第03讲 不等式与基本不等式求最值（5大知识点+10大题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册归纳梳理（人教A版2019）

第03讲 不等式与基本不等式求最值 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：等式的基本性质 3 知识点二：不等式的基本性质 3 知识点三：基本不等式 3 知识点四：与基本不等式相关的不等式 3 知识点五：利用基本不等式求最值 4 03 题型精讲 5 题型一：不等关系与大小比较判定 5 题型二：不等式的求解与范围确定 6 题型三：利用基本不等式求解积式最值 8 题型四：利用基本不等式求解和式最值 9 题型五：“1” 的代换技巧应用 10 题型六：基本不等式恒成立类问题 12 题型七：二次分式型最值求解 14 题型八：换元法与消元法 16 题型九：条件等式求最值 18 题型十：基本不等式的实际应用问题 20 04 过关测试 24 知识点一：等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么. 知识点二：不等式的基本性质 性质1 如果，那么；如果，那么.即 性质2 如果，，那么.即 ，. 性质3 如果，那么. 由性质3可得， . 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4 如果，，那么；如果，，那么. 性质5 如果，，那么. 性质6 如果，，那么. 性质7 如果，那么（，）. 知识点三：基本不等式 如果，，则 ， 当且仅当时，等号成立. 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四：与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立. （2）当，时，有 ， 当且仅当时，等号成立. （3）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立. 知识点五：利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 题型一：不等关系与大小比较判定 【典例1-1】（26-27高一上·甘肃·期中）若，，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：因为，则，所以， 所以，故C错误； 对于D：因为，所以，，所以，故D正确； 【典例1-2】（26-27高一上·甘肃·期中）若，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得 ， 则 ， ，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 【变式1-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 【变式1-2】（25-26高一下·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 【变式1-3】（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【解析】，故 题型二：不等式的求解与范围确定 【典例2-1】（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，解得. ，，相加得. 【典例2-2】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，而，则. 【变式2-1】（26-27高一上·辽宁·期中）已知，，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A： ， ， 即，故A错误； 选项B： ， ，又， ， 即，故B错误； 选项C： ， ， ， 异号，， ，故C正确； 选项D： ，，， 又， ， ， 异号，， ，故D错误． 【变式2-2】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，解得. 由；. 所以，即. 故选：A 题型三：利用基本不等式求解积式最值 【典例3-1】（26-27高一上·天津·期中）的最大值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【解析】由 ， 则由基本不等式可得：， 当且仅当时取等号，即的最大值为. 【典例3-2】（26-27高一上·北京·期中）若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 【答案】A 【解析】由基本不等式可知， 即，∴，当且仅当时取等号. 所以有最大值. 【变式3-1】（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 【变式3-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【解析】因为， 则，所以， 当且仅当时，即当，且，等号成立， 故的最大值为3． 故选：A． 【变式3-3】（25-26高一上·四川达州·期中）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C．5 D．4 【答案】A 【解析】根据题意可得，即，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为2， 故选A. 题型四：利用基本不等式求解和式最值 【典例4-1】（22-23高一上·山东泰安·期中）已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【解析】∵ ，，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 又，代入上述不等式可得 设（），整理得， ∵ ，∴解得，当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 【典例4-2】（24-25高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 【变式4-1】（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 【变式4-2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）若，且．则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】若，且，则得， 所以， 当且仅当即，时取等号，故A正确. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高一上·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解析】因为实数，满足，所以， . 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 题型五：“1” 的代换技巧应用 【典例5-1】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 【典例5-2】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 【变式5-1】（25-26高一下·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 【变式5-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】， 当且仅当，时取等． 【变式5-3】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为. 故选：C. 题型六：基本不等式恒成立类问题 【典例6-1】（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 【典例6-2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B 【变式6-1】（25-26高一上·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，不等式对一切都成立， 则， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，则实数的取值范围为. 故选：C 【变式6-2】（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 【变式6-3】（25-26高一上·天津·期中），，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 又恒成立，所以， 即，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为： 题型七：二次分式型最值求解 【典例7-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 【答案】/ 【解析】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： 【典例7-2】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 【变式7-1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为___________. 【答案】16 【解析】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 【变式7-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【解析】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 【变式7-3】（22-23高一上·湖南益阳·阶段检测）已知，则函数的最小值是______． 【答案】 【解析】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 题型八：换元法与消元法 【典例8-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】，，，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值. 故答案为：. 【典例8-2】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】－1 【解析】因为，所以， 因为均为正数，所以， 所以 , 当且仅当，即，即时，取得最小值， 故答案为：－1 【变式8-1】（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】因为，，且， 所以，则， 整理得， 又，，所以， 所以. 因此， 当且仅当，即时取等号. 此时，满足题意. 故答案为： 【变式8-2】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由，x，y均为正实数，可得，解得， 因， 则，设，则，且， 则， 因，当且仅当时等号成立， 故，即当时，的最小值为. 故答案为：. 【变式8-3】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 【答案】/ 【解析】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 题型九：条件等式求最值 【典例9-1】（25-26高一上·浙江温州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为_____________. 【答案】25 【解析】由正实数，，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为25. 故答案为：25. 【典例9-2】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】/0.25 【解析】因为均为正实数，且， ，设， 则上式， 当且仅当时取“=”； 则的最小值为， 故答案为： 【变式9-1】（25-26高一下·四川眉山·期中）已知为正数，，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】由题设，则， 求的最小值，即求的最小值，其中， 由， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 【变式9-2】（25-26高一下·上海杨浦·期中）若正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】/ 【解析】因为均为正实数，所以， 当且仅当，时取等号. 【变式9-3】（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 【答案】48 【解析】因，且， 则 （当且仅当时等号成立） ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值等于. 故答案为：. 题型十：基本不等式的实际应用问题 【典例10-1】（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【解析】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 【典例10-2】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【解析】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 【变式10-1】（25-26高一上·山东菏泽·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【解析】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为. （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【变式10-2】（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【解析】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【变式10-3】（25-26高一上·河南洛阳·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【解析】（1），且， ， 即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知， 总造价为 当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【解析】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 【答案】B 【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 3．（24-25高一上·重庆渝中·期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 【答案】C 【解析】由条件正实数，，满足， 可得，所以， 当，即时，等号成立，此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值9，所以的最大值为9， 故选：C. 4．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【解析】因为是正实数，且满足， 所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故选：C 5．（25-26高一下·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 6．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）如图所示，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/．设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 因为两个相同的矩形和构成的面积为， 可得，解得， 又因为，可得， 则 元， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，S取得最小值，且元． 7．（25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 【答案】D 【解析】对A，因为，即，即，故A错误； 对B，当时，此时，故B错误； 对C，若，则，当且仅当，即时等号成立，故错误； 对D，因为， 又因为，故成立，故D正确. 故选：D. 8．（25-26高一上·浙江·期末）若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为正实数a，b满足，则， 又因为，即， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 所以的最小值为. 故选：A. 9．（多选题）（25-26高二下·河北承德·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 【答案】ACD 【解析】因为，，且，所以由基本不等式，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是8，故B错误； 因为，，所以， 所以，即的取值范围是，故C正确； ，令，则．函数在上单调递减， 所以在上的最小值为． 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． 10．（多选题）（25-26高一下·湖南衡阳·期末）已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 【答案】BD 【解析】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且， 由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，所以D正确. 11．（多选题）（25-26高一下·浙江衢州·期末）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【解析】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 12．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】由题可得， 所以， 令，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为13. 13．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】因为， ， 则， 当，即，且等号成立， 解得，均满足， 因此的最小值为. 14．（25-26高一上·上海·期末）某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为8m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切（如图所示），则矩形花园占地面积的最小值为______．（结果精确到） 【答案】 【解析】设矩形的长与宽分别为和，则由直角三角形内切圆半径公式可得， 即，故， 平方整理得 ， 由重要不等式得， 则 而，解得，， 当且仅当时，等号成立， 此时取得最小值746，所以矩形花园占地面积的最小值为746. 15．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】因为，，且，则， 可得， 当且仅当时等号成立，结合可得，当且仅当时等号成立， 所以取得最小值. 故答案为：. 16．（25-26高一下·黑龙江绥化·期末）回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【解析】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 17．（25-26高一上·贵州黔南·期末）（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 【解析】（1）. 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. （2）. . 4. 当且仅当，且，即且时，等号成立， 因此的最小值为4. 18．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 【解析】（1）由，，得， 即，整理得，解得， 当且仅当时取等号，由，得， 所以当时，取得最小值6. （2）由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，由，得时取等号， 所以当时，取得最大值. 19．（25-26高一上·安徽·期中）已知，完成下列问题. (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【解析】（1）因，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为49. （2）因，则， 即，可得， 即或（舍），解得， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为64. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 不等式与基本不等式求最值 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：等式的基本性质 3 知识点二：不等式的基本性质 3 知识点三：基本不等式 3 知识点四：与基本不等式相关的不等式 3 知识点五：利用基本不等式求最值 4 03 题型精讲 5 题型一：不等关系与大小比较判定 5 题型二：不等式的求解与范围确定 5 题型三：利用基本不等式求解积式最值 6 题型四：利用基本不等式求解和式最值 6 题型五：“1” 的代换技巧应用 7 题型六：基本不等式恒成立类问题 7 题型七：二次分式型最值求解 8 题型八：换元法与消元法 8 题型九：条件等式求最值 8 题型十：基本不等式的实际应用问题 9 04 过关测试 11 知识点一：等式的基本性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么. 知识点二：不等式的基本性质 性质1 如果，那么；如果，那么.即 性质2 如果，，那么.即 ，. 性质3 如果，那么. 由性质3可得， . 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4 如果，，那么；如果，，那么. 性质5 如果，，那么. 性质6 如果，，那么. 性质7 如果，那么（，）. 知识点三：基本不等式 如果，，则 ， 当且仅当时，等号成立. 叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 知识点四：与基本不等式相关的不等式 （1）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立. （2）当，时，有 ， 当且仅当时，等号成立. （3）当时，有 ， 当且仅当时，等号成立. 知识点五：利用基本不等式求最值 已知，，那么 （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值. 题型一：不等关系与大小比较判定 【典例1-1】（26-27高一上·甘肃·期中）若，，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【典例1-2】（26-27高一上·甘肃·期中）若，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-1】（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一下·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 题型二：不等式的求解与范围确定 【典例2-1】（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27高一上·辽宁·期中）已知，，（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·山西大同·阶段检测）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型三：利用基本不等式求解积式最值 【典例3-1】（26-27高一上·天津·期中）的最大值为（    ） A． B． C．4 D．8 【典例3-2】（26-27高一上·北京·期中）若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 【变式3-1】（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式3-3】（25-26高一上·四川达州·期中）已知正数满足，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C．5 D．4 题型四：利用基本不等式求解和式最值 【典例4-1】（22-23高一上·山东泰安·期中）已知，，且，则的最小值是（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【典例4-2】（24-25高一上·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·山东济南·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）若，且．则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【变式4-3】（25-26高一上·广东广州·期末）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 题型五：“1” 的代换技巧应用 【典例5-1】（25-26高一上·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一下·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式5-3】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六：基本不等式恒成立类问题 【典例6-1】（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【典例6-2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·湖南·期中）若不等式对一切都成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【变式6-3】（25-26高一上·天津·期中），，且满足，若恒成立，则的取值范围为______ 题型七：二次分式型最值求解 【典例7-1】（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 【典例7-2】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为______. 【变式7-1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为___________. 【变式7-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若对恒有，则的取值范围是_____ 【变式7-3】（22-23高一上·湖南益阳·阶段检测）已知，则函数的最小值是______． 题型八：换元法与消元法 【典例8-1】（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【典例8-2】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______． 【变式8-1】（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，且，则的最小值为________. 【变式8-2】（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________． 【变式8-3】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 题型九：条件等式求最值 【典例9-1】（25-26高一上·浙江温州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为_____________. 【典例9-2】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 【变式9-1】（25-26高一下·四川眉山·期中）已知为正数，，则的最小值为_________. 【变式9-2】（25-26高一下·上海杨浦·期中）若正实数满足，则的最大值为__________． 【变式9-3】（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 题型十：基本不等式的实际应用问题 【典例10-1】（25-26高一上·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【典例10-2】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【变式10-1】（25-26高一上·山东菏泽·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【变式10-2】（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【变式10-3】（25-26高一上·河南洛阳·期中）某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 3．（24-25高一上·重庆渝中·期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 4．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 5．（25-26高一下·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）如图所示，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/．设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·福建厦门·期末）下列结论表述正确的是（   ） A．若，则恒成立 B．若且，则恒成立 C．若，则 D．若，，则成立 8．（25-26高一上·浙江·期末）若正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高二下·河北承德·期末）已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D． 10．（多选题）（25-26高一下·湖南衡阳·期末）已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 11．（多选题）（25-26高一下·浙江衢州·期末）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 12．（25-26高一下·广东广州·期末）已知，，且，则的最小值为____________. 13．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知，，且，则的最小值为________． 14．（25-26高一上·上海·期末）某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为8m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切（如图所示），则矩形花园占地面积的最小值为______．（结果精确到） 15．（25-26高一上·天津·期末）已知，且，则的最小值为___________． 16．（25-26高一下·黑龙江绥化·期末）回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 17．（25-26高一上·贵州黔南·期末）（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 18．（25-26高一上·江苏盐城·期中）若，，且满足 (1)求的最小值； (2)求的最大值. 19．（25-26高一上·安徽·期中）已知，完成下列问题. (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $