江西师范大学附属中学、南昌启华双语学校2026-2027学年高二上学期10月限时训练数学试题

高二数学限时训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的倾斜角为 A． B． C． D． 2．若圆（）经过坐标原点，则 A． B． C． D． 3．过点且与直线垂直的直线方程为 A． B． C． D． 4．圆与圆的位置关系是 A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 5．一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为 A． B． C． D． 6．若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为 A．144 B．240 C．288 D．576 7．若圆上到直线的距离为3的点仅有2个，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．设为直线：上的动点，为直线：上的动点，是线段的中点，点，则的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若直线与直线平行，则的值可以为 A． B． C． D． 10．在同一平面直角坐标系中，方程与表示的图形可能是 A． B． C． D． 11．若为曲线：上任意一点，直线（）与的交点为，，，，记，，，的横坐标之和为，横坐标之积为，则 A．的最大值为 B． C．的最小值为 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线:在轴上的截距为                        ． 13．某圆拱形桥一孔圆拱的示意图如图所示．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度约为                        ．（参考数据：取） 14．函数的值域为                        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知点，，． （1）求直线的斜截式方程； （2）若，，三点共线，求的值； （3）若，求中边上的中线所在直线的方程，并将其化成一般式． 16．（15分） 已知点关于直线对称的点为． （1）求点的坐标； （2）若直线与以线段为直径的圆相切，求的值． 17．（15分） 已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，底边的另一个端点的轨迹记为． （1）求的方程． （2）设点满足． （ⅰ）求点的轨迹． （ⅱ）试问点是否可能在上？说明你的理由． 18．（17分） （1）已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？该图形有何特征？ （2）已知直线：，其中，均为任意实数，． （Ⅰ）证明：直线过定点． （Ⅱ）过点作直线，使得，且，过作的垂线，垂足为，求的面积的最大值． 19．（17分） 设是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，，，则称点与圆的张角为．已知圆的半径为2，圆心为，点． （1）求点与圆的张角． （2）当取得最小值时，求点与圆的张角的余弦值． （3）将圆向右平移两个单位长度后得到圆． （Ⅰ）求圆上一点的坐标，使得该点与圆的张角为； （Ⅱ）过点的直线与圆交于，两点，，两点都不在轴上，证明：直线与的交点在一条定直线上． 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学限时训练参考答案 1.D因为直线3x+3y+7=0的斜率为一号-1，所以直线3x十3y+7=0的倾斜角为 2.A若圆(x十3)2+(y-√2)2=r2(r>0)经过坐标原点，则r2=(0+3)2十(0一√2)2=11， 又r>0,所以r=√11. 3.B依题意可设所求直线的方程为5x十y十c=0,将点A(-5,1)的坐标代入，得一25+1+c =0,解得c=24,故所求直线的方程为5x+y+24=0. 4.B圆(x-1)2+y2=4的圆心为A(1,0),半径r1=2,圆(x+sin1)2+y2=1的圆心为 B(-sin1,0),半径r2=1.因为lAB|=1+sin1∈[r1-r2,r1+r2],所以圆(x-1)2+y2=4 与圆(x+sin1)2+y2=1的位置关系是相交. 5.A点P(6,4)关于x轴对称的点为P'(6,一4).因为反射光线同时经过点P'和点Q, 且。。。号所以反射光线所在直线的方程为y=青C一3》，即y=一号， 所以反射光线经过的点的坐标为（红，一专x十）红<3)，放反射光线经过的点的坐标可以为 (-3,8). 6.C 依题意可得1识2√当且仅当--时，寺号立则。·6≥4X a2+i 14,则所求三角形面积S=7a2.b2≥28，其最小值为28， 7.D圆(x十m)2+y2=36的圆心为(-m,0),半径r=6,圆心到直线y=-x十m的距离d= 20-反m,依愿意可得，-3d<r+3,即3<反m<9,解得m(色2,9号）). √2 8.C依题意可知，点M在L1与l2之间，且M到这两条直线的距离相等，所以点M在平行于 这两条直线的直线上，设该直线的方程为3x十y十c=0,则c+=G+5,解得c= √32+12√32+12 一3，故MA|的最小值为点A(1,10)到直线3x+y-3=0的距离，即一10 √W32+12 =√10. 9.BC因为直线m2x十my一1=0与直线4x十my十6=0平行，所以m2·m-4m=0,解得m =0或m=士2.当m=0时，m2x十my一1=0即为一1=0，这显然不成立，所以m≠0.经检 验，m=土2符合题意. 10.ABC直线y=ax十b-一1的斜率为a,纵截距为b-1,圆(x一a)2+y2=b2的圆心坐标为 (a,0),半径为b. 对于D,图中的直线的倾斜角为锐角，则a>0,所以点(a,0)在x轴的正半轴上，排除D. 当a=b=1时，直线y=ax十b一1与圆(x一a)2+y2=b2的图形是A对应的图形；当a= 2,b=-1时，直线y=ax十b-1与圆(x-a)2十y2=b2的图形是B对应的图形；当a=b= 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 一1时，直线y=ax十b一1与圆(x一a)2+y2=b2的图形是C对应的图形 11.ABD由(x2+y2)2+(2x-4)(x2+y2)=8x,得(x2+y2+2x)(x2+y2-4)=0, 则(x+1)2+y2=1或x2+y2=4,所以M由圆C:(x+1)2+y2=1与 圆O:x2+y2=4组成，则yp的最大值为2，A正确.直线y=k(x+1) 过定点（一1,0），由图可知，当k≠0时，直线y=k(x十1)与圆C有两个 交点，与圆O也有两个交点，且这些交点没有重合.将y=(x十1)代入 (x+1)2+y2=1,得(1十k2)x2+2(1+2)x+2=0,设该方程的两个 k2 根为x1,x2,则x1十x2=一2，x1x2=1十k2 将y=(x十1)代入x2十y2=4,得(1十2)x2十2k2x十2一4=0，设该方程的两个根为x3, 2k2k2-4 x4,则x3十x4= 一1中k2xx4-1+k2 H6=-2元26242二2兔十24f2 1+k2 十1十k>-4,B正确。 设1+=>1则1，=《0-D-14县9=5（经号》-号 当：=号时，：取得最小值，且最小值为一号，C错误 当Jk=1十‘1+2 43时，7k-10+3=(72-3)(-1D<0,解得 正确。 12.-10由3x-5y十30=0，得0+名=-1，所以1在x轴上的截距为-10. 13.3.15以O为坐标原点，OB,OP所在直线 分别为x,y轴，建立如图所示的平面直角 坐标系，则P(0,3.5),B(10.5,0).设圆心 坐标是(0，b),圆的半径是r,则圆的方程是 A A A2 O A B x2+(y-b)2=r2.因为P,B两点都在圆 1(3.5-b)2=r2, 七所以0十二，解得业则圆的方程是十y+10=.5,将点P,的 b=-14, 横坐标x=一3.5代人圆的方程，得(-3.5)2+(y+14)2=17.52,其中P2的纵坐标y>0, 所以y=√17.52-3.52-14=√/17.5-3.5)×(17.5+3.5)-14-7√6-14=7×2.45- 14=3.15,故支柱A2P2的高度约为3.15m. 14.（-0∞，- 217 20J 因为4一x2≥0，且x十2≠0，所以x∈(-2,2].设点 B A(x,W√4一x2),B(-2,5),则f(x)是直线AB的斜率.A是圆C:x2+ y2=4的上半部分的动点.当直线AB与圆C的上半部分相切时，设其 斜率为k,则直线AB的方程为y一5=k(x十2)，即kx一y十2k十5= 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 0,侧则26+5=2，解得=一忍结合图形可知直线AB的斜率的取值范围是(-○， √k2+1 201 引]，故了c)的值域为-0， 217 20J 15.解：1)因为-3_-2， 1-3 2分 所以直线AB的方程为y一3=一2(x一1)，…4分 即y=-2x十5。…5分 (2)若A,B,C三点共线，则点C在直线AB上，…6分 所以点C的坐标满足方程y=一2x+5,则m=5. 8分 (3)线段AB的中点为N(2,1).… …10分 若m-2,则C0,8则ka名 11分 所以AB边上的中线所在直线的方程为y一1=一 12分 即x十2y一4=0.… 13分 【注】第(2)问还可以这样解答： 若A,B,C三点共线，则kAC=AB,… 6分 所以0十=2， 7分 解得m=5.… 8分 16.解：(1)设B(xo,yo).因为直线y=x一2的斜率为1，… …1分 所以e女二手 -1,… 2分 所以y0一4=4-x0,即xo十y0=8. 3分 因为线段AB的中点（色士，士）在直线y=x-2上，…4分 所以十4x十4 22 -2,即x0-y0=4,…1 5分 又xo十yo=8,解得x0=6,yo=2,所以点B的坐标为(6,2).…7分 (2)线段AB的巾点坐标为士，)，即(5,3》. …9分 因为AB|=√(4-6)2+(4-2)2=22，…10分 所以圆的半径为2|AB=厄.…11分 因为直线3x十4y十m=0与以线段AB为直径的圆相切， 所以圆心(5,3)到直线3z十4y十m=0的距离d=15+12+m =√/2，…13分 5 解得m=-27士5√2. …15分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 17.解：(1)由题意得|AC=|AB|=2√2，…1分 则C在以A为圆心，2√2为半径的圆上， ……2分 且点C不在直线AB上。……3分 因为直线AB的方程为y=一x十1，… 。。。。。。。。 所以2的方程为(x一3)2十(y十2)2=8(y≠一x十1).…5分 (2)(i)设D(x,y).由|DA|=2DB|,得√(x-3)2+(y+2)2=2W(x-1)2+y2, …6分 即(x-3)2+(y+2)2=4[(x-1)2十y2],整理得3x2+3y2-2x-4y-9=0,…7分 所以点D的轨迹方程为（女》+(》-是。 ……8分 所以点D的轨迹是圆心为C:(兮，号)半径- 3的圆。 …9分 (i)点C在圆心为C1(3,一2)，半径r1=2√2的圆M上，记点D的轨迹为圆N. Icc-√(3)》°+(-2--82 …10分 _22 r1十r2 -10W2 3,r1-r2 3 11分 因为r1一r2<CC2<r1十r2|,所以圆M与圆N相交.…12分 (x-3)2+(y+2)2=8, 由《 得圆M与圆N的公共弦所在直线的方程为2x一2y一3= 3x2+3y2-2x-4y-9=0, 0,…13分 因为2不经过点B(1,0)和点E(5,一4)，且点B和点E的坐标均不满足方程2x一2y一3= 0,…14分 所以点D可能在2上.… …15分 【注第(1)问中，2的方程还可以写为(x一3)2+(y+2)2=8(x≠1，y≠0且x≠5，y≠ -4). 18.(1)解：方程4x-5y+1+λ(x+6y-7)=0即为(4十λ)x+(6-5)y十1-7=0，·1分 因为4十λ与6入一5不能同时为0， 所以方程4x一5y十1十入(x十6y一7)=0表示一条直线.…2分 4x-5y+1=0, 由 3分 (x+6y-7=0, 得个所以该宜线过定点，少，…分一 无论λ取何值，直线4x一5y+1+λ(x+6y一7)=0不能与直线x十6y一7=0重合，… …6分 所以方程4x一5y+1+λ(x+6y一7)=0表示过定点(1,1)的所有直线（不包含直线x+6y 7=0)】…7分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 (2)(i)证明：l的方程可化为m(3x十y一2)十n(6x-5y一11)=0.…8分 3x十y-2=0,得 x=1, 由 …10分 6x-5y-11=0,y=-1, 所以1过定点P(1,一1). …11分 (i)解：设A到l的距离为d. 由题意得△ABH的面积S=ABd=2d, …12分 由图可知，当AP⊥1时，d取得最大值，且最大值为AP|,… …13分 当APL1时，a如2-是，所以当m十× 5-1 m-5n 4 =-1,即 5m十38n=0时，d取得最大值，… …15分 又|AP|=√(5-1)2+(2+1)2=5，… …16分 所以△ABH的面积的最大值为2|AP|=10. 17分 19.(1)解：过点D作圆C的切线，切点为T1,T2,则CT1=2,CD =4,…1分 在RtACDT中，sin∠CDT=2则∠CDT,=石，…2分 则∠TDT,=晋×2=号，则点D与圆C的张角为号…3分 (2)解：设点P到圆心C的距离为d,点P与圆C的张角为0 8r、2 因为PT1l=PT,=√a-r=√a=4,sin2=a=a: 所以os0=1-2in号-1-9 d2, …4分 所以P可P元-1PT1PTos0=d-1-)）-4-12+器.…5分 由点P在圆外，得d2>4, 所以7·P--12+器2a 32 -12=82-12,…6分 当且仅当d2-32 2,即2=4/2时，等号成立，…7分 则c0s0=1-8=1-2, 42 故当PT1·PT2取得最小值时，点P与圆C的张角的余弦值为1一√2.…8分 (3)()解：圆Q的方程为x2十y2=4.…9分 设圆C上所求的点为M(x0,yo),则(x十2)2+y2=4,① 由该点与圆Q的张角为120，得MQ=sin60=3’ 24 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 因为Q(0,0,所以x6+= 3,②… 10分 由①和②，解得x=3=士4 4 3 则所球点的坐标为-专号)或一-专，号)， …11分 (i)证明：由题意知直线L的斜率不为0，设直线l的方程为x=ty十1，A(x1,y1),B(x2, y2）.…12分 将x=ty十1代人圆Q的方程，得(t2+1)y2+2ty一3=0， 2t 3 由韦达定理得，y1十y2= t2+1y1y2= t2+1’ 13分 则2ty1y2=3(y1十y2).… …14分 直线AC的方程为y=千2红+2， 直线B0的方程为y”2红-2》 15分 两式相除，得+？_y(x1十2)_y2(y十3) x-2y1(x2-2)y1(ty2-1)' 将=(+g代人，得多-21+)+8：豆+ 39 3 x-23 1 13=3,…16分 2y1+2)-y12y1+2y2 所以中号3，解得x=4 故直线AC与BD的交点在定直线x=4上. …17分 ▣回 可 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】