江西省上犹中学2026-2027学年高二上学期10月素养训练数学试题

《2026-2027学年第一学期高二数学素养训练》参考答案 题号 2 3 7 8 9 10 11 答案 D A D B B C A AC ACD ABD 12.(-2,1) 13.2 14.8 1.2=2+i (2+ 6二4++一3+根据复数虚部的定义，乙的虚部为放选D 2-i(2-i)2+i)4-2 2.由2x-25y+2025=0化为y=5x+2025 3+ ,即该直线斜率为5，所以其倾斜角为故选A 6 3 6 B因为平面向量ā=3,2,6=L2,若ā1万，则3x1+2×元=0，解得元=故选D 4.直线3x+my+4=0与直线(m+1)x+2y-2=0平行∴.3×2-(m+1)m=0,解得m=-3或m=2, 经检验m=-3或m=2时，直线3x+my+4=0与直线(m+1)x+2y-2=0平行，根据充分必要条件的定义可 得，“直线3x+my+4=0与直线(m+1)x+2y-2=0平行”是“m=-3”的必要不充分条件，故选B 5.因为sin(a-B)=3cos(a+),所以sin a cos B-cosasin B=3 cosa cos B-3 sinasin B, 因为tana=2,所以cosa≠0，若cosB=0,则tanB无意义，所以cosB≠0， 两边同除以cos a cos B,得tana-tanB=3-3 tan a tan B, 又ama=2,所以2-mB=3-3×2amB,解得tamB=写故远，c 6.由恩意，将该宫灯看成一个高为2x6+18=30cm、底面边长为60=10cm的正六棱柱， 6 而正六棱柱的外接球（球形盒子）的直径2R是其体对角线的长，则2R=√(2x10)+302=10V13, 得R=5V13,故外接球（球形盒子）的表面积至少为4πR2=4π×(5V13)2=1300πcm2.故选：B 7.圆C的方程为(x-3)}2+(y+4)}=1,圆心C(3,-4),半径r=1,原点0(0,0)关于直线x+y+4=0的对 +b+4=0 22 称点为O',设O'(a,b),则： 解得a=b=-4,所以0'(-4，-4， b-0（)=-1 a-0 由对称性，PO=PO,所以Pg+PO=Pg+PO≥2O, 当P为线O0与直线x+y+4=0的交点时取等号， 所以问题转化为求圆C上的动点Q到定点O'(-4,-4)距离的最小值， 因为圆心C(3,-4)到0'(-4，-4)的距离为C0=7,所以圆上点到0的最小距离为C0-”=7-1=6 所以PQ+PO的最小值为6.故选：C 高二数学答案第1页（共6页） 8.将函数f(x)=osx的图象向右平移元个单位长度，得y=cosx-5码的图象， 6 6 由题得g9=cos(ox-5奶，周期7=2元 6 肉8因（径》上度有学负，所以咨子，得7≥2x:32a,00E1 假设通数g(国在（行》有零点，令8）-0，程r π=+m,keZ,解得x=低+红，k∈Z, 62 030 则T<k如+4红3】 +<+2kkez。 322得+2左 8 2 又0<0≤，当k=0时，得。O≤红，当k1时，得子0 所以邀g树怎)上受台零点时、的k丝意用足引引适人 9.由题意可得z=(1+i)(2-3i)=2+3+2i-3i=5-i,A选项，z的共轭复数为5+i,故A正确： B选项，|z-4日5-i-4H1-i上√2，故B错误；C选项，z+i=5-i+i=5为实数，故C正确： D选项，z在复平面内所对应的点的坐标为(5，-)，位于第四象限，故D错误.故选：AC 10.对于A,圆0：x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2：圆M:x2+y2+4x-2y+4=0的圆心M(-2,1),半 径为1，因为2-1<OM=V5<2+1,所以两圆相交，两圆有两条公切线，故A正确；对于B,因为圆 O:x2+y2=4,圆M:x2+y2+4x-2y+4=0,两圆作差得4x-2y+4=-4即y=2x+4,所以直线AB的方程 为y=2x+4,故B错误；对于C,圆O的圆心为(0,0)，半径为2，则圆心到直线ABy=2x+4的距离 45 4V5 ,故C正确：对于D,圆M的圆心M(-2,),半径为 1,所以EF m=OM+2+1=V5+3,故D正确.故选：ACD. 11.选项A,棱长为2的正四面体，可看作棱长为x的正方体切掉4个角(4个全等小三棱锥)得到， 且正方体面对角线等于正四面体棱长，即√x2+x2=2,解得x=V2,即该正方体棱长为V2, 正四面体的外接球就是该正方体的外接球，正方体外接球直径等于正方体体对角线， 正方体体对角线长：1=2)+(2+2=V6,外接球半径R={-6 22 故选项A正确 选项B,连接BN、CN,正四面体中△ABD、△ACD均为边长等于2的等边三角形，N是AD中点， 则AD⊥BN,AD⊥CN,又BNc平面BCN,CNc平面BCN,且BN∩CN=N, 则AD⊥平面BCN.当点M在线段BC上，则MNc平面BCN,得MN⊥AD, 因此满足条件MN⊥AD的动点M的轨迹为线段BC. 高二数学答案第2页（共6页） 在RUABN中，AB=2,N=号D=1,BN=VAB2-AN=22-P=N4-=V5,同理可得CN=3, 2 在△BCN中，BN=CN=√3，BC=2,则△BCN为等腰三角形，当M为BC中点时，MN⊥BC,此时 垂线段MN长度最小，BM=)BC=1,在RLBMN中，MNm=VBN2-BM=VW3-P=3-i=2, 故选项B正确选项C,过点P作GH/IBD,分别交BC、CD于点G、H,连接AG、AH、DG, 因为P是正△BCD的中心，故PC⊥BD:又GH/IBD,得PC⊥GH, 因为三棱锥A-BCD是正四面体，所以AP⊥平面BCD,所以PC⊥AP. 因为AP∩GH=P,且AP、GHc平面AGH,所以PC⊥平面AGH, 若M在线段AG上，则AMc平面AGH,因为PC⊥平面AGH,所以AM⊥PC, 因此满足条件AM⊥PC的动点M的轨迹为线段AG,延长CP交BD于点Q,则Q为BD中点， 0专因为61/D,所以8品号故c-08-号 CP 2 CG CP 2 因为P是正△BCD的中心，则 在aMBG中，AB=2,BG= 3 ,∠ABG=60°， 由余弦定理得AG=AB2+BG-2AB·BGcos60°=4 +号-2x2×子}8解得1G2 9 同理DG=2 3 ,在aDAG中，AD=2,AG=DG=27 3 由余弦定理可得c0s∠D4G-1D2+4G2-DG24+2828 =99_37 2AD·AG 2万14，则sin∠D4G=i9 2×2× 2W7 3 当DM⊥AG时，DM取得最小值，且最小值为DM=ADsin∠DAG=2× v19 V133 2V7 7, 故DM的最小值为B3,因此选项C错误. 7 选项D,过点N的截面交AC于E,交BD于F,交BC于H, 因为AB/I截面NEHF,ABc平面ABC,平面NEHF∩平面ABC=NF, 所以AB/INF,同理AB/1EH,则NFI1EH,同理可得NE/FH, 所以四边形NEHF为平行四边形，因为ABCD是正四面体，所以AB⊥CD, 因为NF IIAB,NE/1CD,所以NE⊥NF,所以NEHF为矩形， 设4W=元MD=2a(0≤≤)，则Dw=2-2元，则F-D, AB AD 解得NF=ND-2-2, NE AN 解得NE=AN=22,则矩形NEHF的面积为NE·NF=2(2-22)=-422+42, CD AD' 对称轴为入=？敌当天=时，矩形N的面积取最大值，且最大宜为-4× 2 2)】 +4x=-1+2=1, 2 即截面面积的最大值为1，故选项D正确 高二数学答案第3页（共6页） 12.直线mx-y+2m+1=0可化为m(x+2)+(-y+)=0,m∈R, 「x+2=0 -y+1=0x=-2,y=l,直线mx-y+2m+1=0经过定点(-2，).故答案为(-2，) l3.设z=a+bi(a∈R,b∈R),且zl=1+V3i+z,所以Va+b=1+V3i+a+bi=1+a+(N3+bi, 3+b=0 所以 ,得 Va+b=1+a 得a=1,所以2=2故答案为：2 14.C:x2+y2-2x-2y+1=0→(x-1)2+(y-1)2=1,故圆C的圆心坐标为(1,1)，半径为1， 故圆心C1,到1：4x+3y+8=0的距离d-4+3+8-3>1,故直线1：4x+3y+8=0与圆C相离， V16+9 圆C上任意的点A,直线：4x+3y+8=0上总存在不同两点M、N,使∠MAN≥90°， 设以MN为直径的圆的圆心为H,即圆H包含圆C,且至少圆C内切于圆H, 当以MN为直径的圆与圆C内切且CH⊥MN时，即CH=3时，MW取得最小值， 最小值为2(CH+1)=8.故答案为：8. 2x+y+4=0 x=-1 15.(1)联立两直线方程 x-3y-5=0’解得 y=-2 即交点M(-1,-2),.3分 又A(4,0),则kM= -2-02 -1-45 .5分 2 所以直线4M的方程为y=-4,即2x-5y-8=0 7分 (2)直线4变形为)y=-2x-4,斜率k=-2,则与4垂直的直线斜率k= -22 9..10分 则过点4且与4垂直的直线方程为y-(-2)=x-(←，即x-2y-3=0…13分 16.(由sB+c8=2得，2ma+-2,得sn(B+君引-l 6 4分 因为B∈(0，)，所以B+交=，得B= 62 3 7分 (2)如图所示：由余弦定理得b2=a2+c2-2 ac cos B, 9分 符(7=2+2-2x2ex3得c-3e+=0, 因为c>0,所以c=3, ..11分 则BD-BC-}a+acac-A,BC+Bd-×3x2 11 2+2 ×2= 2·15分 17.(1)由圆C:x2+y-3)2=16,可得圆心C(0,3),半径r=4, 2分 所以圆心到直线上x-y+2=0的距离d-10-3+2-2 2 2 5分 高二数学答案第4页（共6页） 所以AB=2Wr2-d= 2 62.7分 (2)①当过点P(4,-5)的直线斜率不存在时，圆心C(0,3)到直线x=4的距离为4， 恰等于半径，所以直线x=4是圆的一条切线： 9分 ②当直线斜率存在时，设切线方程为：y+5=k(x-4)即c-y-4k-5=0,.11分 因直线与圆相切，则可得圆心C(0,3)到该直线的距离等于半径， 即3--=4，解得k= Vk2+1 4此时切线方程为3x+4y+8=0. ...14分 故所求切线有两条：x=4与3x+4y+8=0. … 15分 18.(I)连接DE,交AC于M,,E是线段AB的中点，.AE=1, AD_DC= AEAD ,'△ADE与△DCA均为直角三角形，∴.△ADE△DCA,即∠ADE=∠DCA, ∠DMC=LADC=),.DE LAC,2分 D A ,DD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,.DD⊥AC,3分 DD∩DE=D,DD,DEc平面DDE,.AC⊥平面DDE,.4分 :D月 DEc平面DDE,.AC⊥DE. 5分 (2)连接D,A,DC,连接DM,AC⊥平面D,DE,DMC平面DDE,∴.DM⊥AC,6分 由(I)知EM⊥AC,,D,MC平面D,AC,EMC平面ABC,故∠D,ME即为二面角D,-AC-B的平面角， △DwC△B,所%=2 ..8分 3ME=3 ”AD=V2,AE=l,DD=2,所以DE=AD+AB,即DE=5,所以DM=25, ,DD⊥平面ABCD,DEC平面ABCD,.DD⊥DE, DM-DD+DM,DE=DD+DE DM=4.DE= 3 &cos∠DMB=DM2+ME2-DE'-1」 2·DM·ME 一2，即二面角D-AC-B的余弦值为-} 2 ，11分 (3)由(1)知，AC⊥DE,..12分，AB⊥平面ADDA,DAC平面ADDA,.AB⊥AD,故在 Rt△DAE中作斜边D,E上的高，交线段DE于点P,即有AP⊥DE,又，AP∩AC=A,AP,ACc平 面APC,.DE⊥平面APC,此时的点P即为所求，..15分 DP DA yRt△PARI△DAE,D4DE:即D,P=y,放PEV, 7 7 高二数学答案第5页（共6页） 小线段DB上存在点D,此时伦6……7分 19.(1)d(P,R)=max{1+1,1-4}=max{2,3}=3.1分 设1上任意一点为(-1，y),则d(P,2)=max{+,-y川=max{2,1-y少 当1-≥2时，d(P,)=1-≥2；当-y<2时，d(P,)=2, 所以d(P,Q)的最小值为2，故d(P,)=2... ..4分 (2)①由题可知圆C的标准方程为(x-)+y2=4,圆心为C(1,0),半径r=2. 白图E的方程知圆心为(aa-》半径6号d(c)=口-0-引 当a-n-引即a≥时，由d(c.)=a-7解得a=所以20 此时C-5-个圆C与圆E相切（答内切也对） .7分 当-0-子即a子时，由ac,到-0引解得a=1,所以-》 此时C=25-个所以圆C与圆E相切 .9分 ②M,N都在x轴上，所以MW=d(M,N)=3,.。 ........10分 2 (舍去)..11分 此时圆Ex-+0-29-空令y=0,解得x=2或x=5,点M在题C外，所以M(6.01.N2.0) 由题意设直线AB的方程为x=my+5,A(xAyA),B(xg,yB) [x=my+5, 2+2-2x-3=0,可得(m+y+8my+12=0, 由 当△=64m2-48(m2+1)>0,即m2>3时， 有，+ya=-8m 12 m2+1y= m2+ll3分 kw+kw=,+n,=y。+h-2m,ya+30y4+y） x-2 xn-2 my+3 mya+3 m'yyn+3m(ya+yn)+9' :2my,6+30y4+y,）=24m-24n=0,5kw+kw=0, m2+1m2+1 .15分 .直线4与l2关于x轴对称，即关于直线MN对称，由对称性知(M,l)=d(M,l2)17分 高二数学答案第6页（共6页）2026-2027学年第一学期高二年级素养训练 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修二，选择性必修一第一章 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数：=则z的虚部为() C. D 2.直线2x-2√3y+2025=0的倾斜角为() A.6 B.3 C.2r 3 D. 6 3.已知平面向量ā=(3,2)，b=(1,2),若a⊥b,则2=() A D. 3 2 4.“直线3x+my+4=0与直线(m+1)x+2y-2=0平行”是“m=-3”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知sin(a-)=3cos(a+),tana=2,则tanB=() A. 总月 6.宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一，如图为一件三层六角宫灯，三层均为 正六棱柱，其中上下层正棱柱的底面周长均为60cm,高为6cm,中间一层的正棱柱高为18cm.设计一个装该宫灯 的可从中间打开的球形盒子，则该盒子的表面积至少为() A.650πcm2 B.1300πcm2 C.1500πcm2 D.2600mcm2 高二年级数学第1页（共4页） 7.已知点O是坐标原点，点Q是圆(x-3)+(y+4)=1上的动点，点P是直线x+y+4=0上的一个动点，则 Pg+PO的最小值为() A.4 B.5 C.6 D.7 8.将函数f(x)=c0sx的图象先向右平移π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的上(a>0)倍纵坐 6 标不变得到唇数8（闲的图家函数8（倒在（昼》 上没有零点，则⊙的取值范围是() D.(0, 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数z=(1+i)(2-3i),则下列结论正确的是() A.Z=5+i B.1z-4=5V2 C.z+i为实数 D.z在复平面内所对应的点位于第三象限 10.己知圆0：x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于AB两点，下列说法正确的为() A.两圆有两条公切线 B.直线AB的方程为y=2x+2 C.线段AB的长为4W5 D.圆O上点E,圆M上点F,EF的最大值为√5+3 5 11.已知棱长为2的正四面体ABCD,P为△BCD的中心，M为平面ABC内的动点，N为棱AD上的动点，下列 说法正确的有() A.该正四面体的外接球的半径为y6 2 B.若MN⊥AD,N为AD的中点，则MN的最小值为√2 C.若AM⊥PC,则DM的最小值为√2 D.过点W的截面与AB和CD都平行，则截面面积的最大值为1 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.不论m为何值，直线mx-y+2m+1=0恒过定点 13.已知复数z满足z=1+V3i+z,则z= 14.若对于圆C:x2+y2-2x-2y+1=0上任意的点A,直线1：4x+3y+8=0上总存在不同两点M,N,使得 ∠MAN≥90°，则MW的最小值为 高二年级数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知直线l:2x+y+4=0与直线2：x-3y-5=0的交点为M. (1)求过点A(4,O)和点M的直线方程： (2)求过点M,且与（垂直的直线方程， 16.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，满足√3sinB+cosB=2. (1)求B: (2)若a=2,b=V7,D是AC的中点，求BD.BC. 17.已知直线：x-y+2=0和圆C:x2+y2-6y-7=0. (1)直线1交圆C于A,B两点，求弦长|AB|: (2)求过点P(4,-5)的圆的切线方程 高二年级数学第3页（共4页） 18.如图，在长方体MBCD-ABCD中，AB=AM=2,AD=V2,E为线段AB的中点. (I)证明：AC⊥DE. (2)求二面角D-AC-B的余弦值. ③)在线段D,E上是否存在点P,使得D,B⊥平面APC?若存在，求出D二的值：若不存在，请说明理由。 PE D D C E B 19.在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=maxx-x,以-y2}为两点A(x,),B(x2,y2)的“切比雪夫距离，又设 点P及直线l上任意一点2，称d(P,)的最小值为点P到l的“切比雪夫距离”，记作d(P,) (1)已知点P(1,和点R(-1,4),直线l:x=-1,求dP,R)和d(P,) Oe知C4-x-3=0图8-0+-a+-至 ①若两圆心的切比雪夫距离C,E)=),判断圆C和圆E的位置关系： ②若a>0,圆E与x轴交于M,N两点，其中点M在圆C外，且d(M,N)=3,过点M任作一条斜率不为0的直线 与圆C交于A,B两点，记直线AW为l,直线BN为l2,证明：d(M,)=d(M,h2) 高二年级数学第4页（共4页）