精品解析：四川达州市宣汉县新华中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

四川省达州市宣汉县新华中学2026-2027学年九年级上学期9月月考数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列关于的方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A选项方程为，含两个未知数，不符合题意； B选项方程为，只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合题意； C选项方程为，不是整式方程，不符合题意； D选项方程为，最高次数为1，不符合题意． 2. 若是方程的一个根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，判断各选项进行分析即可． 【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合判定定理，正确. B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题未限定为平行四边形，错误. C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题不符合正方形判定条件，错误. D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题未限定为平行四边形，错误. 4. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 5. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合，是一种经常使用的解题方法．根据根与系数的关系，可得出，，再代入即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵在矩形中， ， ∵由折叠的性质可知：， ， 在和中 ， ， ， 设：，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 7. 已知a、b满足，则代数式的值为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 8. 如图，正方形的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点在直线上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F，将正方形沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据待定系数法求得的解析式，过点作于点，过点作于点，证明，即可得到的长，再证明，即可得到点坐标，再根据平移可得平移后的坐标，代入直线，即可解答． 【详解】解：点在直线上， ， ， 直线解析式为， 如图，过点作于点，过点作于点， 则，， ，， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， 将正方形沿y轴向下平移个单位长度后，点C恰好落在直线l上， 设平移后点， ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移的性质，正确做出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 10. 如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点O，于H，连接，则＝______度． 【答案】25 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得，，再根据直角三角形的性质得，进而得出，根据平行线的性质得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案. 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，. ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴. 在中，， 在中，， ∴. 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质等，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 11. 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】把x=0代入已知方程，列出关于a的新方程，再根据一元二次方程的定义可知a+2≠0，由此求解即可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0， ∴a2﹣4=0且a+2≠0， 解得 a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意：一元二次方程的二次项系数不等于零． 12. 如图，在正方形中，连接，延长至点，使得，连接，则的度数为___________°． 【答案】22.5 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 由题知，再由，根据等边对等角，可得，接着求即可． 【详解】解：在正方形中，平分， ， ， ， ． 故答案为：22.5． 13. 如图，已知矩形，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理．正确连接辅助线是解题关键． 连接．由矩形的性质可间接证明得出，从而可求出，再由勾股定理可求出，最后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F、G分别为、的中点， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程的一般式得到判别式大于零，用公式法求解． （2）提取公因式，化为两个一次因式之积，用因式分解法求解． （3）二次三项式可分解为，用因式分解法求解． （4）移项后提取公因式，化为两个一次因式之积，用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 【小问3详解】 解：， ， 或， ，． 【小问4详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 15. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 【小问2详解】 方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． 16. 如图，在中，点D、E分别是的中点，，延长到点F，使得，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线性质，得，根据，得到，结合，推出四边形是平行四边形，推出平行四边形是菱形； （2）根据菱形性质得到， ，得到是等边三角形，根据正三角形面积公式得到． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形综合．熟练掌握三角形中位线性质，平行四边形判定和性质，菱形判定和性质，等边三角形判定和性质，等边三角形面积公式，是解决问题的关键． 17. 中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为； （2）涨价5元 【解析】 【分析】（1）利用“原价×(1-下降百分率)2=两次降价后的价格”列方程，注意下降百分率的取值范围是，需舍去不合题意的解． （2）根据“每盒盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择使日销售量更大的涨价金额(即较小的涨价数值)． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为， 根据题意可得：， 解得，(舍去)， 答：每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设每盒应涨价元， 根据题意可得：， 展开化简得：， 因式分解得：， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每盒应涨价5元． 18. 已知四边形是正方形，点是延长线上一点，点是上一点，． （1）如图1，求证：； （2）连接交于点，连接． ①如图2，求证：； ②如图3，若正方形边长为8，点是的中点，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， 则， 即， 在与中， ， ， ； （2）①证明：如图，过点作交于， 则， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 由（1）可知，则， ， 又， 在与中， ， ， ， 点为的中点， 是的斜边上的中线， ， 在中，，则， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到边与角度的关系，结合角边角的证明方法证明与全等即可； （2）①添加辅助线，过点作交于，先得到是等腰直角三角形，再由角角边的方法证明与全等，由此可得，再结合直角三角形中斜边中线的性质以及勾股定理求解即可； ②添加辅助线，过点作交于，先由勾股定理求解出与的长度，进而求解的边长，由此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②过点作交于，如图， 正方形边长为8， 是的中点，是等腰直角三角形， ， ， 又， ， 由①知， ，则． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义．直接根据一元二次方程的定义可得，根据根的判别式得出，计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得， 故答案为：且． 20. 如图，在矩形中，，，点在上，且，连接，将沿折叠得到，若点的对应点Q落在矩形的边上，则___________． 【答案】8或 【解析】 【分析】分两种情况：①当Q点在上时，根据矩形的性质和折叠的性质，可得，根据，即可求出a的值；②当Q点在边上时，根据折叠的性质可得，，进而可得．设，则，在中，根据勾股定理可得，在中, 根据勾股定理可得． 本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①如图1，当Q点在上时 ∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图2，当Q点在边上时， ∵四边形是矩形， ∴，且，， ∵， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得． 在中，， ∴， ∴， 解得（舍去），． 综上，或． 21. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 22. 阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据题意得到m，是方程的实数根，解方程得到解为，根据m，n的取值分情况讨论即可． 【详解】解：∵实数m，n满足， ∴m，是方程的实数根， 解方程得， ∴分情况讨论： ①若，则； ②若，则 若，，，不合题意，舍去； 若，，，不合题意，舍去． 综上所述，． 故答案为：． 23. 如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质以及勾股定理可得，再证明可得，，即；设，则，利用勾股定理列方程可得，即；如图：取的中点H，则，利用三角形中位线定理可得，，即；如图：过G作于I，连接,易得四边形是矩形，即，，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 如图：取的中点H，连接,则， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 如图：过G作于I，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，然后由菱形的性质得到，即可证明四边形是矩形； （2）首先证明是等边三角形，求出，，然后利用矩形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 25. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 【答案】（1）①③ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根为、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系，结合完全平方公式即可得到，，的数量关系． 【小问1详解】 解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． 【小问2详解】 解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 【小问3详解】 解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 26. 如图1，在正方形和正方形中，点在同一条直线上，P是线段的中点，连接，． （1）探究与的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）； （2）如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且度．探究与的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，将图2中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（1）， （2） 猜想：线段与的位置关系是，； 理由如下：∵是线段的中点， 如图2，延长到交于点H， ∵点P是的中点， ， 由题意可知， ， ， 在和中， ， ， ，， ∵四边形是菱形，， ，， ， 是等腰三角形， 又， ，， ， ， ， ； （3） 解：（2）中得到的两个结论仍成立， 理由如下：如图3，延长到H，使，连接，，， 是线段的中点， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ∵四边形是菱形， ，，点A、B、G又在一条直线上， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即， ，， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）延长交于点，可证，可得，，可证是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，，即可求解； （2）延长交于点H，可证，可得，，可证是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，，即可求解； （3）由全等三角形的性质可求，，由等腰三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：如图1，延长交于点， ∵四边形和四边形是正方形， ，，，， ， ∵点P是的中点， ， 又， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 又， ，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形，菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市宣汉县新华中学2026-2027学年九年级上学期9月月考数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列关于的方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 4. 在菱形中，，，则（ ）． A. B. C. D. 5. 若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 6. 如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知a、b满足，则代数式的值为（ ） A. B. 4 C. 或4 D. 2 8. 如图，正方形的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点在直线上，直线l分别交x轴，y轴于点E，F，将正方形沿y轴向下平移m个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 3 D. 6 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 10. 如图，四边形是菱形，，对角线，相交于点O，于H，连接，则＝______度． 11. 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为_____． 12. 如图，在正方形中，连接，延长至点，使得，连接，则的度数为___________°． 13. 如图，已知矩形，，平分交于点E，点F、G分别为、的中点，则的长为_________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． （3）； （4）． 15. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 16. 如图，在中，点D、E分别是的中点，，延长到点F，使得，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 17. 中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 18. 已知四边形是正方形，点是延长线上一点，点是上一点，． （1）如图1，求证：； （2）连接交于点，连接． ①如图2，求证：； ②如图3，若正方形边长为8，点是的中点，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 20. 如图，在矩形中，，，点在上，且，连接，将沿折叠得到，若点的对应点Q落在矩形的边上，则___________． 21. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 _____． 22. 阅读理解：已知实数m，n满足，且，可以把m，n看成是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得，． 类比探究：已知实数m，n满足，且，则_________． 23. 如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求矩形的面积． 25. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． （2）若是“邻根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 26. 如图1，在正方形和正方形中，点在同一条直线上，P是线段的中点，连接，． （1）探究与的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）； （2）如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且度．探究与的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，将图2中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $