10.2 实数（第1课时：无理数、实数的分类与数轴表示） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

**基本信息** 该同步练通过A、B、C三层设计，实现从实数概念理解到综合探究的梯度进阶，强化无理数识别、分类及数轴表示的知识巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|无理数识别、实数分类、数轴表示|选择/填空/解答结合，如数轴上表示√12，强化几何直观与抽象能力| |B能力提升|无理数运算性质、数集关系|推断题辨析运算规律，集合关系图培养推理意识，衔接基础向综合过渡| |C综合与实践|无理数证明、代数推理|阅读理解+探究问题，如√2无理数证明，发展创新意识与数学表达能力|

10.2 实数（第1课时：无理数、实数的分类与数轴表示） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列各数是无理数的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简带根号的数，再根据无理数的定义判断． 【详解】解：A、 开方开不尽，是无限不循环小数，∴ 是无理数，符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、是有限小数，属于有理数，不符合题意； D、是整数，属于有理数，不符合题意． 2．实数的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 3．关于的叙述，错误的是（     ） A．是有理数 B．面积为12的正方形边长是 C．是12的算术平方根 D．在数轴上可以找到表示的点 【答案】A 【分析】判断的数性即可找到错误选项． 【详解】解：， ∵是无理数， ∴是无理数，即是无理数，不是有理数，故A选项叙述错误． 4．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定被遮挡数的取值范围． 【详解】解：由图可知，被手掌遮挡住的数在2与3之间． ， 该数应满足， A．，不合题意， B．，不合题意， C．，符合题意， D．，不合题意． 5．在、、5、、、（相邻的两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先化简，再筛选无理数即可． 【详解】解：和5是整数，是有限小数，是分数，均为有理数，，和（相邻两个1之间多一个0）是无限不循环小数，为无理数， 即无理数共2个． 6．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴估算无理数的大小，解题关键是先判断和的范围． 由大于的最小整数为，小于的最大整数为，即可确定，两点之间表示整数的点的个数． 【详解】解：∵，， ∴数轴上介于和之间的整数有、、、， ∴在数轴上的点，点之间表示整数的点有4个． 8．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点E所表示的数为________． 【答案】/ 【详解】解：∵面积为7的正方形的顶点A在数轴上，， ∴， ∵点A表示的数为1， ∴数轴上点E所表示的数为． 三、解答题 9．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 【答案】(1)0；；5.3；； (2) 如图所示： ； (3)4，0，；，5.3；，． 【分析】此题考查了实数与数轴，勾股定理，实数的分类等知识，熟练掌握实数的分类是关键． （1）根据A、B、C、D在数轴上的位置进行解答即可； （2）根据实数与数轴的关系进行解答即可； （3）根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】（1）解：根据A、B、C、D在数轴上的位置可知，点A表示数0，点B表示数，点C表示数，点D表示数， 故答案为：0，，，； （2）略 （3）略 10．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度 ∴． （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 【B能力提升】 一、单选题 1．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 2．若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 二、填空题 3．如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，实数与数轴．熟练掌握无理数的大小估算，实数与数轴是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴表示实数的点可能是点， 故答案为：． 4．如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】设点表示的数为，结合题意可得，进一步可得答案． 【详解】解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 三、解答题 5．将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 【答案】，3.1415926，，0，，； ，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； ，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； ，0， 【分析】实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，由此即可求解． 【详解】解：，， 根据定义知：有理数有：，3.1415926，，0，，； 无理数有：，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，； 正实数有：，，3.1415926，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），，，； 整数有：，0，． 【C综合与实践】 1．阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，移项得． 由结合律和分配律得． 都是有理数， 也是有理数． 是无理数， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根． 【答案】 【分析】根据实数的性质移项可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意，移项得， ，都是有理数， 也是有理数， 是无理数， ， ， ， 的平方根是． 2．【阅读理解】 定义：如果两个整数的最大公因数为1，那么这两个整数互质，有理数均可以表示为两个互质整数的商的形式(整数可以看作分母为1的有理数)；反之为无理数．例如不能表示为两个互质的整数的商，是无理数． 【探究问题】 假设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即___________①． 因为b是整数且不为0， 所以是2的倍数， 因为a是整数， 所以a是2的倍数． 设(n是整数,且)， 则． 所以___________②． 所以b也是2的倍数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使上述过程完整； (2)仿照上述【探究问题】过程，说明是无理数． 【答案】(1)①；② (2) 解：设，a与b是互质的两个整数，且，则， ∴， ∵a，b是整数且不为0， ∴是10的倍数， ∵a为整数， ∴a为10的倍数． 设（n是整数,）， ∴， ∴， ∵b为整数， ∴b也是10的倍数，这与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以是2的倍数， 因为a是整数， 所以a是2的倍数． 设（n是整数，且）， 则， 所以． 所以b也是2的倍数，这与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.2 实数（第1课时：无理数、实数的分类与数轴表示） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．下列各数是无理数的是（     ）． A． B． C． D． 2．实数的相反数是（     ） A． B． C． D． 3．关于的叙述，错误的是（     ） A．是有理数 B．面积为12的正方形边长是 C．是12的算术平方根 D．在数轴上可以找到表示的点 4．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 5．在、、5、、、（相邻的两个1之间多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 二、填空题 7．如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 8．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若，则数轴上点E所表示的数为________． 三、解答题 9．已知七个实数，，4，，，0，其中五个数已在数轴上分别用点、、、、表示． (1)点表示数______，点表示数______，点表示数_____，点表示数______； (2)用圆规在数轴上准确地表示数（提示：注意观察正方形的面积）； (3)将上面7个数分别填入相应括号的横线上． 整数：{ …}； 分数：{ …}； 无理数：{ …}． 10．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【B能力提升】 一、单选题 1．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，在数轴上表示实数的点可能是______点． 4．如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 三、解答题 5．将下列各数填在相应的集合里． ，，3.1415926，，3.030030003…（每相邻两个3之间依次多1个0），0，，，， 有理数集合：{         …}； 无理数集合：{         …}； 正实数集合：{         …}； 整数集合：{           …}． 【C综合与实践】 1．阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，移项得． 由结合律和分配律得． 都是有理数， 也是有理数． 是无理数， 问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根． 2．【阅读理解】 定义：如果两个整数的最大公因数为1，那么这两个整数互质，有理数均可以表示为两个互质整数的商的形式(整数可以看作分母为1的有理数)；反之为无理数．例如不能表示为两个互质的整数的商，是无理数． 【探究问题】 假设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即___________①． 因为b是整数且不为0， 所以是2的倍数， 因为a是整数， 所以a是2的倍数． 设(n是整数,且)， 则． 所以___________②． 所以b也是2的倍数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使上述过程完整； (2)仿照上述【探究问题】过程，说明是无理数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $