10.2实数 同步练习 2026-2027 学年华东师大版数学八年级上册

第10章10.2 实数 【新教材华东师大版】 知识点1 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 有理数：有限小数与无限循环小数； 无理数：无限不循环小数 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数，如，等； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 知识点2 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 知识点3 实数的运算 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 知识点4 实数的大小比较 有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用． 两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数；两个正实数，绝对值大的正实数大；两个负实数，绝对值大的负实数小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．此外，比较两实数的大小还有如下方法： （1）通过比较两实数的平方的大小，进而确定实数的大小关系．如比较与3的大小，由于，故． （2）用估算的方法求出无理数的近似值后，再比较两数的大小． （3）当两个带根号的无理数比较大小时，可应用如下结论： ①． ②． 【题型1 无理数的概念辨析与判断】 1．在实数，，，0.8080108，中，无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D．2 3．按如图所示的程序计算，若开始输入值是64，则输出的值是（     ） A． B．8 C．2 D． 4．下列说法正确的是（     ） A．无理数一定是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数一定是无理数 D．实数分为正实数和负实数 5．已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．在，2.12345……（小数部分为连续的正整数），3.14，这些数中，无理数有______个． 7．数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下： （每两个“1”之间依次多一个“0”）． (1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位； (2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内． “整数”席：（    ）； “分数”席：（     ）． 【题型2 估算无理数的大小范围】 1．估计的值在（    ） A．5到6之间 B．4到5之间 C．3到4之间 D．2到3之间 2．下列关于的描述错误的是（   ） A．面积为15的正方形的边长 B．无理数 C．在整数3和4之间 D．15的平方根是 3．如图所示，在数轴上的和两点之间表示整数的点有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．数轴上，两点对应的数分别是，，点表示无理数且在，两点之间，这个无理数可能是_____（写一个）． 5．把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是______． 【题型3 求无理数的整数和小数部分】 1．若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 2．实数的整数部分是(     ) A．2 B．3 C．4 D．5 3．规定用符号表示的整数部分，如：，若，则的值为（　　） A．9 B．1 C．1 D．1 4．已知的整数部分是x，小数部分是y，则的值为_____． 5．的整数部分是______，的小数部分是______，的小数部分是______． 6．阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 7．阅读理解：怎样表示无理数的小数部分？ 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是我们用来表示的小数部分，这是因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：要表示无理数的小数部分，我们可以先估算它的整数部分，再用它减去整数部分，就可得到其小数部分的表示．求的整数部分和小数部分的过程如下： 的整数部分是2，小数部分为 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值 (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【题型4 无理数在数轴上的表示】 1．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 2．面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 3．将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则表示的数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上点A表示的数是，点A与点B到原点的距离相等，则点B表示的数是（     ） A． B．0 C． D． 5．如图，直径为单位“1”的圆上一点与数轴上表示的点重合，将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，圆的直径为2个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向左无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是___________．（结果保留π）    7．如图，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是______．      8．如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径作圆，交数轴于点A，B． (1)A点表示数 ，B点表示数 ； (2)若A为中点，求C点表示的数． 9．如图，有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是__________； (2)求的值． 【题型5 探究无理数的运算规律】 1．学习《实数》之后，在数学活动课上，马老师出示了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，，… 【实践探究】 （1）按照此规律，计算：___________； （2）若符合上述规律，则___________． 2．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，……，则第216个数是______． 3．请认真观察下列等式：；；；；……利用上述等式的规律，计算______． 4．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 5．已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 6．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 7．观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 【题型6 实数的分类与概念理解】 1．小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序正确填入两个空格的是（　　）    A．； B．； C．； D．； 2．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A．B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．无理数一定是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数一定是无理数 D．实数分为正实数和负实数 4．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在，，，，，，，，，（每两个之间的个数逐次增加）中，正分数有个，非负整数有个，则_______． 6．下列说法中，正确的是_______（填序号） ①两个无理数的和是无理数；②每个正数都有两个平方根；③平方根是它本身的数有，；④无理数都是无限不循环小数．⑤没有平方根的数也没有立方根； 7．在实数3.1259，，0.1020020002…（每两个2之间依次多一个0），0.1030030003，，，，，，中，无理数有个，有理数有个，非负实数有个，则_________． 8．下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 9．把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧（相邻两个3之间0的个数逐次加1） (1)整数集合：{                    …}． (2)有理数集合：{                   …}． (3)无理数集合：{                   …}． (4)负实数集合：{                   …}． 10．将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{          …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 11．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 【题型7 实数的大小比较】 1．下列四个实数中，最小的是（     ） A． B． C． D．0 2．若实数在数轴上的位置如图所示，则（     ） A． B． C． D． 3．下列四个数中，绝对值最大的是（　　） A． B． C． D．0 4． 的绝对值是（     ） A． B． C． D． 5．比较大小：______________________（填“”、“”或“”）． 6．圆周率是无限不循环小数，历史上祖冲之、刘徽等数学家都对有过深入研究．请写出一个小于的有理数________． 7．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 8．比较大小：________．（填写“”或“”） 9．完成下列各题 (1)填空：______；______； (2)当时，______（用“”填空）； (3)当时，求证：． 10．在如图所示的数轴上表示下列各数：，，，，并用“”把它们连接起来． 【题型8 实数的混合运算与化简】 1．计算 (1)； (2)． 2．计算： (1) (2) (3) 3．如图为一个数值转换器． (1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______； (2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值； (3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？ 4．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 5．下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【题型9 实数运算的实际应用】 1．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 2．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 3．某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 4．如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 第10章10.2 实数答案与详细解析 【题型1 无理数的概念辨析与判断】 1．C 【详解】解：∵，，是无理数；，是有理数， ∴无理数共有3个． 2．A 【分析】先明确无理数的定义（无限不循环小数），再分别判断每个选项中的数是否为无理数． 【详解】解：A．是开方开不尽的数，其结果是无限不循环小数，所以是无理数； B．，是整数，属于有理数； C．是分数，分数属于有理数； D．是整数，整数属于有理数． 3．A 【分析】根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可完成解答． 【详解】解：64的算术平方根是8， ∵8是有理数， ∴取立方根为2， ∵2是有理数， ∴取算术平方根为， ∵是无理数， ∴． 4．A 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴A选项说法正确； ∵无限小数包含无限循环小数与无限不循环小数，无限循环小数是有理数， ∴B选项说法错误； ∵举例，是有理数， ∴C选项说法错误； ∵实数分为正实数、0、负实数， ∴D选项说法错误 5．B 【分析】根据无理数的定义和运算法则判断即可． 【详解】解： 若a是无理数，假设是有理数，则也为有理数，与是无理数矛盾，的相反数一定是无理数，故①正确； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ②错误； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ③错误； 综上，正确的结论只有个． 6． 3 【分析】先化简可计算的数，再根据无理数的定义逐个判断，统计无理数的个数． 【详解】解：逐个判断各数：，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； 2.12345……（小数部分为连续正整数）是无限不循环小数，属于无理数； 3.14是有限小数，属于有理数； 是无理数，因此仍是无理数； 统计可得，无理数共有3个． 7．(1)3 (2)； 【分析】（1）根据无理数的定义解答； （2）根据有理数分类解答即可. 【详解】（1）解：由题可知，“无理数”有： 则共有无理数3个． （2）解：由题可知：“整数”席为：； “分数”席为：． 【题型2 估算无理数的大小范围】 1．C 【分析】先得到，则，即可得到答案，熟练掌握无理数的估算是是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故的值在3到4之间， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查平方根，算术平方根的计算，无理数的判断及估算，能够熟练掌握算术平方根的运算是解决本题的关键． 根据每个选项所述分别计算出结果，并判断对错即可． 【详解】解：A、面积为15的正方形的边长为，正确，故此选项不符合题意； B、是无理数，正确，故此选项不符合题意； C、∵，∴，即在整数3和4之间，正确，故此选项不符合题意； D、15的平方根是，原描述错误，故此选项符合题意； 故选：D． 3．D 【分析】由，，即，可知和两点之间表示整数的点为，0，1，2，然后作答即可． 【详解】解：∵，，即， ∴和两点之间表示整数的点为，0，1，2，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了无理数的估算，实数与数轴．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 4．（答案不唯一） 【分析】本题考查了数轴与实数的关系，无理数大小的估算，根据点表示无理数且在，两点之间，得到点C表示的数的取值范围，写出一个无理数即可，根据题意估算出点表示的数的取值范围是解题的关键． 【详解】由数轴上，两点对应的数分别是，，点表示无理数且在，两点之间， ∴点表示的数在和之间，即在和之间， ∴点表示的数可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 5． 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小即可得出答案，估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：∵，∴不符合题意， ∵，∴符合题意， ∵，∴不符合题意， ∵，∴不符合题意， 故答案为：． 【题型3 求无理数的整数和小数部分】 1．B 【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出，再化简绝对值即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B 2．B 【分析】根据可得，即可求得的整数部分． 【详解】解：∵ ∴， ∴的整数部分是3． 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 3．C 【分析】根据算术平方根知识和新定义确定出的值，再代入求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了无理数估算的运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识和定义进行正确地求解． 4． 【分析】本题考查了估计无理数的大小，确定x、y的值是解题的关键． 根据，可得，可得x和y值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 5． 2 【分析】本题主要考查实数的整数部分和小数部分，无理数的估算，判断出实数的整数范围是解题的关键．先确定整数部分，再根据整数部分和小数部分之和为这个数来确定小数部分即可． 【详解】解：∵； ∴的整数部分是2； ∵； ∴； ∴的小数部分是； ∵； ∴； 即； ∴的小数部分是； 故答案为：2，，． 6．(1) (2) 【分析】（1）根据即解答即可； （2）根据得到，确定整数部分为1，小数部分为，结合已知，确定a，b的值，解答即可． 【详解】（1）解：∵即， ∴的整数部分为8， ∴小数部分为； （2）解：∵即， ∴ ∴的整数部分为1，小数部分为， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴， ∴． 7．(1)4， (2) (3) 【分析】（1）（2）仿照题干方式求解整数部分和小数部分即可； （3）先求出的范围，再确定，的值，即可代数式求值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵ ∴ ∴的整数部分是，小数部分是， ∴； （3）解：∵ ∴ ∴ 即， ∵是整数，且 ∴是的整数部分， ∴， ∴， ∴． 【题型4 无理数在数轴上的表示】 1．A 【分析】先观察数轴，确定点M所在的整数区间，明确点M对应的数值范围．对每个选项中的算术平方根，利用“若（为正整数），则”将各算术平方根的范围与点M的数值范围比对，找到符合条件的选项． 【详解】从数轴可知，点在和之间，即 ， 对不等式三边平方得：． 逐一分析选项： 选项A：，因为 ，所以 ，符合点M的范围； 选项B：，因为 ，所以 ，不符合； 选项C：，因为 ，所以 ，不符合； 选项D：，因为 ，所以 ，不符合． 因此答案选A． 2．B 【分析】根据正方形的面积得到的长，进而得到的长，再用点表示的数加上的长即可得到点表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点所表示的数为 ． 3．A 【详解】解：根据数轴有：，则有：． 4．C 【详解】解：∵点A与点B到原点的距离相等， ∴点A与点B表示的数互为相反数， ∵数轴上点A表示的数是， ∴点B表示的数是. 5．C 【分析】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案． 【详解】解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 6． 【分析】求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可． 【详解】解：由题意得：圆的周长为， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴、圆的周长公式等知识，理解数与数轴上的点的对应关系是解题的关键． 7．/ 【分析】根据数轴两点间的距离求出的半径，从而得到，即可求解． 【详解】解：，两点表示的数分别为1，， ， ， ， 点在点的左边， 点表示的数为， （备注：由是的中点，用中点坐标公式也可求解）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了是数轴上两点之间的距离．注意：因为点在点的左边，所以用点表示的数减去的距离，计算即可． 8．(1)； (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，用圆心表示的数减去半径可得点A表示的数，圆心表示的数加上半径可得点B表示的数； （2）求出点A和点B的距离，根据线段中点的定义可得点A和点C的距离，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， ∵A为中点， ∴， ∴点C表示的数为． 9．(1) (2) 【分析】（1）直接用点B表示数减去2个单位长度即可； （2）将m的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，若点B表示数， ∴实数m的值是； （2）解：当时， ． 【题型5 探究无理数的运算规律】 1． 【分析】（1）根据题干所给式子进行计算，并得出规律即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律计算即可． 【详解】解：（1） 可得规律：，其中为大于的正整数． ； （2）由（1）得：， ∵， ， 解得：， ． 2．6 【分析】观察可知，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，每组第一个数为负平方根，第二个数为正平方根，第三个数为正立方根，据此求解即可． 【详解】解：由分析可知，每组内按顺序形式为：第一个位置是，第二个位置是，第三个位置是， ∵， 第216个数是第72组的第3个数，形式为， 计算得． 3． 【分析】本题考查了实数的计算的规律探究，，熟练掌握规律探索是解题的关键．根据已知等式的规律，将目标式子化为，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为：． 4．(1)， (2) 【分析】（1）观察3个等式得出第5个等式和第个等式； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式：， 第个等式：； （2）解： ． 5．(1)； (2)； 证明如下： ． 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）略 6．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 7．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给式子进行计算即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律即可； （3）利用（2）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵第1个：； 第2个：； 第3个：； …… ∴； （2）解：由（1）可得第个等式为：； （3）解： ． 【题型6 实数的分类与概念理解】 1．A 【分析】根据实数的分类判断各项，即可得到答案． 【详解】解：A．是负整数，是负无理数，故A选项符合题意； B．是正整数，是负无理数，故B选项不符合题意； C．是负整数，是负整数，故C选项不符合题意； D．是正整数，是负整数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的分类，掌握基本概念是解题的关键． 2．A 【详解】分数属于有理数，故正确表示它们之间的关系是A选项图形． 3．A 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数， ∴A选项说法正确； ∵无限小数包含无限循环小数与无限不循环小数，无限循环小数是有理数， ∴B选项说法错误； ∵举例，是有理数， ∴C选项说法错误； ∵实数分为正实数、0、负实数， ∴D选项说法错误 4．A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 5． 【分析】此题考查了实数的分类，有理数的分类，代数式求值，根据有理数的分类，分别求出非负整数和正分数的个数，再代入计算即可． 【详解】解：在给定的数中，正分数有，，，共个，故， 非负整数有，，共个，故； ， 故答案为：． 6．②④ 【分析】根据无理数和有理数的定义，实数，平方根，立方根等知识性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①两个无理数的和是无理数：反例（有理数），故该说法是不正确的． ②每个正数都有两个平方根，故该说法是正确的． ③的平方根是，不是它本身，只有的平方根是，是它本身，故该说法是不正确的． ④无理数都是无限不循环小数，故该说法是正确的． ⑤没有平方根的数也没有立方根：负数没有平方根，但有立方根（如的立方根是）故该说法是不正确的． ∴正确的是②④． 7． 【分析】根据有理数、无理数和非负实数的定义，对每个实数进行判断，统计数量后计算表达式． 【详解】解：无理数有：（每两个2之间依次多一个0），，共3个，故． 有理数有：，共7个，故． 非负实数有：，，，，，，， ，共8个，故． 则． 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数、无理数和非负实数的定义，解决本题的关键是熟练掌握这些定义. 8．①⑥/⑥① 【分析】本题考查的是实数的概念，实数与数轴，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 9．(1)③④⑥ (2)①③④⑥ (3)②⑤⑦⑧ (4)③⑥⑦ 【分析】先化简含开方、运算的数，再根据整数、有理数、无理数、负实数的定义逐一分类即可． 【详解】（1）解：③，是整数，④0是整数，⑥，是整数， ∴整数集合：{③④⑥…}． （2）解：①是分数，是有理数，③，是整数，是有理数，④0是整数，是有理数，⑥，是整数，是有理数， ∴有理数集合：{①③④⑥…}． （3）解：②开立方开不尽，是无理数，⑤开平方开不尽，是无理数，⑦含无理数，是无理数，⑧（相邻两个3之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数， ∴无理数集合：{②⑤⑦⑧…}． （4）解：③，是负整数，是负实数，⑥，是负整数，是负实数，⑦是负无理数，是负实数， ∴负实数集合：{③⑥⑦…}． 10．，3.1415926，，0，，； ，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； ，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； ，0， 【分析】实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【详解】解：，， 根据定义知：有理数有：，3.1415926，，0，，； 无理数有：，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； 正实数有：，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； 整数有：，0，． 11．(1)0；；5.3；； (2) 如图所示： ； (3)4，0，；，5.3；，． 【分析】此题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的分类等知识，熟练掌握实数的分类是关键． （1）根据A、B、C、D在数轴上的位置进行解答即可； （2）根据实数与数轴的关系进行解答即可； （3）根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】（1）解：根据A、B、C、D在数轴上的位置可知，点A表示数0，点B表示数，点C表示数，点D表示数， 故答案为：0，，，； （2）略 （3）略 【题型7 实数的大小比较】 1．C 【分析】先通过正负性排除正数和0，再比较两个负数的大小得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴最小的数在与中， ∵，，， ∴． ∴最小的是． 2．D 【分析】本题考查实数与数轴，利用数轴判断式子的符号，根据点在数轴上的位置，比较数的大小关系，再判断式子的符号，进行判断即可． 【详解】解：根据实数a、b在数轴上的位置可以确定: ，, ∴， ∴． 故选： ． 3．A 【分析】分别求出各数的绝对值，然后比较大小即可. 【详解】解：， ， ， ， ∵ ， ∴ 绝对值最大的是. 4．B 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 5． 【分析】两组均为无理数比较大小，第一组是两个负无理数，利用负数比较大小的规则判断，第二组是两个正无理数，通过同时乘方转化为整数比较大小． 【详解】解：比较和： ∵，， ∴， ∴； 比较和： 对两数同时取次方：， ∵ ∴． 6．（答案不唯一，任意小于的有理数均可） 【分析】，只需写出一个小于的有理数即可． 【详解】解：∵， ∴只需找出一个小于的有理数即可，例如，是整数，属于有理数，且，符合要求． 7． 【分析】将整数化为立方根形式，通过比较被开方数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 8． 【分析】利用作差法进行大小比较即可． 【详解】， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．(1)； (2) (3)证明：∵， ∴， ∴． 【详解】（1）解：；； （2）解：当时，， ∴； （3）略 10．，在数轴上表示见详解 【分析】将各数化简后在数轴上表示出来，再将各数用“”连接起来即可． 【详解】解：，，，， 在数轴上表示各数： ∴． 【题型8 实数的混合运算与化简】 1．(1)1 (2) 【分析】（1）先算乘方并化简绝对值，再算加减法即可； （2）先开平方、立方，并算乘法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． （3）原式 ． 3．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可； （2）逆向运用数值转换器计算即可； （3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案． 【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子， 当时，；当时，，再将代入得； （2）解：当时，，则； （3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身， ∴当或1时，始终输不出值． 4．(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 5．(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 【题型9 实数运算的实际应用】 1．(1) (2)能；理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）略 2．(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 3．(1)该长方形的长为35米，宽为20米 (2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用 【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得； （2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得． 【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 答：该长方形的长为35米，宽为20米． （2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米， ， ，， 能改造出这样的两块不相连的正方形试验田， 改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米）， 原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米， ， ， 原来的铁栅栏围墙不够用， 答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 4．1.2平方米 【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。 【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则 剩下的木料的面积 ， ， ， ， （平方米） 答：剩下的木料的面积约为平方米． 【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $