3.2.1 单调性与最大（小）值 专项训练2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版必修第一册 高一上学期数学同步作业 第三章 函数的概念与性质 分层作业练题型 §3.2.1 单调性与最大（小）值 定义法证明函数的单调性题型01 1．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）判断，在上的单调性，并用定义法加以证明. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：函数在上是严格减函数． 3．（25-26高一上·河南·阶段检测）判断并证明函数在上的单调性. 4．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，， (1)求的值； (2)证明：用定义证明函数在上是增函数； 5．（24-25高一上·江苏·期中）设是定义在上的函数，且对任意，，恒有且时，. (1)求的值； (2)证明函数在上单调递增； 判断函数的单调性题型02 1．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）下列四个函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的单调区间是 D．不是增函数就是减函数 3．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·辽宁·期中）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 6．（24-25高一上·浙江·期中）定义在上且都不恒为零的函数与进行下列运算，正确的是（ ） A．若均为奇函数，则为奇函数 B．若单调性相同，则为增函数 C．若，则 D．若，则 求函数的单调区间题型03 1．（25-26高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北沧州·期中）如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京怀柔·期中）哪个区间是函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·重庆·期中）函数的单调递减区间是________． 5．（25-26高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 6．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 已知函数单调性求参数题型04 1．（24-25高一上·河北衡水·期中）如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津武清·阶段检测）已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·全国·阶段检测）已知函数，若函数的定义域为或，则_________；若函数在上单调递增，则的取值范围是_________. 5．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）（多选）函数在上为增函数，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）（多选）已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 利用单调性解不等式题型05 1．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知函数对任意时,恒有成立,则当时,实数a的取值范围为 A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东佛山·周测）定义在上的增函数满足：，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·山东·期中）设函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江西宜春·开学考试）若函数是定义在上的增函数，且对一切，都有，则不等式的解集为________. 利用单调性比较大小题型06 1．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）（多选）已知函数的定义域是，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，则以下说法一定正确的是（    ） A． B． C．在定义域上有最大值，最大值是 D．与的大小不确定 2．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川成都·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，，当时都有，则，，的大小关系为都有（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖北孝感·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 根据单调性求函数最值题型07 1．（24-25高一上·浙江金华·期中）函数，，则函数值域为______ 2．（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的值域为________． 3．（24-25高一上·湖南长沙·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知二次函数对都有成立，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最小值. 根据函数的最值求参数题型08 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值与最小值的差为2，则实数的值是______． 2．（24-25高一上·上海奉贤·阶段检测）已知函数在上有最大值，则________． 3．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为，则实数的值为______． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为______． 5．（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）若函数的最小值为，则实数的取值范围为_____． 6．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）设函数在区间上的最大值为，最小值为． (1)求与的值； (2)若，且函数在区间上是单调函数，求的取值范围． 1．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 1．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 1．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 2．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册 高一上学期数学同步作业 第三章 函数的概念与性质 分层作业练题型 §3.2.1 单调性与最大（小）值 定义法证明函数的单调性题型01 1．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）判断，在上的单调性，并用定义法加以证明. 【答案】 在上单调递增，证明如下， 令，则 ， 由，故，所以，即. 所以在上单调递增. 【分析】根据单调性定义，令并应用作差法比较的大小，即可证. 【详解】略 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：函数在上是严格减函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】设是区间上的任意给定的两个实数，且， 则． ∵，∴，，， ∴，即，所以， ∴函数在上是严格减函数． 3．（25-26高一上·河南·阶段检测）判断并证明函数在上的单调性. 【答案】（定义法）：第一步，取值、作差、变形：设， ， 则 . 第二步，判号、定论：由于， 所以，，， 故当时，，即，函数在上单调递减； 当时，，即，函数在上单调递增. 【分析】可利用函数单调性的定义证明即可 【详解】略 4．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，， (1)求的值； (2)证明：用定义证明函数在上是增函数； 【答案】(1) (2) 因为，则， 任取，则， 由时，，可得， 则，即， 因此，函数在上是增函数． 【分析】（1）结合题中条件，令即可求值； （2）结合题中条件利用函数单调性的定义即可证明. 【详解】（1）在等式中， 令，可得，解得； （2）略 5．（24-25高一上·江苏·期中）设是定义在上的函数，且对任意，，恒有且时，. (1)求的值； (2)证明函数在上单调递增； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令求得的值； （2）由得， 故 可用上式展开即能得到的大小关系； 【详解】（1）令，得，所以； （2）任意的，令， 因为，所以，，，所以在上单调递增 判断函数的单调性题型02 1．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）下列四个函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项判断函数的单调性即可求解. 【详解】在上单调递减，故A错误； 在上单调递增，故B正确； 在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 在上单调递减，故D错误. 故选:B. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的单调区间是 D．不是增函数就是减函数 【答案】D 【分析】根据函数的单调性逐一分析即可. 【详解】在上单调递减，在上单调递增，故错误； 在和上是增函数，故错误； 的单调区间为和，故错误； 时，是增函数， 时，是减函数，故正确. 故选：. 3．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明函数，在定义域内不是单调递增函数，根据幂函数性质判断CD. 【详解】对于A，函数的定义域为， 取，，则，， 所以函数在定义域内不单调递增， 对于B，函数的定义域为， 取，，则，， 所以函数在定义域内不单调递增， 对于C，由幂函数性质可知在其定义域上单调递增，C正确； 对于D，由幂函数性质可得在其定义域内不单调递增，D错误. 故选：C. 4．（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】解：因为函数是上的增函数，函数是上的减函数， 所以函数是上的增函数， 函数是上的减函数， 函数，的单调性无法判断. 故选：B. 5．（24-25高一上·辽宁·期中）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】D 【分析】利用特殊函数排除A、B、C，即可得答案. 【详解】由题设，满足要求，则为常数函数且定义域不是R，排除B， 、在R上不是单调函数，且后一个函数定义域不为R，排除A、C， 若函数在上为增函数，则在上为减函数，D对. 故选：D 6．（24-25高一上·浙江·期中）定义在上且都不恒为零的函数与进行下列运算，正确的是（ ） A．若均为奇函数，则为奇函数 B．若单调性相同，则为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义即可求解A,举反例即可求解BCD. 【详解】对于A，若，均为奇函数，则， 则，则函数为奇函数，故A正确； 对于B，设，，在上都是增函数， 则，但其在上不是单调递增的，故B错误； 对于C，设，，满足，但不成立，故C错误； 对于D，设，，则， 在上递增，满足，但为减函数，，故D错误. 故选：A． 求函数的单调区间题型03 1．（25-26高一上·河北石家庄·期中）如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 2．（25-26高一上·河北沧州·期中）如图是函数的图象，其定义域为，则函数的单调递减区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像判断单调性，解题时需注意单调区间不能用. 【详解】若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，的单调递减区间为和， 故选：C. 3．（24-25高二下·北京怀柔·期中）哪个区间是函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出函数的导数，由函数导数与单调性的关系分析函数的递增区间，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，，其定义域为， 其导数， 若，即，解可得或， 即的递增区间为、， 只有C符合． 故选： C 4．（25-26高一上·重庆·期中）函数的单调递减区间是________． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的单调递减区间. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得，所以函数的定义域为， 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知的单调递减区间是. 故答案为：. 5．（25-26高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 6．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出函数的单调递增区间. 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 已知函数单调性求参数题型04 1．（24-25高一上·河北衡水·期中）如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据二次函数的单调性，将对称轴和进行大小比较即可. 【详解】由于的对称轴为， 根据二次函数的性质可知，在上单调递增， 于是，故. 故选：B. 2．（24-25高三上·天津武清·阶段检测）已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于，或大于等于，从而可求出的取值范围. 【详解】的图像的对称轴为， 因为函数在区间上时单调函数， 所以或， 得或， 即的取值范围是， 故选：D 3．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 4．（24-25高三上·全国·阶段检测）已知函数，若函数的定义域为或，则_________；若函数在上单调递增，则的取值范围是_________. 【答案】 / 【分析】利用二次不等式的解集来确定二次项系数的正负和根，即可求出的值，利用二次函数的单调性和定义域，可以确定的取值范围. 【详解】①由题意得，由它的解集为或， 可得，且1是方程的一个根， 即，解得， 由根与系数关系得，所以； ②当时，函数在上单调递增， 所以，解得：， 当时，，不符合题意， 综上，，故a的取值范围是. 故答案为：； 5．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）（多选）函数在上为增函数，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据分段函数在上为增函数，列出相应的不等式组即可求解. 【详解】因为函数在上为增函数， 所以，解得. 故选：BCD. 6．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）（多选）已知函数是上的减函数，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为函数是上的减函数， 则函数在上为减函数，则，可得， 函数在上为减函数，则， 且有，解得. 综上所述，. 故选：ACD. 利用单调性解不等式题型05 1．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）已知函数对任意时,恒有成立,则当时,实数a的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据对任意时,恒有成立可得函数在上为减函数，根据单调性可得，解之可得答案. 【详解】根据题意,函数对任意时,恒有成立, 则在上为减函数, 又由,, 若, 则有, 解可得,即a的取值范围为 故选：A. 2．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 3．（25-26高一上·广东佛山·周测）定义在上的增函数满足：，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性列出不等式，求解即可. 【详解】由已知 ， 定义在上的增函数， 则有 解得 ， 故选:C. 4．（25-26高一上·广西北海·期末）已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【详解】由 ，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为 或 或， 即或. 故选：C 5．（25-26高一上·山东·期中）设函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，确定函数的值域，设，分段解不等式得，进而分段解不等式即可. 【详解】函数，当时，；当时，，因此， 令，则不等式化为， 当时，，则，，无解； 当时，，则，，若，则，解得； 若，则成立，即， 所以实数的取值范围是. 故选：D 6．（24-25高二下·江西宜春·开学考试）若函数是定义在上的增函数，且对一切，都有，则不等式的解集为________. 【答案】【 【分析】由条件可得,不等式,得到关于的不等式组,解不等式组即可. 【详解】解:对一切，都有, 所以， , 则不等式等价于: 即: 故不等式的解集为: . 故答案为： 利用单调性比较大小题型06 1．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）（多选）已知函数的定义域是，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，则以下说法一定正确的是（    ） A． B． C．在定义域上有最大值，最大值是 D．与的大小不确定 【答案】AD 【分析】根据单调性可判断A,因为题中没有对称性，所以可判断BD，再由函数是否连续不确定，可判断C. 【详解】对于A，由函数在区间上是减函数，可得，正确； 对于B，题中条件没有说明函数关于对称，所以和未必相等，不正确； 对于C，根据题意不确定在是否连续，所以不能确定最大值是，不正确； 对于D，和不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性，所以与的大小不确定，正确. 故选：AD. 2．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定对称轴为，进而确定函数单调性，由单调性即可判断. 【详解】由已知得函数的图象关于直线对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以．又，所以． 因为，所以． 故，即． 故选：D 3．（25-26高一上·四川成都·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数是偶函数；②对任意，，当时都有，则，，的大小关系为都有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由，得到为减函数，再结合偶函数即可得到结论． 【详解】因为对任意，，当时都有, 所以在上递减， 又因为是偶函数， 所以, 所以,所以， 故选:B． 4．（25-26高一上·湖北孝感·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数单调性的定义可得单调递减，然后根据函数的单调性逐项分析即得. 【详解】设，则，即， 令，则，所以在上单调递减， 由，得，即，A正确； 因为，所以， 即，即，B正确； 因为，所以，即，C错误； 因为（当且仅当，即时等号成立）， 所以，则，D正确. 故选：ABD. 5．（25-26高一下·浙江·期中）（多选）若定义在上的函数满足，对，存在常数，都有，则下列结论中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题设条件：对任意，有， 构造函数，则是严格递增函数， （因差商）， 由，得，利用，逐一分析选项： 选项A：，代入得：，即， 因，；又，严格递增，故 ， 取（严格递增，），，则 ， 满足，对应，A可能成立． 选项B：，代入得：，即， 取（严格递增，），，则 ， 满足，对应，B可能成立． 选项C：，代入得：， 即 ，但（），严格递增， 故 ，矛盾，C不可能成立． 选项D：，代入得：，即 ， 取（严格递增，），，则， 对应，D可能成立． 根据单调性求函数最值题型07 1．（24-25高一上·浙江金华·期中）函数，，则函数值域为______ 【答案】 【解析】利用基本不等式确定其最小值，结合端点值确定最大值，即可知值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立，而，所以， 故答案为： 2．（24-25高一上·云南昆明·期中）函数的值域为________． 【答案】 【分析】化简函数为，根据其单调性求解即可． 【详解】由， 函数在上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以函数的值域为． 故答案为：． 3．（24-25高一上·湖南长沙·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元设，可得，再结合与二次函数的范围求解即可. 【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为. 故选：A． 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知二次函数对都有成立，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）设二次函数，，由结合待定系数法得出，再由，得出，即可得出函数的解析式； （2）由（1）得出的解析式，讨论对称轴的位置，确定函数在区间的单调性，即可得出该函数的最小值. 【详解】解：（1）设二次函数， 则 ，解得 即 ，，得 所以. （2），对称轴，开口向上 分三种情况： ①当时，函数在区间单调递增， . ②当时，函数在区间为 ③当时，函数在区间单调递减， 综上， 根据函数的最值求参数题型08 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值与最小值的差为2，则实数的值是______． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，借助单调性即可求. 【详解】当时，函数在区间内单调递增， 所以． 因为函数最大值与最小值的差为2， 所以， 由题解得． 当时，函数在区间内单调递减， 所以． 因为函数最大值与最小值的差为2， 所以， 由题解得． 综上：． 故答案为： 2．（24-25高一上·上海奉贤·阶段检测）已知函数在上有最大值，则________． 【答案】或/4或 【分析】对称轴方程为，再对分类讨论得解. 【详解】解：函数， 所以对称轴方程为； 当时，； 当，所以此情况不存在； 当时，， 综上或. 故答案为：或. 3．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为，则实数的值为______． 【答案】 【分析】将函数化为，,，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最大值，解方程即可得到所求值． 【详解】解：函数，即，,， 当时，不成立； 当，即时，在,递减，可得为最大值， 即，解得，成立； 当，即时，在,递增，可得为最大值， 即 ，解得，不成立； 综上可得． 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，利用定义判断函数的单调性求出函数的最小值为；当时，分和两种情况讨论，根据二次函数的性质结合题意可得不等式，两种情况取并集即可求解. 【详解】当时，任取，则， 由于，则，，当时，， 当时，，则函数在区间内单调递减， 在区间上单调递增，则； 当时，的对称轴为， 若，则，符合题意； 若，则， 要使函数最小值为，则，解得：， 综上，的取值范围为． 故答案为： 5．（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）若函数的最小值为，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果. 【详解】当 时，关于对称， 若最小值为，可知，即可得； 又当 时，，当且仅当 时等号成立； 若最小值为，可得， 即，解得： 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为： 6．（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）设函数在区间上的最大值为，最小值为． (1)求与的值； (2)若，且函数在区间上是单调函数，求的取值范围． 【答案】(1)，或， (2)或. 【分析】（1）结合二次函数性质分、与讨论即可得； （2）借助二次函数对称轴公式及其单调性计算即可得. 【详解】（1）， 若，则，不符； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则，， 解得，； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 则，， 解得，； 综上所述，，或，； （2）由，则，，即， 则在区间上是单调函数， 则或， 若，则； 若，则； 综上所述：或. 1．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数在上单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 若函数在上单调递增，所以函数在上为增函数， 任取、且，则 ， 因为、且，则，， 故只需，故， 且有，即，解得， 故当在上单调递增时，， 因为是的真子集， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 2．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑的对称轴与2比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数，对称轴为， 当，即时，此时，使得，满足题意； 当，即时，在上单调递增，在上也单调递增， 要想，且，使得，则，得， 而，矛盾. 综上. 4．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当时，，此时， 当时，， 所以的最大值为． 因为对任意恒成立， 所以，即， 整理得，用数轴穿根法解得或， 即实数的取值范围是． 5．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 1．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）设二次函数，若存在实数a，对任意，使得不等式成立，则实数b的取值范围是______． 【答案】 【分析】将不等式转化为，根据对勾函数的单调性求解. 【详解】由题意，对于任意，都有成立， 所以即对于任意恒成立， 所以只需，的最大值与最小值的差小于2即可， 当时，在上单调递减，则， 解得，不合题意； 当时，在上单调递增，则，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，所以， 综上，． 2．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 【答案】(1)是关联， 任取，若， 则， 是关联． (2) (3)证明：必要性： 任取，满足，记， 由关联得到：， 由关联，，故， ， 又 ， ，结合得， ， ， 综上，，即是关联； 充分性： 对任意，故， ，故， 又， 两个同在区间内的数相加仍在区间内， 仅当时成立，即关联； 任取，若，则， 若，设，则， 由关联可得， 由结合关联可得， ， 综上，任取均满足， 即是关联． 【分析】（1）根据关联定义，结合已知条件证明结论； （2）根据关联定义，结合已知条件作出大致图象，结合图象解不等式； （3）根据关联定义，结合已知命题分别证明必要性和充分性，进而证明结论． 【详解】（1）是关联，证明：略 （2）依题意当时， ，即满足， 作出的大致图象， 由图象可知点， 原不等式的解集为． （3）略 1．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 2．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可. 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $