第07讲基本不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第07讲 基本不等式 模块一 认识基本不等式 1 课后作业 附解析 21 均值不等式 消元法 配凑“和定”“积定” “1”的妙用 形如分式“” 模块二 常用变形及技巧（难点） 4 12 模块三 基本不等式的实际应用（常考） 17 综合题小练 10 9 6 6 4 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第07讲 基本不等式 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 理解核心概念：准确掌握基本不等式 （ ）及其重要不等式 （ ）的代数形式与几何意义（如赵爽弦图、半圆中的几何解释）。 2. 掌握最值规律：深刻理解“积定和最小，和定积最大”的规律，牢记并熟练运用应用基本不等式求最值的三个前提条件：“一正、二定、三相等”。 3. 熟练代数变形：能灵活运用配凑、拆项、常数代换等技巧，将复杂的代数式转化为符合基本不等式结构的式子，从而求解最值或证明不等式。 模块一 认识基本不等式 知 识 点 睛 1.两个重要不等式 · 重要不等式：对于任意实数 ，都有 ，当且仅当 时，等号成立。 （作差法易证成立） · 基本不等式：如果 ，有 ，当且仅当 时，等号成立。 · 名词解释： 叫做正数 的算术平均数， 叫做正数 的几何平均数。 · 文字表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2.使用基本不等式求最值的“三字真言”（极度易错！） · 一正：参与运算的代数式必须都是正数。（若为负数，需提取负号转化为正数） · 二定：式子的和或积必须是一个定值（常数）。如果得不到定值，需要通过“配凑系数”或“拆项”来创造定值条件。 · 三相等：必须验证等号成立的条件是否存在。即检查使不等式取等号的变量值，是否在题目给定的定义域范围内。若等号取不到，则不能用基本不等式求最值！ 3.基本不等式的其它证明 ①赵爽弦图模型（面积法） 这一模型主要基于中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的“弦图”。令直角三角形的两条直角边为和，则大正方形的边长为 ，其面积为 a+b，四个直角三角形的面积之和为。 • 根据“整体大于或等于部分”的面积关系， 大正方形的面积 ≥ 四个直角三角形的面积之和， 即： ……（重要不等式） • 当且仅当直角三角形变为等腰直角三角形（即 a = b）时，中间的小正方形退化为一个点，此时面积相等，等号成立。 ②半径与半弦模型 • 圆的半径 。 • 在直角三角形 ADB 中，CD ⊥ AB，根据射影定理（或 △ACD ∽ △DCB），有 CD² = AC · CB = ab，故半弦长 CD = 。 在直角三角形 OCD 中，OD 为斜边，CD 为直角边。 根据“直角三角形中斜边大于等于直角边”的性质： OD ≥ CD, 即 。 当且仅当点 C 与圆心 O 重合（即 a = b）时，半弦 CD 与半径 OD 重合，直角三角形 OCD 退化为线段，此时等号成立。 【小练一下】（一）概念与性质辨析 1. 判断正误：函数 的最小值为 。 ( ) 1. 判断正误：若 <0，b<0，则 。 ( ) （2） 直接应用求最值 3. 已知 ，求 的最小值，并指出取最小值时 的值。 【解析】（一）概念与性质辨析 1. 错误。解析：没有强调 。当 时， ，此时函数有最大值 ，没有最小值。 2. 正确。解析：因为 和均大于0，符合基本不等式的基本要求。 （3） 直接应用求最值 3. 一正：因为 ，所以 ，满足“一正”。 二定： （定值），满足“二定”。 三相等： 。当且仅当 ，即 ，因为 ，所以 时等号成立，满足“三相等”。 答案：最小值为 ，当 时取得。 热 点 题 型 归 纳 【例1】 （单选） 若，则有（ ） A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值 【答案】D 【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值． 故选：D. 【练习1】 已知方程的解为1，b，则的最小值为___________. 【答案】12 【解析】因为1是方程的解，所以，所以，所以可化为，解方程可得或，由已知，所以当时，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为12,故答案为：12. 模块二 常用变形及技巧 热 点 题 型 归 纳 ①构造“和定”，步骤：乘除一个系数；eg已知 ，求 的最大值。 解：因为 ，所以 ，满足“一正”。 将原式变形为： 。(乘2构造定值，记得除以2不改变原式大小） 。 当且仅当 ，即 时等号成立，满足“三相等”。 答案：最大值为 。 构造“积定”，步骤：加上或减去一个常数；eg.已知的最小值， 解：只需将原始变形为：.（构造定值） 当且仅当，即是等号成立，所以最小值为3. 【练习2】 （单选）若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故选：B. ② 形如分式“” ，一般可用换元法，设一次函数为t，把x用t表示后会构成一个明显的基本不等式结构；eg.已知x>1,求 的最大值。 解：设 则原式为 当且仅当，即t=，时等号成立. *若已知x>1,怎么求 的最小值？（步骤一样，最小值为） 【练习3】 函数的最小值为_________． 【答案】 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： ③“1”的妙用，步骤：把题中给出x,y的方程变成1和要求的式子相乘，可以凑出基本不等式的结构。Eg.若已知 求的最小值。 解： 当且仅当 ，即时等号成立，联立x+2y=3可得x=，最小值为。 【练习4】 （单选） 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】，，且， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：C 【练习5】 已知，，，则当取得最小值时，__________． 【答案】 【解析】因为且， 所以， ， 当且仅当即因为，舍去负解时等号成立， 此时，解得，故． 故答案为：. *凑“1”法，可以通过凑分母之和为定值来解决 Eg.若已知 求的最小值。 解：构造; 恒成立问题（2） 1 , 只需找y的最小值大于等于a；, 只需找y的最大值小于等于a即可； （存在性命题成立，只需找到一个符合即可证明） 2 , 只需找y的最大值大于等于a；, 只需找y的最小值小于等于a即可； 【练习6】 （单选） 已知，且，若 恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，因为恒成立，所以，所以实数的取值范围是.故选：C 【练习7】 （单选） 若存在，且．使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，∴， ∴ ∵，∴ ∴， ∴， 即，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为5，要使不等式能成立， 则应大于最小值，解得，故选：C． ④消元法：当x和y没有符合特定的题型时，可以尝试消元来做，要留意消元后变量的取值范围。 【例2】 设，已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】由,,可得，则， 故 ，故答案为： ⑤不等式的补充： 证明：，所以. 【例3】 设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 有最小值1 B. 有最小值2 C. 有最大值 D. 有最大值8 【答案】AC 【解析】因为正实数满足，所以 ，当且仅当时等号成立， A正确； ，当且仅当时等号成立，B错误； ，，当且仅当时等号成立，C正确； ，当且仅当时等号成立，D错误． 故选：AC． 【练习8】 （多选） 已知x，y为正实数，，则（ ） A. xy的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为16 【答案】AD 【解析】A选项，因为为正实数，，则，当且仅当时取等号，故A选项正确； B选项，，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故B选项错误； C选项，因为，则，故，当且仅当时取等号，故C选项错误； D选项，因为 ，因为， 所以，所以的最小值为16，故D选项正确. 故选：AD 【综合题训练】 1.(多选) 已知，为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 2.（单选）若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】因为，，且， 则，(积定) 则 ， 当且仅当时，的最小值为. 故选：B. 3.（多选） 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为9 C. 最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，，，由 ，可得 ，当且仅当，时，取得最大值 ，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，选项B错误； 对于C，由，得，且，所以， 当，时，等号成立，选项C正确； 对于D，，当且仅当，时，等号成立，选项D正确． 故选：ACD 4. （多选）已知x，，，下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】对A：， 当且仅当，即时，取等号，A选项正确； 对B：因为，取等条件； 又因为，取等条件； 所以， 因为取等条件与矛盾，故B错误； 对C：， 当且仅当，即时，取等号，所以C错误； 对D： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以D正确. 故选：AD. 5.（多选） 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】ABC 【解析】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：ABC． 6. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为__________． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3． 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求的取值范围； （2）已知，且，则的最小值是多少？ （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】（1）由题设， 当且仅当，等号成立.故的取值范围为. （2）， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 模块三 基本不等式的实际应用 热 点 题 型 归 纳 【例4】 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米，计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米4100元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米110元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元，设长为米，总造价为元，则当为__________时，总造价最小为__________元． 【答案】 ①. ②. 【解析】设， 因为两个相同的矩形和的面积共为， 所以，即， 所以总造价 元， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为元，此时的值为. 故答案为：；. 【练习9】 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. （1）当，求的值； （2）求面积的最大值，并求此时，的值. 【答案】（1） （2）最大值为平方米，米. 【解析】(1) 设圆与道路1、道路2、直线的切点分为，，，连接，，， 由切线长定理可知，，则， 由题知且，，， 即，化简得.① 把代入①，解得； (2) 由题有，， 因为，所以， 令，则，解得， 所以， 当且仅当时等号成立，即， 解得，此时，， 则， 所以的面积的最大值为平方米，此时米. 【练习10】某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米 （2） 【解析】（1）设甲工程队的总造价为 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； （2）由题意可得，对任意的恒成立， 则，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 下列结论正确的是（ ） A. 当 且 时， B. 当 时， C. 当 时， 的最小值为 D. 当 时， 1. 已知 ，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 1. 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 1. 若正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 已知 ，则函数 的最小值为 ____________。 1. 已知 ，则函数 的最大值为 ____________。 1. 若 ，且 ，则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的是 ____________。（填序号） ① ； ② ； ③ ； ④ 。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 求下列函数的最值，并指出取得最值时 的值： （1） ； （2） 。 1. 已知 ，且 ，求 的最小值 【作业解析】 一、 选择题 1. 【答案】B。解析：A错，；B正确， 时， ，当且仅当 时取等号；C错， 时， ，但取不到等号（因为 不在范围内），故无最小值；D错，当 时无意义，且 才能用基本不等式。 2. 【答案】B。解析：因为 ，且 （和为定值），所以 。当且仅当 ，即 时取等号。 3. 【答案】B。解析：因为 ，且 （积为定值），所以 。当且仅当 时取等号。 4. 【答案】C。解析：利用“1”的代换， 。因为 ，所以原式 。当且仅当 ，即 ，结合 得 时取等号。 二、 填空题 5. 【答案】 。解析：因为 ，所以 。配凑： 。当且仅当 ，即 ，因为 ，所以 时取等号。 6. 【答案】 。解析：因为 ，所以 。为了凑定值， 。因为 （定值），所以 。当且仅当 ，即 时取等号。 7. 【答案】①②③④。解析：① ，正确；② ，所以 ，正确；③ ，正确；④ ，所以 恒成立，正确。故答案为 ①②③④。 三、 解答题 8. 【解析】（1）因为 ，所以 。 配凑： 。 由基本不等式： 。所以 。 当且仅当 ，即 ，因为 ，解得 时取等号。 故最小值为 ，当 时取得。 （2）因为 ，所以 ， 。为了凑定值， 。 因为 （定值），所以 。 当且仅当 ，即 时取等号。 故最大值为 ，当 时取得。 1. 【解析】因为 ，且 ， 所以 。 因为 ，所以 。所以 。 当且仅当 ，即 ，结合 得 时取等号。 故 的最小值为 。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $ 彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第07讲 基本不等式 模块一 认识基本不等式 1 课后作业 ···································································································································· 11 均值不等式 消元法 配凑“和定”“积定” “1”的妙用 形如分式“” 模块二 常用变形及技巧（难点） 4 8 模块三 基本不等式的实际应用（常考） 10 综合题小练 7 6 5 4 4 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第07讲 基本不等式 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 理解核心概念：准确掌握基本不等式 （ ）及其重要不等式 （ ）的代数形式与几何意义（如赵爽弦图、半圆中的几何解释）。 2. 掌握最值规律：深刻理解“积定和最小，和定积最大”的规律，牢记并熟练运用应用基本不等式求最值的三个前提条件：“一正、二定、三相等”。 3. 熟练代数变形：能灵活运用配凑、拆项、常数代换等技巧，将复杂的代数式转化为符合基本不等式结构的式子，从而求解最值或证明不等式。 模块一 认识基本不等式 知 识 点 睛 1.两个重要不等式 · 重要不等式：对于任意实数 ，都有 ，当且仅当 时，等号成立。 （作差法易证成立） · 基本不等式：如果 ，有 ，当且仅当 时，等号成立。 · 名词解释： 叫做正数 的算术平均数， 叫做正数 的几何平均数。 · 文字表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2.使用基本不等式求最值的“三字真言”（极度易错！） · 一正：参与运算的代数式必须都是正数。（若为负数，需提取负号转化为正数） · 二定：式子的和或积必须是一个定值（常数）。如果得不到定值，需要通过“配凑系数”或“拆项”来创造定值条件。 · 三相等：必须验证等号成立的条件是否存在。即检查使不等式取等号的变量值，是否在题目给定的定义域范围内。若等号取不到，则不能用基本不等式求最值！ 3.基本不等式的其它证明 ①赵爽弦图模型（面积法） 这一模型主要基于中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的“弦图”。令直角三角形的两条直角边为和，则大正方形的边长为 ，其面积为 a+b，四个直角三角形的面积之和为。 • 根据“整体大于或等于部分”的面积关系， 大正方形的面积 ≥ 四个直角三角形的面积之和， 即： ……（重要不等式） • 当且仅当直角三角形变为等腰直角三角形（即 a = b）时，中间的小正方形退化为一个点，此时面积相等，等号成立。 ②半径与半弦模型 • 圆的半径 。 • 在直角三角形 ADB 中，CD ⊥ AB，根据射影定理（或 △ACD ∽ △DCB），有 CD² = AC · CB = ab，故半弦长 CD = 。 在直角三角形 OCD 中，OD 为斜边，CD 为直角边。 根据“直角三角形中斜边大于等于直角边”的性质： OD ≥ CD, 即 。 当且仅当点 C 与圆心 O 重合（即 a = b）时，半弦 CD 与半径 OD 重合，直角三角形 OCD 退化为线段，此时等号成立。 【小练一下】（一）概念与性质辨析 1. 判断正误：函数 的最小值为 。 ( ) 1. 判断正误：若 <0，b<0，则 。 ( ) （2） 直接应用求最值 3. 已知 ，求 的最小值，并指出取最小值时 的值。 热 点 题 型 归 纳 【例1】 （单选） 若，则有（ ） A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值 【练习1】 已知方程的解为1，b，则的最小值为___________. 模块二 常用变形及技巧 热 点 题 型 归 纳 ①构造“和定”，步骤：乘除一个系数； eg已知 ，求 的最大值。 构造“积定”，步骤：加上或减去一个常数； eg.已知的最小值， 【练习2】 （单选）若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. ② 形如分式“” ，一般可用换元法，设一次函数为t，把x用t表示后会构成一个明显的基本不等式结构； eg.已知x>1,求 的最大值。 【练习3】 函数的最小值为_________． ③“1”的妙用，步骤：把题中给出x,y的方程变成1和要求的式子相乘，可以凑出基本不等式的结构。 Eg.若已知 求的最小值。 【练习4】 （单选） 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. 9 D. 【练习5】 已知，，，则当取得最小值时，__________． *凑“1”法，可以通过凑分母之和为定值来解决 Eg.若已知 求的最小值。 恒成立问题（2） 1 , 只需找y的最小值大于等于a；, 只需找y的最大值小于等于a即可； （存在性命题成立，只需找到一个符合即可证明） 2 , 只需找y的最大值大于等于a；, 只需找y的最小值小于等于a即可； 【练习6】 （单选） 已知，且，若 恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【练习7】 （单选） 若存在，且．使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. ④消元法：当x和y没有符合特定的题型时，可以尝试消元来做，要留意消元后变量的取值范围。 【例2】 设，已知，则的最小值为______． ⑤不等式的补充： 证明：，所以. 【例3】 设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 有最小值1 B. 有最小值2 C. 有最大值 D. 有最大值8 【练习8】 （多选） 已知x，y为正实数，，则（ ） A. xy的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 的最小值为16 【综合题训练】 1.(多选) 已知，为正实数，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 2.（单选）若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 3.（多选） 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最大值为9 C. 最小值为 D. 的最小值为 4. （多选）已知x，，，下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 5.（多选） 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 6. 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为__________． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3． 根据上述材料解决以下问题． （1）已知为正实数，且，求的取值范围； （2）已知，且，则的最小值是多少？ （3）某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少？ 模块三 基本不等式的实际应用 热 点 题 型 归 纳 【例4】 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米，计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米4100元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米110元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元，设长为米，总造价为元，则当为__________时，总造价最小为__________元． 【练习9】 如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆相切的小道.设点到道路2的距离为米，点到道路1的距离为米. （1）当，求的值； （2）求面积的最大值，并求此时，的值. 【练习10】某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 下列结论正确的是（ ） A. 当 且 时， B. 当 时， C. 当 时， 的最小值为 D. 当 时， 1. 已知 ，且 ，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 1. 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 1. 若正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、 填空题（精准识记，规范表达） 1. 已知 ，则函数 的最小值为 ____________。 1. 已知 ，则函数 的最大值为 ____________。 1. 若 ，且 ，则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的是 ____________。（填序号） ① ； ② ； ③ ； ④ 。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 求下列函数的最值，并指出取得最值时 的值： （1） ； （2） 。 1. 已知 ，且 ，求 的最小值 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $