浙江天域名校协作体2027届高三上学期10月学科练习数学试卷

绝密★使用前 高三数学学科练习参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B D B C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.AC 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2π 12. 3 13.2W10 14.1023 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)(1)C,A为锐角， 又因为C+A=,解得C=近A见 ……5 24 2》cos2C=cos(C+A+(c-4)=55_12_6- 2222 4 2-1-2sin2c, cOs24-c0s/(C+A)-C-42 2126+ 2-1-2sin2A …8 于是sin2c-sin2A=V2 …10 4 又因为2R= 6 ,…12 sin B 故c2-a2=(2RP(sn2c-sin2A小- 13 16.(15分)（1)：在三棱柱中，O为A在底面ABC上的投 影 ∴.AO⊥面ABC, A,C/I面ABC ∴·点M到平面ABC的距离等于点A到平面ABC的 距离2 因为AM与平面ABC所成的角为子，且A01面ABC, 六∠448=年，0A=04=1 .4 c=业m=9e40=×92x1 34 3 .7 (2)以O为原点，OB,OC,OA为x,y,z轴，如图， 可得：0(0,0,0)，B(1,0,0),C0,V5,0,A(-1,0,0),A(0,0,1), 又3w4.--c=写90 3 B .9 所以晒（号 Ba=(-2,00,Bc-（←15,0)， 设m=(:,y,)为平面ABM的一个法向量， 「2,5 则 +3%+=0,令云=1，则m=(0,-5,, -2x=0 设n=(x2y2,2)为平面CBM的一个法向量， nBM=0 [2,5 2*行 n-8C=0,即 则 13 -x2+V3y2=0 2w5 lcos(m,n= m列 3 3 网同 2x佩--2 13 所以平面ABM与平面CBM所成角的正弦值为239 …15 13 17.(1)()=ma-amx f(x)-a-hna+l-Inx-x …2 x2 令8()=a-ha+1-lnx-x,则g(x)=--1<0, 即g(X)递减，…4 又g()=a-lna>0【可证：lnx≤x-1】,，g(a)=1-2na<0（~a>e), 所以存在唯一零点x∈(1，a),使得g(xo)=0,… …6 当x∈(0，x),g(x)>0,即f'(x)>0, 当x∈(o,+o),g(x)<0,即当f'(x)<0, 因此X是f(x)的唯一极值点.…7 (2)由(1)可知x。是极大值点， 所以对任意x>0,f(x≤f(x).…9 因此只需证明不等式：对任意x>0,都有了（化，）<2-2，即f6,)-2+2<0. 由f'(x)=0,得：a-lna+1-lnxo-x%=0,得na-a=1-lho-, )=Ina-d InxInx-nxn ix., Xo 则f大）2t2E1nX+l,2 令p=-1-1nx+1,则p因=-=15x, XX-Y 当x∈(1，a),p'(x)<0，p(x)递减， 故K<(）=0,即f0,）2+2<0,得证.…15 18.(17分)(1)设A(x,%),则B(-x,-%), 线D:y-为三7C-x,从而D-2x,0…2 故8+kD=业+ （%) =0为定值.… (-0)-(-2x) (2)设E(x,),则 k制ka=名-业.当+业=只-好 ……7 名-0名+x0x-x0 X-xo 如设起知如=8得=气（)，解将k=5g 1 (3)设B(-xo,-%),直线BE的直线方程为y+y%=-k(x+xo),…10 可化为y=-c-2yo, [y=-kx-2y0 由 3+21 得(1+3k2)x2+12yox+12y-3=0. 6y0 的中点为M,则xM1132,yw=-w-2y,……产 联立AB,BE得垂直平分线 y-w=-w XM 得外接圆圆心为P的纵坐标为yp= 2 y=-x 6y0-2y0 于是2w,-+,-2%-+ +用%器- …15 =号-3%3-3g)-=2%-) 设=-)，由于()为奇函数，只需考虑0≤x≤1，令f)=1-3r=0,得=5 当0≤x<5时，/>0，y=网单调道增： 3 当 <x≤1时，f(x)<0,y=f(x)单调递减： 3 当x=5f因=f号 25 3 9 故y,的最大值为 v5 ,…17 9 19.(17分)（1)F(40:2,3,1,4,… 2 F2(A):1,2,3,4… .4 (2)结论2分，根据m的位置分类讨论的意识2分，说理2分 (i)考虑将最大的数m插入到由1,2,3，…，m-1构成的排列中： ①若m插在第1位：因为m最大，第一次变换会把它直接移到最右边，这相当于在子排列上多消耗 了一次变换，所以X比原来大1，对应Nmk: ②若m插在其余m-1位置：由于m最大，在变化过程中，m始终不可能成为排列的首项，因此X 保持不变，对应(m-1)Nm-k· 由①②知，Nmk=Nm-k-1+(m-1)Nm-k,故2=m-110 (i)【解法-】P(X=)=V上， m! 当m=1时，X=1,从而E(X)=1=1+ln1,满足结论.… 当m≥2时，由①得E,(X)=2k:=2k(N4+(m-1)N) m!m!k台 令j=k-1,则 kN-(m-1)tE(X)+(m-I) 又因为(m-)∑kNaw=(m-l)小-(m-l)E.(X),， 于是E(X)=En(X)+1, m …14 综上，E.(X)-1+2+m m 起树=h+20.则/w中4”y0, 于是f(x)单调递增，从而f(x)≥f(0)=0,当且仅当x=0等号成立.…15 所以=h+>0，即<h 二+1 n+1 n n 故En(X)=1++++1<1+n2+n++lnm=l+nm. 2 3 23 2 m-1 命题得证 ……………………17 【解法二】当m=1时，X=1,从而E(X)=1=1+n1,满足结论.11 当m≥2时，将1,2，，m任意排列得到随机排列A:a,a2,,am,使得F*(4)=Fk-(4)成立的 最小的正整数k为X,记此时X的期望为Em· 设A:4,2,,n中a=,则1等可能地取1,2，，m,故Pa=)=1,1=2,,m. m 对A作用一次划分变换F 若t=1,则没有小于1的数，变换后排列不变，此时X=1; 若t之2，则F(0:4,42,…,44,4,4…,0j其中a4,42,…,a是1,2，…，t-1的一个排列， 并且此后的划分变换F只对左侧的t-1个数起作用，右侧大数保持相对顺序不变，此时满足 F*(A)=F-(4),后续需要的最少次数的期望为E,1, 于是，在a,=t的条件下，有E(Xla=)=E-1+1 故E=上×1+2G1+, …… 12 m m 即mE。=251+m0从而（m-51-足5+m-1@, 1=2 1=2 1 ①-②得mEm-(m-l)Em-=Em-1+1(m≥3)，即Em=Em-+(m≥3)③ m 易知6=1E2=1+=3 1 1 ),容易验证E2=E+。满足Em=Em1+ 14 2 m 从而有Em=1+2+ 11 5+…+二， m 记f=+-本≥0，则f=1-】 x+1 x+1x+102(G+D2≥0， 于是f(x)单调递增，从而f(x)≥f(0)=0,当且仅当x=0等号成立… 15 所f=h+分>0，即<n中。 二+1 n+1 n 11 ，3 故En=1+号t++<1+n2+1n3++lnm,=l+nm. 2 2'3m 12 m-1 综上，X的期望E(X)≤I+lnm. 17绝密大使用前 高三数学学科练习 注意事项： 1.本题共4页，满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。 3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效。 4.结束后，只需上交答题卡。 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合A={(x-2)2>0},集合B={=2k+1,k∈N},则AnB=（) A.0 B.{2 C.A D.B 2.已知aeR,i为虚数单位，若a+i 1- 为纯虚数，则a的值为() A.1 B. C.0 D.-1 2 3.已知a,b∈R,则“a3<b”的一个充分不必要条件是（) A.1>1 B.a2<b2 C.lga<lgb D.29<2 4.若将函数∫(x)=sinx+cosx的图象向左平移p(p>O)个单位后的函数图象关于y轴对称，则p 可取值为（) A. 6 c分 D. 3π 4 5.已知事件A与事件B同时发生时，事件C必然发生，则下列结论正确的是（) A.P(C)=P(AB) B.P(C)=P(A+B) C.P(C)sP(A)+P(B)-1 D.P(C)≥P(A)+P(B)-1 6.设Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和，S,=2an-1,且49a。-bn=n2”,则当Tn取得最大 值时，n=() A.23 B.24 C.25 D.26 e泰a-grg() A.-2 B.0 C.2 D.10 &设0为原点，F.写分别为双重线C手茶=阳>0b>的左右东点，44分别为左右丽 点，点P在双曲线C上且满足OP=2a,OP平分∠FPA,则该双曲线的离心率为() A. 4+V13 B.4+V9 c. 2+V13 D.2+19 3 3 3 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9掷一枚质地均匀的骰子，连续抛掷4次，记录每次朝上的点数.若该组数据的平均数为3，则(） A.中位数可能为3 B.极差可能为1 C.众数可能为2 D.方差可能为6 10.在棱长为2的正四面体ABCD中，点P在平面BCD内，且PA=2,则下列说法正确的有() A.点P的轨迹是圆 B.三桉锥P-ABC的体积最大值为 3 C.存在点P,使得AP⊥BC D.AP.CD的最小值为-4 3 11.已知奇函数f(x)和偶函数g(x)的定义域均为R,其导函数分别为f(),g(),且 '(x)=g(x),g'(x)=f(x),g(0)=1,则下列结论中正确的是（) A.f(x)+g(x)=c* B.函数y=只的值域为(-1，D 8(x) C.对任意x0,+四），都有凶】>k,那么k的取值范围为(0，) D.若直线x=m与函数f(x)、函数g(x)的图象分别交于A、B两点，函数f(x)在点A处 的切线与函数g(x)在点B处的切线相交于P,则PA的最小值为√2 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知两单位向量a,6满足a+26=a-,则a,6的夹角为 13.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上点T(2,-2),斜率为1的直线I过点T,抛物线C上存在两点M, N关于直线I对称，则M0N=一 14.设数列口，}满足4=2，a1=a,2-2,十1，S,=乃二1，记[冈为不超过实数x的最大整 kol ak 数，则[S124]=一 高三数学学科练习第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步累. 15(13分在△MBC中，角4B,C所对应的边分别为ab,csnC-)=,B-子。 (1)求A; (2)若b=1,求c2-a2. 16.(15分)如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，△ABC为边长为2的正三角形，顶点4在底面ABC的投 影为线段B的中点O,已知直线A与平面BC所成的角为二，M为棱4C上一动点了 (1)求三棱锥M-ABC的体积； (2)若AC=3AM,求平面ABM与平面CBM所成角的正弦值. A】 M B C aδ 17.15分)已知函数fx)-(@-nx-:(a>）, (1)求证：函数∫(x)在(0，+∞)上存在唯一极值点x; (2)设，为(1)中的极值点，求证：对任意x>0,都有了()<二-2. 18,(17分)已知椭圆C:号+y=1,点A在椭圆C上，0为坐标原点，A、B关于原点对称，设直线MB 3 斜率为k,过点A作斜率为？的直线交x轴于点D,直线BD与椭圆C交于另一点E. (1)证明：直线AB与直线BD斜率之和为定值： (2)若直线AE,直线AD,直线AB的斜率依次成等比数列，求k的值： (3)求△ABE外接圆圆心P的纵坐标的最大值， 19.(17分)已知a1,a2,,am为1,2，…，m的一个排列A,定义一次划分变换P:把小于a的数按照原排 列的顺序排在a,左边（若没有小于a,则其左侧不放任何数)；把大于4的数按照原排列的顺序排 在a右边（若没有大于a,则其右侧不放任何数），得到新的数列记为F(4),其中F(A)=A, FM()=F(F-(A),nEN'. (1)若排列A为4,2,3,1，写出F(A)以及F2(A); (2)对于任意有限排列A,必定存在正整数k使得F*(4)=F(4).记使得F*()=F-(4)成立的 最小的正整数k为随机变量X,且N,k表示满足X=k的排列A的个数(1≤k≤m),其中N,=1. (i)若Nmk=N.-k-+N-u(m之2)，求的值（用m表示）： (i)证明：E(X)≤1+nm. 命愿学校：福建省厦门双十中学，山东省实验学校，西安市高新第一中学 磨愿学校：学军中学，福建省厦门双十中学，山东省实验学校，西安市高新第一中学