浙江省江浙皖共同体2026-2027学年第一学期高三年级10月联考数学试题

绝密★考试结束前 2026学年第一学期高三年级10月联考 数学 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．某6个数据的样本平均数为26，方差为7．现增加一个数据26，则这7个数的方差为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，是古代用来盛粮食的小容器称为“升篓”，其形状是一个正四棱台，上、下底面边长分别为，．若从一个盛满米的“升篓”中取出610 g米后，米的高度下降一半，则剩余米的重量为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，．若为奇函数，则（ ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 8．已知函数，其图象过点，，且在处的导数．则正数的最小值是（ ） A． B． C． D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 10．在正三角形的顶点处有一只机器蛙，每次跳动，仍在原地的概率为，跳向另外两点的概率均为．记机器蛙第次跳动后停在，，的概率分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，对于，定义集合，若，则成立，称函数为“函数”．下列选项中是“函数”的为（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，则__________． 13．已知，，若点是抛物线上的动点，则面积的最小值是__________． 14．一袋中装有若干个标号为1，2，3，4，5，6，7，8的小球，其中标号为1，2，…，8号的小球个数成等差数列．小明从袋中有放回地摸了两次，每次摸1个球，若两次摸出的小球标号相同的概率为，则两次摸出的小球标号之和为9的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且的周长为21，求的面积． 16．（本题满分15分）给定函数． （1）若的最小值为，求的值； （2）若曲线有两条过点的切线，求的取值范围． 17．（本题满分15分）如图，在正三棱柱中，，点在棱上， （1）求证：①平面；②； （2）若，求二面角的余弦值． 18．（本题满分17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的右焦点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线：与交于，两点． （ⅰ）求面积的最大值； （ⅱ）在轴上是否存在一定点，使得直线，的斜率之和恒为0？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本题满分17分）设数列为等比数列，对集合，，，…，，定义．已知，，且，． （1）求数列的通项公式； （2）对任意正整数，若，求证：； （3）若，，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高三年级10月联考 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】6 13．【答案】1 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解】（1）由，得， 由正弦定理得：， 2分 由， 代入得：， 因为，所以， 4分 所以，即， 5分 因为，即， 所以，即． 7分 （2）因为，，所以， 8分 由余弦定理得：， 10分 解得：， 11分 所以． 13分 16．【解】（1）函数的定义域为， 2分 令，解得． ，的变化情况如下表所示． - 0 + 单调减 单调增 4分 所以，在区间上单调减，在区间上单调增． 当时，有极小值也是最小值， 6分 由题意得，，解得． 7分 （2）由（1）得．设切点坐标为， 所以切线的斜率， 所以切线方程为． 10分 又因为切线过原点，所以， 整理得：， 13分 因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根， 所以，解得，或 15分 17．【解】（1）证明：①因为平面平面，平面， 所以平面． 2分 ②设的中点为，连接，， 因为为正三角形，所以， 又侧面平面，侧面平面，所以平面， 4分 因为平面，所以． 5分 因为，， 所以， 所以，即， 7分 又，，平面，所以平面， 平面，所以． 9分 （2）如图以建立空间坐标系（是的中点），不妨设，则，，，， 11分 则，，， 设平面的法向量为，由，及，得：，及，取，得． 同理可得平面的法向量． 13分 设二面角的值为，由图可知为锐角．且 ． 所以二面角的余弦值为． 15分 18．【解】（1）由题意知，，，得， 2分 所以的标准方程为． 4分 （2）设，，直线与轴的交点为． 联立，消去整理得，． 因为，是上述方程的根， 所以， 6分 （ⅰ）由 ， 7分 因为， 所以 ． 9分 令， ． 11分 （ⅱ）设存在点，使， 即， 13分 即，为， 所以， 15分 因为上式对，恒成立，所以，解得． 故存在一定点，使得直线，的斜率之和恒为0． 17分 19．【解】（1）设数列的公比为， 由，得， 2分 由，得，解得． 4分 所以．（） 5分 （2）当，令，且． 则． 7分 ． 9分 （3）令，，，，设，，…，与，，…，中第1个不等的项为第个，即， 由，， 去掉前面个相等的项得，（1） 11分 若，则，（1）两边同除以，得 ，（2） 13分 而， 15分 ，这与（2）矛盾，所以不成立， 同理可得，不成立， 所以不成立． 所以成立，所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $