精品解析：浙江省江浙皖共同体2026-2027学年第一学期高三年级10月联考数学试题

2026学年第一学期高三年级10月联考 数学 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】全集，集合，所以. 故选：C 2. 双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】双曲线中， 本题选择C选项. 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】从充分性和必要性两个维度分别判断： 判断充分性： 因为，可得为负数，也为负数.不等式两边同时乘，不等号方向改变， 得：，化简得，充分性成立； 判断必要性： 若，举反例：取，，此时，但，不满足， 必要性不成立 因此“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数有两个极值点，得方程有两个不等的实数根， 因此，解得，所以的取值范围是. 5. 某6个数据的样本平均数为26，方差为7．现增加一个数据26，则这7个数的方差为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设6个数据为，由题设可得题设中涉及的个数据的平均数及，据此可得答案. 【详解】设6个数据为，因6个数据的样本平均数为，且新增加数据为， 则题设中涉及的个数据的平均数为. 由个数据的方差为，可得 则这7个数的方差为： 6. 如图，是古代用来盛粮食的小容器称为“升篓”，其形状是一个正四棱台，上、下底面边长分别为，．若从一个盛满米的“升篓”中取出610 g米后，米的高度下降一半，则剩余米的重量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设“升篓”的高为，米的密度为， 可知上、下底面边长分别为，，则中截面的边长为， 则上底面面积为，下底面面积为，中截面面积为， 所以，解得， 则剩余米的重量为. 7. 已知函数，．若为奇函数，则（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出及的定义域，利用奇函数定义域关于原点对称求出n，再根据奇函数性质求出m，最终算出m+n. 【详解】因为，所以， 由，得不等式解集为，即的定义域为 因为是奇函数，奇函数的定义域关于原点对称，所以，得， 所以的定义域为，又是奇函数，则，即，得， 故 8. 已知函数，其图象过点，，且在处的导数．则正数的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数过零点与最高点的坐标建立相位方程，结合导数小于0确定零点处于下降沿（对应相位为奇数倍π），消去后结合，筛选出最小正数ω. 【详解】已知， 由图象过点，得 ① 由图象过点（最大值点），得 ② ，由且 ，可得， 代入①式得，因此为奇数， 用②式减去①式，得，即， 设奇数，令整数，代入化简得， 由 得，从小到大的候选值依次为 由①式变形得 ，代入候选值验证： 当时，代入奇数计算得到的，均不满足，舍去； 当时，取，得 ，满足， 因此正数的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】. 对于A，，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，因虚数不能比较大小，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 在正三角形的顶点处有一只机器蛙，每次跳动，仍在原地的概率为，跳向另外两点的概率均为．记机器蛙第次跳动后停在，，的概率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式逐项分析判断. 【详解】依题意，， 对于A，经过2次跳动后，机器蛙在顶点处有三种路径：第1次在，第2次从跳到； 第1次在，第2次在原地跳；第1次在，第2次从跳到， 因此，A错误； 对于B，由选项A，同理， 因此，B正确； 对于C，机器蛙第次跳动后一定停在点之一，则， 机器蛙从出发，且在任意定点的跳动规则是统一的，在处与在处是等可能的， 因此，，C正确； 对于D，第次在处有3种可能，第次分别在处，因此 ，D正确. 11. 已知函数的定义域为，对于，定义集合，若，则成立，称函数为“函数”．下列选项中是“函数”的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“函数”的定义一一验证各个选项的函数即可. 【详解】选项A分析：是上的严格增函数： 对任意，等价于，化简得， 因此所有， 若，则，， 显然，符合D函数定义，A正确； 选项B分析：是上的严格减函数， 对任意，等价于， 化简得即，因此所有， 若，则，， 显然，符合D函数定义，B正确； 选项C分析：取，，此时， ，满足。 ，取，代入验证： ， 因此，不符合D函数定义，C错误； 选项D分析：易知函数在上单调递增， 当时，要使， 那么，若 ，则需 ，且 ； 若 ，则 ，而 ，不等式不可能成立, 故此时； 当 时，要使 ，那么，若 时，； 若 时，，均不成立，故此时； 当 时，要使 ， 那么，若 ，则左边 ，右边为负数，不等式恒成立，此时 ； 若 ，则需 ， 故此时， 若时，存在三种情况，分别为，，； 当时，，，由于， 故； 当时，,，故； 当时,，, 由于，故. 因此D符合D函数定义，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则__________． 【答案】6 【解析】 【详解】因为向量，， 所以 13. 已知，，若点是抛物线上的动点，则面积的最小值是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可得直线AB的方程，设点坐标为，求解到直线的距离，再求的最小值即可求解. 【详解】由题意直线的方程为，. 设点坐标为， 则到直线的距离为， 当且仅当时取等号，此时. 于是面积的最小值为. 14. 一袋中装有若干个标号为1，2，3，4，5，6，7，8的小球，其中标号为1，2，…，8号的小球个数成等差数列．小明从袋中有放回地摸了两次，每次摸1个球，若两次摸出的小球标号相同的概率为，则两次摸出的小球标号之和为9的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用8项等差数列首尾配对和相等的性质，结合平方和恒等式将已知的平方和概率条件转化为乘积和，代入目标概率表达式后总球数参数直接约去，即可算出结果. 【详解】设标号为的小球个数依次为，由题意，数列为等差数列， 总球数， 由等差数列的性质：， 令，则总球数， 从袋中有放回地摸了两次，每次摸1个球， 若两次摸出的小球标号相同的概率为，所以， 将平方和按首尾配对分组，利用恒等式变形： ， 令，得，得，故， 两次标号之和为9的有序情况有：， 因此两次摸出的小球标号之和为9的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且的周长为21，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及正弦定理得到，再根据得到，根据辅助角公式即可求解； （2）根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 由，得， 由正弦定理得：， 由， 代入得：， 因为，所以， 所以，即， 因为，即， 所以，即． 【小问2详解】 因为，，所以， 由余弦定理得：， 即，即， 解得， 所以． 16. 给定函数． （1）若的最小值为，求的值； （2）若曲线有两条过点的切线，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导确定函数单调区间，进而确定最小值点，再代入最小值条件建立关于的方程求解； （2）设切点，写出切线方程，利用切线过点转化为关于切点横坐标的一元二次方程，切线条数等价于该方程不等实根的个数，借助判别式求参数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 令，解得． ，，的变化情况如下表所示： - 0 + 单调递减 单调递增 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，有极小值也是最小值， 由题意得，，解得． 【小问2详解】 由（1）得． 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为． 因为切线过点，代入得， 又，整理得：. 因为切线存在两条，所以该方程有两个不等实根， 所以，解得或. 所以的取值范围为． 17. 如图，在正三棱柱中，，点在棱上， （1）求证： ①平面； ②； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：①因为平面平面，平面， 所以平面． ②设的中点为，连接，， 因为为正三角形，所以， 又侧面平面，侧面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，， 所以， 所以，即， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据面面平行的性质即可得线面平行； ②根据面面垂直可得平面，即可得，利用空间向量可证，即可利用线面垂直的判定定理证线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 ①略； ②略； 【小问2详解】 如图以建立空间坐标系（是的中点）， 不妨设，则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 取，得； 设平面的法向量，则， 取，得； 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 则， 所以二面角的余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的右焦点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：与交于，两点． （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）在轴上是否存在一定点，使得直线，的斜率之和恒为0？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，点 【解析】 【分析】（1）根据焦点和离心率求，进而可得和椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，（ⅰ）利用韦达定理可得面积，换元令，可得，结合函数单调性求最值； （ⅱ）假设存在点，根据斜率公式以及韦达定理可得，结合题意运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，则，即， 所以的标准方程为． 【小问2详解】 设，，直线与轴的交点为， 因为点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 联立方程，消去整理得， 因为，是上述方程的根，则. （ⅰ）因为， 且，可得 ， 令，则，可得， 因为在内单调递增，则， 可得，所以面积的最大值为； （ⅱ）设存在点，使，即， 可得，整理可得， 即，整理可得， 因为上式对恒成立，则，解得， 所以存在一定点，使得直线，的斜率之和恒为0． 19. 设数列为等比数列，对集合，，，…，，定义．已知，，且，． （1）求数列的通项公式； （2）对任意正整数，若，求证：； （3）若，，且，求证：． 【答案】（1） （2）当，可知中的元素均大于， 令，且， 则． （3）令，，，，设，，…，与，，…，中第1个不等的项为第个，即， 由，， 去掉前面个相等的项得，（1） 若，则，（1）两边同除以，得 ，（2） 而， ，这与（2）矛盾，所以不成立， 同理可得，不成立， 所以不成立． 所以成立，所以． 【解析】 【分析】（1）根据集合交集和并集的定义，求出，再根据并集的元素构成，代入子集和的定义列出关于公比q的方程，求出结果，写出通项公式； （2）利用等比数列的通项关系，将所有下标大于k的项用表示，进而用等比数列的求和公式，得到所有下标大于k的项的总和恰好等于；由于T是有限子集，子集和是有限项的部分和，必然小于无穷总和，直接得到不等式结论； （3）采用反证法，假设，构造两个集合的对称差T，取T中的最小元素k；利用第（2）问的结论，对做放缩，推出，与题设条件矛盾；因此原假设不成立，证明，得到子集和的唯一性； 【小问1详解】 设数列的公比为， 由题可知，，则，所以，即， 可得，所以， 得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高三年级10月联考 数学 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的离心率为 A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某6个数据的样本平均数为26，方差为7．现增加一个数据26，则这7个数的方差为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，是古代用来盛粮食的小容器称为“升篓”，其形状是一个正四棱台，上、下底面边长分别为，．若从一个盛满米的“升篓”中取出610 g米后，米的高度下降一半，则剩余米的重量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，．若为奇函数，则（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 8. 已知函数，其图象过点，，且在处的导数．则正数的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 在正三角形的顶点处有一只机器蛙，每次跳动，仍在原地的概率为，跳向另外两点的概率均为．记机器蛙第次跳动后停在，，的概率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，对于，定义集合，若，则成立，称函数为“函数”．下列选项中是“函数”的为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则__________． 13. 已知，，若点是抛物线上的动点，则面积的最小值是__________． 14. 一袋中装有若干个标号为1，2，3，4，5，6，7，8的小球，其中标号为1，2，…，8号的小球个数成等差数列．小明从袋中有放回地摸了两次，每次摸1个球，若两次摸出的小球标号相同的概率为，则两次摸出的小球标号之和为9的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且的周长为21，求的面积． 16. 给定函数． （1）若的最小值为，求的值； （2）若曲线有两条过点的切线，求的取值范围． 17. 如图，在正三棱柱中，，点在棱上， （1）求证： ①平面； ②； （2）若，求二面角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的右焦点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：与交于，两点． （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）在轴上是否存在一定点，使得直线，的斜率之和恒为0？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 设数列为等比数列，对集合，，，…，，定义．已知，，且，． （1）求数列的通项公式； （2）对任意正整数，若，求证：； （3）若，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $