第5讲 函数的基本性质专题练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五讲 函数的基本性质—专题练习 【知识点梳理】 单调性与最大（小）值 知识点一、函数的单调性 1.单调递增与单调递减 名称 单调递增与增函数 单调递减与减函数 定义 一般地设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 一般地设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 图 形 表 示 几何 意义 函数图像在区间I上从左到右是上升的 函数图像在区间I上从左到右是下降的 2.单调递增和单调递减定义的等价形式 （1）∀x1，x2∈I，且x1≠x2，都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]>0或，则f(x)在区间I 上单调递增. （2）∀x1，x2∈I，且x1≠x2，都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]<0或，则f(x)在区间I 上单调递减. 3.单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 4.常见函数的单调性 （1）一次函数：y=ax+b(a≠0). ①a>0时，在R上单调递增；②a<0时，在R上单调递减. （2）反比例函数：. ①a>0时，在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递减； ②a<0时，在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增. （3）二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0). ①a>0时，在（-∞，）单调递减，在（，+∞）上单调递增； ②a<0时，在（-∞，）单调递增，在（，+∞）上单调递减. 知识点二、函数的最大（小）值 1.函数的最大（小）值的定义 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图像上最高点的纵坐标 f(x)图像上最低点的纵坐标 2.求函数最大（小）值常用方法 （1）图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． （2）运用已学函数的值域． （3）运用函数的单调性： ①若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． ②若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． （4）分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 奇偶性 知识点一、函数的奇偶性 奇、偶函数的定义 名称 定义 等价形式 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 ∀x∈I，都有－x∈I，有： f(－x)－f(x)=0； . 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 ∀x∈I，都有－x∈I，有： f(－x)+f(x)=0； . 知识点二、奇、偶函数的图像 1.奇、偶函数的图像特征 （1）奇函数：若f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称； （2）偶函数：若f(x)为偶函数f(x)的图像关于y轴对称； 2.函数奇偶性与单调性的关系 （1）奇函数f(x)在区间（a,b）和（-b,-a）上具有相同的单调性； （2）偶函数f(x)在区间（a,b）和（-b,-a）上具有相反的单调性. 【专题练习】 考点一：函数单调性与最大（小）值 1.函数单调性的判断与证明 例1.用定义判断函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性． 解：设－2<x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝. ∵－2<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0， 故当a<时，f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递减． 当a>时，f(x2)－f(x1)>0，∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增． 综上得，当a<时，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减； 当a>时，f(x)在(－2，＋∞)上单调递增． 随堂练习： 1.已知函数．判断函数f（x）在[1，+∞）的单调性并用定义证明． 解：f（x）在[1，+∞）上单调递增， 证明如下：设1≤x1＜x2， 则， 又由1≤x1＜x2，则有x1﹣x2＜0，x1x2＞1， 则有f（x1）﹣f（x2）＜0， 故f（x）在[1，+∞）上是增函数． 2.利用单调性的定义，证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝. 因为－1<x1<x2，所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0， 所以>0， 即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． 所以f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减． 3.已知函数．判断该函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论． 解：函数f（x）在[1，+∞）上是增函数， 证明如下：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）， 因为x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2， 所以x1+1＞0，x2+1＞0，x1﹣x2＜0， 所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， 所以函数 f（x）在[1，+∞）上是增函数． 4.判断函数在上的单调性. 解：任取，且， 则. 当时，， 即，即， 所以在上单调递减； 当时，，， 即，所以在上单调递增. 综上所述，在上单调递增，在上单调递减. 2.求函数的单调区间 例1.求下列函数的单调区间 （1）f（x）＝x|x﹣2|﹣4x． （2）y＝﹣x2+2|x|+1； （3）y＝|x|（1﹣x）． 解：（1）由题意知，f（x）＝x|x﹣2|﹣4x， 当x≤2时，f（x）＝﹣x2﹣2x在（﹣∞，﹣1]上单调递增，在[﹣1，2]上单调递减； 当x≥2时，f（x）＝x2﹣6x，在[3，+∞）上单调递增，在[2，3]上单调递减， ∴f（x）的单调减区间为[﹣1，3]，单调增区间为（﹣∞，﹣1]，[3，+∞）． （2）根据题意，因为y＝﹣x2+2|x|+1， 函数图象如下： 易得该函数图象在（﹣∞，﹣1]，[0，1]是上升趋势，在[﹣1，0]，[1，+∞）是下降趋势， 则函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1]，[0，1]，单调减区间为[﹣1，0]，[1，+∞）． （3）， 函数图象如图： 由函数函数的图像可知函数单调递增区间是，单调减区间是（﹣∞，0]，[，+∞）． 随堂练习： 1.求下列函数的单调区间 (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 解：(1)函数f(x)＝的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增． (2)当x≥1时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)， [1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． (3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上单调递增，在(－1,0)，[1，＋∞)上单调递减． 2.求下列函数的单调区间： （1）y＝x+1； （2）y； （3）y＝﹣x2+2x； 解：（1）y＝x+1，是一次函数，其递增区间为R； （2）y，可以由函数y向左平移一个单位得到， 则y的递减区间为（﹣∞，﹣1）、（﹣1，+∞）； （3）y＝﹣x2+2x，是开口向下的二次函数，对称轴为x＝1， 则y＝﹣x2+2x的递增区间为（﹣∞，1），递减区间为（1，+∞）； 3.求下列函数的单调区间 （1）. （2）. （3）f(x)＝. 解：（1）令. 画出的图象，保留其在轴及其上方部分，将位于轴下方的部分翻折到轴上方，得到的图象，如图所示. 由图象可得，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是和. （2）令. 先画出的图象，再画出其关于轴对称的图象，即将轴右侧的图象翻折到轴的左侧，得到的图象，如图所示. 由图象可得，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和. （3）作出f(x)的图象如图． 有图像可知，函数的单调递增区间为[，2]，函数单调递减区间[0，]和[2，+∞）. 3.函数单调性的应用 例1.（1）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是 ． （2）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为 ． 解：（1）f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]．故答案为：(－∞，－4]． （2）解：f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由题意得－a－1＝3，a＝－4.故答案为：－4. 例2.（1）已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为 ． （2）已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为 ． 解：（1）∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)， ∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x的取值范围为(－∞，1)．故答案为：(－∞，1)． （2）由题意可知： ，解得x>，∴x的取值范围为（，+∞）. 故答案为：（，+∞）. 例3.已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，1] B．（0，2] C．（0，2） D．[﹣4，2] 解：因为f（x）在R上递增，所以，即， 解得a∈（0，2]．故选：B． 随堂练习： 1.已知函数在上单调递减，试比较与的大小. 解：因为(当且仅当时取等号)， 所以与都在区间内.又因为在区间上单调递减， 所以(当且仅当时取等号). 2.已知在定义域上单调递增，则不等式的解集为 . 解：由题意，得：，解得.① 因为在定义域上单调递增，且， 所以，解得.② 由①②得.所以不等式的解集为. 3.若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是 . 解：依题意，得不等式组，解得：<x≤4.故答案为：(，4]. 4.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 . 解：因为函数在区间上不单调，且函数的图象的对称轴为直线，所以对称轴在区间内部. 所以，所以.故答案为：. 5.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)<f(－x)，则x的取值范围是 ． 解：x2－2<－x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.故答案为：(－2,1). 6.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是 ． 解：由题意，得：，解得1≤x<.故答案为：[1,). 7.已知函数，满足对任意的，都有，则的取值范围是 . 解：根据题意知，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，函数在上单调递减，且有，所以，解得.所以的取值范围为. 故答案为：. 8.函数是增函数，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣3，﹣2] B．（﹣3，﹣1] C．[﹣2，﹣1] D．（﹣2，﹣1] 解：因为函数是增函数，所以， 解得a∈[﹣2，﹣1]．故选：C． 4.求函数的最值 例1.求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值． 解：y＝|x＋1|－|x－2|＝，作出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3]． 所以函数的最大值为3，最小值为－3. 例2.已知函数f(x)＝，则f(x)的最大值为 ． 解：f(x)的图象如图，则f(x)的最大值为f(2)＝2.故答案为：2. 例3.函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝ ，b＝ ． 解：y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，∴f(x)在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.故答案为：－2，0. 例4.设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则等于(　　) A. B. C. D. 解：易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3,4]上单调递减， 所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以.故选：C. 随堂练习： 1.函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最大值为 ；最小值为 ． 解：设1≤x1<x2<2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋ ＝(x1－x2) ＝. ∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0， ∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上单调递减．同理：f(x)在[2,4]上单调递增． ∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5. 故答案为：5,4. 2.求函数在区间上的最大值为 ，最小值为 . 解：，对称轴，开口向上. 最小值在顶点： 比较端点：， 故最大值，最小值.故答案为：最大值为8，最小值为. 3.已知函数f(x)＝ 则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A．10,8 B．8,6 C．10,6 D．以上都不对 解：当－1≤x<1时，6≤f(x)<8；当1≤x≤2时，8≤f(x)≤10，所以f(x)的最大值、最小值分别为10,6.故选：C. 4函数f(x)＝，的最大值为(　　) A． B． C.2 D.1 解：当x≥1时，函数f(x)＝单调递减，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1； 当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2. 综上可得，f(x)的最大值为2.故选：C. 5.已知函数f(x)＝,求函数f(x)的最大值、最小值． 解：作出f(x)的图象如图． 由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)取最小值为－. 所以f(x)的最大值为2，最小值为－. 6.设，求在上的最大值. 解：时，递增，最大值. 时，递增，最大值.两段最大值中最大的为1 7.设函数． （1）求f（x）的单调区间； （2）求f（x）在区间[1，5]的最大值和最小值． 解：（1）由题意可得，﹣x2+5x+6≥0，即x2﹣5x﹣6≤0，解得﹣1≤x≤6， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而在[0，+∞）上单调递增，所以f（x）的单调递增区间是，递减区间是． （2）由（1）知，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减， 而，则， 所以f（x）在区间[1，5]的最大值和最小值分别为． 8.求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a)． 解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. (1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a. (2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内， 所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a. (3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内， 所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1. (4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1. 综上所述，M(a)＝，m(a)＝. 考点二：奇偶性 1.判断函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）的定义域为，不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数. （2）的定义域为. （方法1定义法）因为，都有且，所以是偶函数. （方法2性质法）因为和都是偶函数， 所以是偶函数. （3）函数的定义域为， ，都有. 又当时，，则. （方法1定义法）因为， 所以是奇函数. （方法2验证法）因为， 所以是奇函数. （4）的定义域为. 都有. ，. 因为，所以不是偶函数. 又因为，所以不是奇函数. 所以是非奇非偶函数. 随堂练习： 1.判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝|x﹣2|﹣|x+2|； （2）． 解：（1）由题意得f（x）的定义域为R， 因为f（﹣x）＝|﹣x﹣2|﹣|﹣x+2|＝|x+2|﹣|x﹣2|＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数； （2）由，可得， 所以，可得f（x）的定义域为R， f（﹣x）+f（x） 0， 所以f（﹣x）＝﹣f（x），可知f（x）为奇函数． 2.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝. 解：(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (2)函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称， 则f(x)＝0，又f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)既是偶函数又是奇函数． (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． 2.利用奇偶性求函数解析式 例1.函数是定义域为的奇函数，当时，，求的解析式. 解：设，则，所以. 又因为函数是定义域为的奇函数， 所以，所以当时，. 又当时，，所以. 例2.已知是定义在上的偶函数，当时，，求函数的解析式. 解：设，则.因为当时，， 所以. 因为是定义在上的偶函数，所以. 故. 随堂练习： 1.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝ . 解：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x－1. 故答案为：x－1. 2.函数f(x)在R上为偶函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝ ． 解：∵f(x)为偶函数，x>0时，f(x)＝＋1，∴当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝＋1， 即x<0时，f(x)＝＋1.故答案为：＋1. 3.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 解：当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.故f(x)＝. 4.（1）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式． （2）已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式． 解：（1）设x>0，则－x<0，则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x. 又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x. 又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，综上可知f(x)＝. （2）设x<0，则－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1， 又f(x)在R上为偶函数，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1. 5.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝.①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝. 3.已知函数奇偶性求参数值 例1.已知是奇函数，则实数a的值为　 　． 解：由是奇函数，可得定义域关于原点对称， 又（2x﹣1）（x+a）≠0，解得x且x≠﹣a，故﹣a，解得a．故答案为：． 随堂练习： 1.设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. 解：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即. 显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.故答案为：-1. 2.若函数为奇函数，则( ) A.B.C.D. 解：因为为奇函数，所以，即， 整理得因为此式恒成立，所以项的系数为. 所以，即.此时定义域关于原点对称，符合题意.故选：A. 3.已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝ ． 解：由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0. 故答案为：0. 4.已知函数为奇函数，则 . 解：(方法1定义法)当时，，. 又因为为奇函数，所以，即， 所以，所以. (方法2特殊值法)由题意知， 即，解得， 经检验知，为奇函数，故. 故答案为：0 5.已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 020x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为 ． 解：奇函数的图象关于原点对称，所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2， 因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.故答案为：0. 6.已知函数是定义在上的偶函数，则 , . 解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以（区间端点互为相反数） 解得，所以.又，即，所以（等式两边对应系数相等），即. 故答案为：1，-3. 7.已知函数是奇函数，则实数m的值为　 　． 解：已知函数是奇函数， 对任意的x∈R，3x+1＞0，则函数的定义域为R， 由f（x）是奇函数，得，解得m＝1，即， 由于，即函数f（x）是奇函数，所以m＝1． 故答案为：1． 4.利用函数奇偶性和单调性比较大小 例1.设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) 解：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)单调递增，则x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．故选：A. 随堂练习： 1.设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f(2)<f(－1)<  B．<f(－1)<f(2) C．f(2)<<f(－1) D．f(－1)<<f(2) 解：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2)．又f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2<<－1，∴f(2)＝f(－2)< <f(－1)．故选：C. 2.已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则(　　) A． f(1)＝f(2) B．f(1)>f(2) C． f(1)<f(2) D．以上都有可能 解：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)． 故选：B. 3.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 解：因为满足，所以. 又在上是奇函数，所以，故，所以. 由及，得. 又在区间上单调递增，所以，即， 所以，，于是.故选：D. 4.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是 . 解：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立， 即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2. ∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减， ∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．故答案为：f(－2)<f(1)<f(0)． 5.函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A．f(1)<< B．<f(1)< C．<f(1) D．<f(1)< 解：∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴＝，＝，又f(x)在[0,2]上单调递增，∴<f(1)<， 即<f(1)<.故选：B. 5.利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式 例1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，则xf（x）＜0的解 集为　 　． 解：因为当x＞0时，y＝x和都是单调递增， 故x＞0时，单调递增，且f（x）是奇函数， 所以当x＜0时，f（x）也单调递增， 因为f（1）＝0，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝0， 所以xf（x）＜0等价于或， 结合f（x）的单调性，解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1． 故xf（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）． 故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）． 例2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则 的解集为 ． 解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．∴f(3)＝f(－3)＝0. 当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0. 故所求解集为{x|－3<x<0或x>3}．故答案为：{x|－3<x<0或x>3}． 例3.已知函数在定义域上既是奇函数，又是减函数，若，则实数的取值范围为 . 解：由，得. 因为在上是奇函数， 所以， 所以. 又因为在上单调递减， 所以，解得. 故答案为：. 随堂练习： 1.若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解：因为函数为定义在上的奇函数，所以. 又在上单调递减，且，画出函数的大致图象如图(1)所示. 则函数的大致图象如图(2)所示. 由图象可知，当时，要满足，则，即. 当时，要满足，则，即. 故满足的的取值范围是.故选：D. 2.已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是 . 解：由题意可知|a|<3，解得－3<a<3.故答案为：(－3,3). 3.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式的解集为(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－1,0)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解：∵f(x)为奇函数即， ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0， . ∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f(x)单调递减且f(－1)＝0， ∴当x<－1时，f(x)>0，综上，的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选：D. 4.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是 ． 解：因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．又因为f(2)＝0， 所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以|x－1|<2，解得－2<x－1<2，所以－1<x<3.故答案为：(－1,3). 5.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，则实数m的取值范围是 ． 解：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)在[－2,2]上单调递减． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于，解得－1≤m<. 所以实数m的取值范围为[-1，）.故答案为：[-1，）. 6.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则当x＝ 时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m的取值范围是 ． 解：由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取得最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，由f(0)<f(m)，得0<m<2，即m的取值范围为(0,2)．故答案为：1，(0,2). 7.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0. 解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数， 由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得f(1－x)<－f(1－2x)，即f(1－x)<f(2x－1)． 又∵f(x)在(－1,1)上是减函数， ∴，解得0<x<，∴原不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲 函数的基本性质—专题练习 【知识点梳理】 单调性与最大（小）值 知识点一、函数的单调性 1.单调递增与单调递减 名称 单调递增与增函数 单调递减与减函数 定义 一般地设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 一般地设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 图 形 表 示 几何 意义 函数图像在区间I上从左到右是上升的 函数图像在区间I上从左到右是下降的 2.单调递增和单调递减定义的等价形式 （1）∀x1，x2∈I，且x1≠x2，都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]>0或，则f(x)在区间I 上单调递增. （2）∀x1，x2∈I，且x1≠x2，都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]<0或，则f(x)在区间I 上单调递减. 3.单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 4.常见函数的单调性 （1）一次函数：y=ax+b(a≠0). ①a>0时，在R上单调递增；②a<0时，在R上单调递减. （2）反比例函数：. ①a>0时，在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递减； ②a<0时，在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增. （3）二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0). ①a>0时，在（-∞，）单调递减，在（，+∞）上单调递增； ②a<0时，在（-∞，）单调递增，在（，+∞）上单调递减. 知识点二、函数的最大（小）值 1.函数的最大（小）值的定义 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图像上最高点的纵坐标 f(x)图像上最低点的纵坐标 2.求函数最大（小）值常用方法 （1）图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． （2）运用已学函数的值域． （3）运用函数的单调性： ①若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． ②若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． （4）分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 奇偶性 知识点一、函数的奇偶性 奇、偶函数的定义 名称 定义 等价形式 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 ∀x∈I，都有－x∈I，有： f(－x)－f(x)=0； . 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 ∀x∈I，都有－x∈I，有： f(－x)+f(x)=0； . 知识点二、奇、偶函数的图像 1.奇、偶函数的图像特征 （1）奇函数：若f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称； （2）偶函数：若f(x)为偶函数f(x)的图像关于y轴对称； 2.函数奇偶性与单调性的关系 （1）奇函数f(x)在区间（a,b）和（-b,-a）上具有相同的单调性； （2）偶函数f(x)在区间（a,b）和（-b,-a）上具有相反的单调性. 【专题练习】 考点一：函数单调性与最大（小）值 1.函数单调性的判断与证明 例1.用定义判断函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性． 随堂练习： 1.已知函数．判断函数f（x）在[1，+∞）的单调性并用定义证明． 2.利用单调性的定义，证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减． 3.已知函数．判断该函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论． 4.判断函数在上的单调性. 2.求函数的单调区间 例1.求下列函数的单调区间 （1）f（x）＝x|x﹣2|﹣4x． （2）y＝﹣x2+2|x|+1； （3）y＝|x|（1﹣x）． 随堂练习： 1.求下列函数的单调区间 (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 2.求下列函数的单调区间： （1）y＝x+1； （2）y； （3）y＝﹣x2+2x. 3.求下列函数的单调区间 （1）. （2）. （3）f(x)＝. 3.函数单调性的应用 例1.（1）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是 ． （2）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为 ． 例2.（1）已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为 ． （2）已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为 ． 例3.已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣4，1] B．（0，2] C．（0，2） D．[﹣4，2] 随堂练习： 1.已知函数在上单调递减，试比较与的大小. 2.已知在定义域上单调递增，则不等式的解集为 . 3.若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是 . 4.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 . 5.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)<f(－x)，则x的取值范围是 ． 6.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是 ． 7.已知函数，满足对任意的，都有，则的取值范围是 . 8.函数是增函数，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣3，﹣2] B．（﹣3，﹣1] C．[﹣2，﹣1] D．（﹣2，﹣1] 4.求函数的最值 例1.求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值． 例2.已知函数f(x)＝，则f(x)的最大值为 ． 例3.函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝ ，b＝ ． 例4.设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则等于(　　) A. B. C. D. 随堂练习： 1.函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最大值为 ；最小值为 ． 2.求函数在区间上的最大值为 ，最小值为 . 3.已知函数f(x)＝ 则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A．10,8 B．8,6 C．10,6 D．以上都不对 4函数f(x)＝，的最大值为(　　) A． B． C.2 D.1 5.已知函数f(x)＝,求函数f(x)的最大值、最小值． 6.设，求在上的最大值. 7.设函数． （1）求f（x）的单调区间； （2）求f（x）在区间[1，5]的最大值和最小值． 8.求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a)． 考点二：奇偶性 1.判断函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）. 随堂练习： 1.判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝|x﹣2|﹣|x+2|； （2）． 2.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝. 2.利用奇偶性求函数解析式 例1.函数是定义域为的奇函数，当时，，求的解析式. 例2.已知是定义在上的偶函数，当时，，求函数的解析式. 随堂练习： 1.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝ . 2.函数f(x)在R上为偶函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝ ． 3.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 4.（1）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式． （2）已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式． 5.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 3.已知函数奇偶性求参数值 例1.已知是奇函数，则实数a的值为　 　． 随堂练习： 1.设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. 2.若函数为奇函数，则( ) A. B. C. D. 3.已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝ ． 4.已知函数为奇函数，则 . 5.已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 020x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为 ． 6.已知函数是定义在上的偶函数，则 , . 7.已知函数是奇函数，则实数m的值为　 　． 4.利用函数奇偶性和单调性比较大小 例1.设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) 随堂练习： 1.设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f(2)<f(－1)<  B．<f(－1)<f(2) C．f(2)<<f(－1) D．f(－1)<<f(2) 2.已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则(　　) A． f(1)＝f(2) B．f(1)>f(2) C． f(1)<f(2) D．以上都有可能 3.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 4.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是 . 5.函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A．f(1)<< B．<f(1)< C．<f(1) D．<f(1)< 5.利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式 例1.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，则xf（x）＜0的解 集为　 　． 例2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则 的解集为 ． 例3.已知函数在定义域上既是奇函数，又是减函数，若，则实数的取值范围为 . 随堂练习： 1.若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是 . 3.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式的解集为(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－1,0)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 4.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是 ． 5.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，则实数m的取值范围是 ． 6.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则当x＝ 时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m的取值范围是 ． 7.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $