精品解析：江西省南昌市外国语学校2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷

南昌市外国语学校2025-2026学年度上学期 高二数学12月月考试卷 考试时间：120分钟 命题人：江海涛 审题人：闵坤 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（单选题，每题5分共计40分） 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 设直线的倾斜角为，， 则，所以. 故选：D. 2. 已知为曲线上的动点，，且，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可得，进而可得. 【详解】因为，且， 可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，， 所以. 故选：C. 3. 如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱，，的中点，为上的动点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 设平面的法向量， 则有，令， 则解得，所以， 而，设，故， 设，则，得到，解得， 可得，即，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得，故A正确. 故选：A 4. 已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得两圆的圆心和半径，根据两圆有三条公切线可得两圆外切，即可求得，令，代入上式，化简整理可得关于的一元二次方程，根据结合判别式，即可得答案. 【详解】把圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为， 把圆化为标准方程为， 其圆心为，半径为， 若两圆恰有三条公切线，则两圆外切， 故两圆圆心距离等于两圆半径和， 即，化简可得， 令，则代入得 ， 因为，所以， 解得， 则的最大值为. 故选：B. 5. 南宁三中五象校区高二年级在本学期组建了年级学生会，共设了学习部、生活部和文体部三个部门，现有5个同学去竞聘年级学生会委员，若每个部门至少聘用他们中的一个人，每人恰被一个部门聘用，并且甲同学和乙同学不会被同一个部门聘用，则不同的聘用情况总数是（ ） A. 336 B. 162 C. 114 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据不平均分组分配计算原理，算出总事件的情况，再排除甲同学和乙同学在同一组的情况即可. 【详解】根据题意分组的方法有两种，第一种：3、1、1，第二种：2、2、1， 第一种方案共有：，第二种方案共有：， 故总体的分配方案共有150种， 又甲同学和乙同学不会被同一个部门聘用， 则在第一种方案中甲同学和乙同学在同一组的方案有：， 在第二种方案中甲同学和乙同学在同一组的方案有：， 故符合题意得方案有：, 故选：C. 6. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若斜率为的直线过原点且与相交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出直线方程和双曲线交点坐标，联立方程组解得交点坐标，然后得到向量，由得建立方程，解得，然后由离心率公式求得结果. 【详解】直线， 联立方程组得，整理得或， 即，， 则，， ∵，∴， 即，∴或（舍去）， ∴离心率. 故选：A. 7. 如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出在上的投影向量，设，求出投影向量的长度，结合投影向量与的关系可得答案. 【详解】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以. 故选：D 8. 若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于，两点，设的内切圆的半径为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程可知，即可知为正三角形，再根据垂直可知为垂直平分线，即可知，，即，可知的周长，并可知直线的方程，联立方程可得弦长及到直线的距离，即可得，则. 【详解】 由椭圆方程，可得，， 即，所以为等边三角形，， 由过作直线的垂线交椭圆于，两点， 即为垂直平分线， 则，即直线的倾斜角为， 则点，关于直线对称，而的周长为， 所以的周长为， 所以直线，即， 设，， 联立方程，消去得， 则， 可得，， 则， 点到直线的距离为， 所以的面积为， 所以， 故选：C． 二、多选题（每题6分，错选，多选不给分.三个选答，每漏一个扣2分，二个选答，每漏一个扣3分.） 9. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每人都要安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则这5名同学全部被安排的方案数是 D. 若司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分组分配问题，即可结合排列组合以及选项逐一求解. 【详解】对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，故A错误． 对于B，根据题意，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故B错误． 对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出2人开车，则有种安排方法； ②从丙、丁、戊中选出1人开车，则有种安排方法，则共有种安排方法，故C正确． 对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，故D错误． 故选:ABD． 10. 如图，在正四棱柱中，，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 三棱锥外接球的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据面面平行的判定定理证得平面平面，即可判断A正确；根据A的结论将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，求出体积即可判断B；根据三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球，求得其体积，可判断C；设，根据线面角的向量求法，用表示出直线与平面所成角的正弦值，即可求得其最大值，判断D. 【详解】对于A选项，连接、、如图所示：在正四棱柱中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，A对； 对于B选项，因为平面，，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，B错； 对于C选项，三棱锥的外接球半径等于正四棱柱的外接球半径， 设三棱锥的外接球半径为，则， 因此三棱锥外接球的体积为，C错； 对于D选项，以为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、、，则， 设，则，即，其中， ， 因为平面，，所以易得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 故时，取最小值，则有最大值为，D对. 故选：AD. 11. 已知曲线的图象可由以坐标原点为中心的双曲线绕其中心旋转一定角度得到.现将双曲线绕原点旋转得到曲线，则（ ） A. 直线是曲线的一条渐近线 B. 的实轴长为 C. 的离心率为2 D. 当时，直线与有两个交点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对勾函数渐近线即可判断A选项；通过渐近线找到对称轴，联立曲线求交点，交点即为两个顶点，从而求出实轴长度，故可判断B选项；通过A，B选项所得条件，将曲线求出，通过曲线C的渐近线方程求离心率可判断C选项；对于D选项，联立用判别式解不等式即可. 【详解】曲线的两条渐近线为：和，故A选项正确； 易知两条渐近线夹角为，故曲线的一个对称轴为， 联立方程得，， 故曲线的两个顶点为：，， 易得曲线的实轴长为，故B选项错误； 由B选项知：两条渐近线夹角为， 易知将顺时针旋转得到， 此时的渐近线倾斜角为，由渐近线方程得：， 而离心率，故C选项错误； 由，，可得：，， 故双曲线的方程为：. 联立直线与曲线消去得：， 若使直线与有两个交点，则只需要让上述方程有两个根即可， 即判别式大于零：， 解得：或， 故当时，直线与有两个交点，故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 已知，，点在坐标平面上，且、、三点共线，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线列方程，由此来求得点的坐标. 【详解】由于点在坐标平面上，故可设， 由于、、三点共线， 所以， 所以， 所以，解得. 所以. 故答案为： 13. 在正四棱锥中，底面边长为 ，侧棱长为4，点P是底面ABCD内一动点，且 ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC 所成角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断点的轨迹，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BP与直线SC 所成角的余弦值. 【详解】设，连接，则平面， ，则， 则，，则， 所以在以为原点，半径为的圆上， 当A，P两点间距离最小时，在上， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设直线BP与直线SC 所成角为， 则. 故答案为： 14. 川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技，是揭示剧中人物内心思想感情的一种浪漫主义手法，王老师获得了川剧演出的7张连号的票，王老师自己留下了2张连号的票，其余的票赠送给4位朋友，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票连号，那么共有______种不同的分法.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先确定王老师留下2张连号票的情况，再对剩余5张连号票分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号的情况进行分析，通过列举和组合的方法来计算不同分法的总数. 【详解】设这7张连号票编号为号，王老师留下2张连号票的情况有： 、、、、、，共6种情况， 若王老师留下，剩下3、4、5、6、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、5、6、7；3、、6、7；3、4、、7； 34、5、这4种分法，此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、4、5、6、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、1、6、7；1、、4、7；1、4、、5；这3种分法， 此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、2、5、6、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、5、6、7；1、、2、7；1、2、、5；这3种分法， 此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、2、3、6、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、3、6、7；1、、6、7；1、2、、3；这3种分法， 此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、2、3、4、7号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、3、4、7；1、、4、7；1、2、、7；这3种分法， 此时有种不同的分法； 若王老师留下，剩下1、2、3、4、5号票， 因为要分给4位朋友，每人至少1张，至多分2张且两张票连号，所以可以这样分： 把5张票分成4组，有、3、4、5；1、、4、5；1、2、、5；1、2、3、； 这4种分法，此时有种不同的分法； 故共有种不同的分法. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了分类加法原理和分组分配问题，解答此类问题的关键是分类时不重复不遗漏. 四、解答题 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. 【小问1详解】 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 16. 已知抛物线的焦点为F，，O为坐标原点，抛物线C上存在点P，使得. （1）求抛物线C的方程； （2）已知过点F的直线交抛物线C于A，B两点，△AOB的面积为，求以线段AB为直径的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，根据，联立方程组，求得的值，代入抛物线的方程，求得，即可求解； （2）设直线，联立方程组，得到，利用的面积为，列出方程求得，进而确定圆的圆心和半径，即可求解. 【小问1详解】 解：设点，且， 由，可得，解得， 代入抛物线，可得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 解：由抛物线，可得其焦点，设直线， 联立方程组，整理得，可得， 则的面积为， 即，解得， 设的中点为，可得，则， 所以 中点坐标，半径， 所以所求圆方程为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，求证，即可求解； （2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， 在平面内，所以， 即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，取，得，所以 因为平面，所以平面. 所以为平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，连接 ∵四边形为矩形，∴点为中点， ∴且， 又∵且，∴且， ∴四边形为平行四边形，即， ∵平面，平面.∴平面. （2） （3）存在，P点在A点处时平面与平面的夹角为. 【解析】 【分析】（1）利用中位线和平行四边形证明线线平行，然后得到线面平行； （2）证明三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求得面的法向量，然后由直线所在向量与法向量的夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值； （3）由（2）求出平面的法向量，设点坐标，由空间向量求得平面的法向量，由两个面的法向量夹角的余弦值的绝对值求等于面面角的余弦值建立方程，解得点坐标，即可知道点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，且平面平面，平面平面， ∴平面， 又∵平面，∴， 故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， ∴，，，，， ，，， 设为平面的一个法向量， 则，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则 【小问3详解】 由（2）可知平面的一个法向量为， 设存在，则，， 设平面的一个法向量为， 则，解得，即， 则， ∴，即， 所以存在符合题意的点P，当P点在A点处时平面与平面的夹角为. 19. 已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，是椭圆上一点，的最大值是最小值的3倍. （1）求椭圆的离心率； （2）若点不与椭圆的顶点重合，过作的切线，与轴交于点，求； （3）已知，是上两个不同的点，过分别作直线，与相切，与的交点为，若，求动点的轨迹方程. （附：椭圆以点为切点的切线方程为） 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）出最大值与最小值，列出关于的齐次式求离心率即可； （2）直接写出点处的切线方程，求出点坐标，利用向量数量积求余弦值，代入计算即可； （3）求出椭圆标准方程，设，表示出直线方程，将用韦达定理表示，得到的方程即为所求. 【小问1详解】 设，则， ，所以最大值为，最小值为， 所以，解得，即椭圆的离心率为. 【小问2详解】 设点，，则， 椭圆在点处的切线方程为. 令，可得，即， ， . ， ； 【小问3详解】 因为，所以，，，的方程为. 设，，， 则椭圆在点处的切线方程分别为，， 则，，故直线的方程为. 联立可得， ，，则. 因为，所以，解得， 化简可得， 故动点的轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2025-2026学年度上学期 高二数学12月月考试卷 考试时间：120分钟 命题人：江海涛 审题人：闵坤 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（单选题，每题5分共计40分） 1. 已知直线，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知为曲线上的动点，，且，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 3. 如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱，，的中点，为上的动点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 南宁三中五象校区高二年级在本学期组建了年级学生会，共设了学习部、生活部和文体部三个部门，现有5个同学去竞聘年级学生会委员，若每个部门至少聘用他们中的一个人，每人恰被一个部门聘用，并且甲同学和乙同学不会被同一个部门聘用，则不同的聘用情况总数是（ ） A. 336 B. 162 C. 114 D. 60 6. 已知双曲线的左､右焦点分别为，若斜率为的直线过原点且与相交于两点，，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 若椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，过作直线的垂线交椭圆于，两点，设的内切圆的半径为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，错选，多选不给分.三个选答，每漏一个扣2分，二个选答，每漏一个扣3分.） 9. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每人都要安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则这5名同学全部被安排的方案数是 D. 若司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 10. 如图，在正四棱柱中，，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 三棱锥外接球的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11. 已知曲线的图象可由以坐标原点为中心的双曲线绕其中心旋转一定角度得到.现将双曲线绕原点旋转得到曲线，则（ ） A. 直线是曲线的一条渐近线 B. 的实轴长为 C. 的离心率为2 D. 当时，直线与有两个交点 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共计15分） 12. 已知，，点在坐标平面上，且、、三点共线，则点的坐标为______. 13. 在正四棱锥中，底面边长为 ，侧棱长为4，点P是底面ABCD内一动点，且 ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC 所成角的余弦值为___________． 14. 川剧变脸是运用在川剧艺术中塑造人物的一种特技，是揭示剧中人物内心思想感情的一种浪漫主义手法，王老师获得了川剧演出的7张连号的票，王老师自己留下了2张连号的票，其余的票赠送给4位朋友，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票连号，那么共有______种不同的分法.（用数字作答） 四、解答题 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 16. 已知抛物线的焦点为F，，O为坐标原点，抛物线C上存在点P，使得. （1）求抛物线C的方程； （2）已知过点F的直线交抛物线C于A，B两点，△AOB的面积为，求以线段AB为直径的圆的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点. （1）当为棱的中点时，证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 19. 已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，是椭圆上一点，的最大值是最小值的3倍. （1）求椭圆的离心率； （2）若点不与椭圆的顶点重合，过作的切线，与轴交于点，求； （3）已知，是上两个不同的点，过分别作直线，与相切，与的交点为，若，求动点的轨迹方程. （附：椭圆以点为切点的切线方程为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $