，先连接，当圆心O在内时，过点O作于点E， ∴是的垂直平分线，． 根据圆的对称性可知点A，O，E共线， 在中，根据勾股定理，得， ∴． 在中，根据勾股定理，得； 当圆心O在外时，过点O作，于点E， ∴是的垂直平分线，． 根据圆的对称性可知点E在上， 在中，根据勾股定理，得， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 故答案为：或． 13. 若函数与轴只有1个交点，则m的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了函数与x轴的交点，一次函数的性质，函数与x轴只有一个交点，分两种情况考虑：当时，为二次函数，即关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式计算求值，当时，为一次函数，而一次函数必与x轴有一个交点； 【详解】解：当时，函数为二次函数； 令可得， 当二次函数与x轴只有一个交点时，一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 当时，一次函数必与x轴有一个交点即可； 故答案为：或． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点都在坐标轴上，对角线的交点为坐标原点，且点B的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转90°，若点F的对应点为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，旋转的性质，找到旋转规律是本题解题的关键．先求出，得出点F的坐标，根据旋转的性质即可得出答案． 【详解】解：∵点， ∴， ∴在正方形中，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点F的坐标为， ∵菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转90°，点F的对应点为， ∴坐标为， 故答案为： 15. 如图，抛物线的部分图象交坐标轴于点，，对称轴为．则当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，根据图象及对称轴求出的对称点，结合图象x轴上方即为的部分求解即可得到答案． 【详解】解：∵，对称轴为直线， ∴与x轴另一个交点为， ∴当时，， 故答案为：． 16. 如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，．当半圆与的边相切时，运动时间__________． 【答案】2或8或14 【解析】 【分析】本题考查平移性质、切线的判定与性质、锐角三角函数，分点E与C重合时和点E与D重合时，半圆与相切；点O与C重合时，半圆与相切时三种情况，利用平移性质和切线的判定与性质，结合数形结合计算求解即可．运用分类讨论思想是解答的关键 【详解】解：∵半圆的直径， ∴半圆的半径, ①如图1，当点E与C重合时，，则半圆与相切， 此时点O运动了， ∴运动时间； ②如图2，当点E与D重合时，则， ∴半圆与相切， 此时点O运动了， ∴运动时间； ③如图3，过C作于F， ∵，， ∴， 当半圆与相切时，O到的距离等于半径， ∴点O与C重合，此时点O运动了， ∴运动时间 综上，当半圆与的边相切时，运动时间2或8或14， 故答案为：2或8或14． 三、解答题 （共62分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用公式法直接求出方程的解即可； （2）先移项整理，再提取公因式得出，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得， 原方程可化为， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 18. 如图，的三个顶点分别为，，，（每个方格的边长均为个单位长度） （1）平移得到，其中内任意一点平移后的对应点 ，的坐标为 ； （2）若和关于原点成中心对称，画出，则 的坐标为 ． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 【解析】 【分析】（1）先确定平移方式，再利用平移变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可得到，从而得出点的坐标； （2）利用中心对称变换的性质即可得出的坐标． 【小问1详解】 解：点平移后的对应点 ， 平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度；图略； 向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到； 【小问2详解】 解：图略； 和关于原点成中心对称，， ． 19. 规定1： 一个点纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”． 例如： 点， 则它的“纵横值”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如： 点在函数图象上，图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时， 的最大值为， 所以函数的“最优纵横值”为7． 根据规定，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为 ； （2）若二次函数的最优纵横值为 4，求c的值； （3）若二次函数 ， 当时二次函数的最优纵横值为2，求b的值． 【答案】（1） （2） （3） 的值为或 【解析】 【分析】（1）根据“纵横值”的定义计算即可； （2）求出二次函数图象上所有点的“纵横值”为，得出的最大值为，根据“最优纵横值”的定义可知二次函数的“最优纵横值”为，从而得出，解出c即可； （3）求出二次函数 图象上所有点的“纵横值”可以表示为：，而的图象开口向下，顶点横坐标为，分为、、三种情况，进行分析得出结果即可． 【小问1详解】 解：由题意得：的“纵横值”为； 【小问2详解】 二次函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为：， ∵的最大值为， ∴二次函数的“最优纵横值”为， 二次函数的“最优纵横值”为4， ， ； 【小问3详解】 二次函数 图象上所有点的“纵横值”可以表示为：， ∵的图象开口向下，顶点横坐标为， ∴①当时，最大值在处取得，则， 解得：，（舍去）， ②当时，最大值在处取得，则， 而二次函数 ， 当时二次函数的最优纵横值为2， 所以不符合题意，舍去， ③当时，最大值在处取得，则， 解得：，（舍去）， 综上所述，b的值为或． 【点睛】二次函数求最值，可将一般式化为顶点式． 20. 已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，的直径为，求． 【答案】（1）解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， ， 为半径， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得到，再由平行线的性质得到为，从而得到与相切； （2）过点作于点，结合上一问可得四边形为矩形，设，，由勾股定理列方程可求出的长，再由垂径定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 设，，， ， ， 解得（舍去）， ， ， ． 21. 一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该加工品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是150元？若能，求出销售单价应y（件）为多少元；若不能，请说明理由． （3）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 【答案】（1）； （2）能，销售单价为15元/件； （3）每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元． 【解析】 【分析】对于（1），根据待定系数法求出解析式即可； 对于（2），令，得到一元二次方程，求出解； 对于（3），根据单件利润乘以销售量得出二次函数，再配方讨论最大值即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数表达式为，根据题意得 ， 解得， ∴与x之间的函数表达式为； 【小问2详解】 该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是150元. 根据题意知，， 即， 化简得 解得或 ∵， ∴舍去， ∴； 答：该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能是150元，销售单价为15元/件； 【小问3详解】 根据题意知， ∵，当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，W取得最大值，最大值为； ∴每件销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是168元. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的关系式，一元二次方程的应用，二次函数求最大值，弄清题目中的等量关系是解题的关键． 22. 如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． 【答案】（1） （2）①；②或． 【解析】 【分析】（1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，，代入解答即可； ②分两种情况讨论：当时，；当时，过点作于点，则为的中点，分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：直线与轴，轴的交点坐标分别为、， 抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所求抛物线的函数表达式为，即； 【小问2详解】 解：①，则， ，， 当时，， 解得：或（与重合，舍去）， 当时，， 故； ②∵， ∴ 由①得， 以为腰，分两种情况讨论： 当时，， 解得或（舍； 当时，过点作交于，则为的中点，即，如图1， 解得或（舍）； 综上所述：满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 23. 【问题解决】（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【类比探究】（2）如图2，若点是正方形外一点，，，，求的长． 【答案】 （1）思路一：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 思路二：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给的思路画出图形，利用旋转的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，易得，，勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长即可； 【详解】（1）略 （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接， ， ，，， 在中，， ，， ， ， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰六中 2024-2025 学年度第一学期 九年级第二次月考数学试卷 一、单选题 （每题2分，共20分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点与点关于原点对称，则的值是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 4. 关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 0 5. 如图，等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，，点D是上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A. B. 1 C. 2或 D. 9. 如图，在中，，为两条弦，是直径，于点，连接，若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 10. 如图，和均为等腰直角三角形，且，点在同一条线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④；⑤；正确的有（ ） A. B. C. D. 二、填空题 （每题3分，共18分） 11. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为________． 12. 等腰三角形内接于，若的半径为5，底，则腰长__________________． 13. 若函数与轴只有1个交点，则m的值为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点都在坐标轴上，对角线的交点为坐标原点，且点B的坐标为，以为边构造菱形，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转90°，若点F的对应点为，则点的坐标为______． 15. 如图，抛物线的部分图象交坐标轴于点，，对称轴为．则当时，的取值范围是________． 16. 如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，．当半圆与的边相切时，运动时间__________． 三、解答题 （共62分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，的三个顶点分别为，，，（每个方格的边长均为个单位长度） （1）平移得到，其中内任意一点平移后的对应点 ，的坐标为 ； （2）若和关于原点成中心对称，画出，则 的坐标为 ． 19. 规定1： 一个点纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”． 例如： 点， 则它的“纵横值”为． 规定2：若点是函数图象上任意一点，则函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如： 点在函数图象上，图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时， 的最大值为， 所以函数的“最优纵横值”为7． 根据规定，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为 ； （2）若二次函数的最优纵横值为 4，求c的值； （3）若二次函数 ， 当时二次函数的最优纵横值为2，求b的值． 20. 已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，的直径为，求． 21. 一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工品，这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定售价不能高于16元．市场调查发现，该加工品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． （2）该助农主播销售这种农业加工品每天获得的利润能否是150元？若能，求出销售单价应y（件）为多少元；若不能，请说明理由． （3）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润） 22. 如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． 23. 【问题解决】（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【类比探究】（2）如图2，若点是正方形外一点，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $