解含参的一元二次不等式、由一元二次不等式的解求参数、二次方程根的分布问题讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

解含参的一元二次不等式、由一元二次不等式的解求参数、二次方程根的分布问题讲义 解含参的一元二次不等式、由一元二次不等式的解求参数、二次方程根的分布问题讲义 考点目录 解含参的一元二次不等式 由一元二次不等式的解求参数 二次方程根的分布问题 考点一 解含参的一元二次不等式 【知识点解析】 一、核心知识点 含参一元二次不等式的核心难点是分类讨论，参数会从三个层面影响解集：二次项系数的符号（开口方向）、判别式的符号（根的个数）、两根的大小关系。讨论必须按优先级逐层展开，避免混乱。 二、分类讨论优先级（从高到低） 1. 第一层：二次项系数的符号 决定抛物线开口方向，直接影响解集形式；系数为0时退化为一次不等式。 · 若二次项系数为负，优先两边同乘将系数化为正，同时不等号方向反转，再按正系数求解。 1. 第二层：判别式的符号 决定对应二次方程实根的个数： · ：方程无实根，抛物线与轴无交点； · ：方程有两个相等的实根（重根），抛物线与轴相切； · ：方程有两个不相等的实根，抛物线与轴交于两点。 1. 第三层：两根的大小关系 时，比较两个根的大小，确定解集区间的左右端点。 > 若不等式可直接因式分解为的形式，可跳过判别式，直接比较两根大小。 三、标准解题步骤 1. 化标准式：整理为（或）的形式； 1. 讨论二次项系数：分、、三类，先变号反转不等号； 1. 讨论判别式：根据的符号，判断根的个数，结合开口方向初步确定解集形式； 1. 讨论根的大小：时，求出两根并比较大小，结合不等号方向写出最终解集。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 例2．（26-27高一上·上海·阶段检测）（1）求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集. 例3．（26-27高三上·河南新乡·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式． 【变式训练】 变式1．（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）（1）求关于的不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）当时，求关于的不等式的解集. 变式2．（26-27高一上·江苏扬州·开学考试）已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 变式3．（26-27高一上·江西鹰潭·阶段检测）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 考点二 由一元二次不等式的解求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 一元二次不等式解集的端点值，就是对应一元二次方程的实数根；解集的整体形式，直接决定二次项系数的符号。问题本质是“解集→方程根→韦达定理求参数”的逆向转化。 二、核心对应关系（以为例） 解集形式 二次项系数符号 对应方程的根 本质 是方程的两根 大于取两边，开口向上 是方程的两根 大于取中间，开口向下 全体实数 无实根 恒成立， 空集 无实根 无解， 三、解题方法：韦达定理法 1. 定符号：由解集的形式（两边/中间），判断二次项系数的符号； 1. 定根：解集的端点值就是对应二次方程的两个实根； 1. 列方程：代入韦达定理： 1. 解参数：求解关于参数的方程（组），得到参数的值或比例关系。 若已知不等式恒成立/无解求参数，直接对应恒成立条件，无需韦达定理。 【例题分析】 例1．（26-27高一上·云南玉溪·阶段检测·多选）不等式的解集是，对于系数a，b，c下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测·多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D． 例3．（25-26高一上·云南大理·阶段检测·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·广东深圳·期中·多选）关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．的解集为 变式2．（25-26高一上·江苏南京·期中·多选）设、、为实数，已知关于的不等式的解集为，下列说法中正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若关于的不等式恰有个整数解，则 变式3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测·多选）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．有最大值 B． C．的解集为 D．的解集为 或 考点三 二次方程根的分布问题 【知识点解析】 一、核心知识点 一元二次方程根的分布，本质是通过二次函数的图像特征控制根的位置，转化为关于参数的不等式组。 控制图像的四个核心维度：① 开口方向；② 判别式（根的个数）；③ 对称轴位置；④ 区间端点的函数值符号。 以下默认且（开口向上）；时可通过乘以转化为开口向上的情况分析。 二、经典分布类型与充要条件 1. 两根都小于： 2. 两根都大于： 3. 一根小于，一根大于： 注：开口向上时，处函数值为负，图像必然穿过轴，自动满足，无需额外写判别式。 4. 两根都在区间内： 5. 有且仅有一个根在区间内 临界补充：若或，需验证另一根是否在区间外，再确定是否符合题意。 三、解题思路 1. 构函数：设对应二次函数，明确开口方向； 1. 画图像：根据根的分布要求，画出抛物线的大致位置； 1. 列不等式组：结合图像特征，列出判别式、对称轴、端点函数值的不等式； 1. 解范围：求解不等式组，验证临界端点，得到参数的取值范围。 【例题分析】 例1．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 例2．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·山东济南·开学考试）方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例5．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 变式2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 变式3．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 变式4．（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是__________. 变式5．（25-26高一上·山西运城·阶段检测）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是____________. 变式6．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解含参的一元二次不等式、由一元二次不等式的解求参数、二次方程根的分布问题讲义 解含参的一元二次不等式、由一元二次不等式的解求参数、二次方程根的分布问题讲义 考点目录 解含参的一元二次不等式 由一元二次不等式的解求参数 二次方程根的分布问题 考点一 解含参的一元二次不等式 【知识点解析】 一、核心知识点 含参一元二次不等式的核心难点是分类讨论，参数会从三个层面影响解集：二次项系数的符号（开口方向）、判别式的符号（根的个数）、两根的大小关系。讨论必须按优先级逐层展开，避免混乱。 二、分类讨论优先级（从高到低） 1. 第一层：二次项系数的符号 决定抛物线开口方向，直接影响解集形式；系数为0时退化为一次不等式。 · 若二次项系数为负，优先两边同乘将系数化为正，同时不等号方向反转，再按正系数求解。 1. 第二层：判别式的符号 决定对应二次方程实根的个数： · ：方程无实根，抛物线与轴无交点； · ：方程有两个相等的实根（重根），抛物线与轴相切； · ：方程有两个不相等的实根，抛物线与轴交于两点。 1. 第三层：两根的大小关系 时，比较两个根的大小，确定解集区间的左右端点。 > 若不等式可直接因式分解为的形式，可跳过判别式，直接比较两根大小。 三、标准解题步骤 1. 化标准式：整理为（或）的形式； 1. 讨论二次项系数：分、、三类，先变号反转不等号； 1. 讨论判别式：根据的符号，判断根的个数，结合开口方向初步确定解集形式； 1. 讨论根的大小：时，求出两根并比较大小，结合不等号方向写出最终解集。 【例题分析】 例1．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数． (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为． 【详解】（1）不等式的解集为，即恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围是． （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为，解得或． 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为． 例2．（26-27高一上·上海·阶段检测）（1）求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）根据题意，利用一元一次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （2）化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由不等式， 当时，即时，解得，所以不等式的解集为； 当时，即时，不等式即为恒成立，即不等式的解集为； 当时，即时，解得，所以不等式的解集为， 综上可得：当时，解集为；当时，解集为；当 时，解集为. （2）由不等式，可化为， 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为， 综上可得： 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 例3．（26-27高三上·河南新乡·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）当时，，解，得，解集不是空集，故舍去． 当时，要使的解集为空集，必须满足函数的图象开口向下且与轴最多有一个交点， 即，，即，解得． 综上，实数的取值范围是． （2）由题意，得，即，整理得，即． 因为，所以． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【变式训练】 变式1．（26-27高一上·湖北随州·阶段检测）（1）求关于的不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为       （2）或 （3）当时，解集为； 当时，解集为或；当时，解集为； 当时，解集为或 【分析】（1）分、、解不等式即可； （2）不等式化为，则因式全部为负或两正一负，由题可得，列出不等式求解即可； （3）当时，解一元一次不等式；当时，讨论的两根和的大小，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）不等式化为， 则因式全部为负或两正一负， 又因为，所以，所以， 所以或， 则不等式的解集为或. （3）当时，解集为； 当时，， 即，， 当，即时，解集为或； 当时，解集为； 当，即时，解集为或. 变式2．（26-27高一上·江苏扬州·开学考试）已知函数（）. (1)当时，解不等式； (2)当时，解不等式. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）代入参数，因式分解二次不等式，利用开口方向直接写出解集； （2）先因式分解找到两根，再比较两个根与的大小，分三类讨论求解集. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，所以 所以不等式的解集为； （2）方程的两个实数根是，， 当①即时，不等式的解为或； ②即时，不等式恒成立； ③即时，不等式的解为或. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 变式3．（26-27高一上·江西鹰潭·阶段检测）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 考点二 由一元二次不等式的解求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 一元二次不等式解集的端点值，就是对应一元二次方程的实数根；解集的整体形式，直接决定二次项系数的符号。问题本质是“解集→方程根→韦达定理求参数”的逆向转化。 二、核心对应关系（以为例） 解集形式 二次项系数符号 对应方程的根 本质 是方程的两根 大于取两边，开口向上 是方程的两根 大于取中间，开口向下 全体实数 无实根 恒成立， 空集 无实根 无解， 三、解题方法：韦达定理法 1. 定符号：由解集的形式（两边/中间），判断二次项系数的符号； 1. 定根：解集的端点值就是对应二次方程的两个实根； 1. 列方程：代入韦达定理： 1. 解参数：求解关于参数的方程（组），得到参数的值或比例关系。 若已知不等式恒成立/无解求参数，直接对应恒成立条件，无需韦达定理。 【例题分析】 例1．（26-27高一上·云南玉溪·阶段检测·多选）不等式的解集是，对于系数a，b，c下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项：因为不等式的解集是，所以，故选项A正确，选项B错误； C选项：因为不等式的解集是，所以和是方程的两个根，由根与系数的关系得，，解得，则，故选项C正确； D选项：因为，所以，故选项D正确. 例2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测·多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用三个二次的关系，结合韦达定理用表示，再逐项判断即得. 【详解】由不等式的解集为或， 得是方程的两个实根，且， 则，即，ACD正确； 不等式，解得，B错误. 例3．（25-26高一上·云南大理·阶段检测·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次不等式的解法逐一判断即可. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以有，显然选项A和B正确； 由，得：，解得，即解集为，所以选项C不正确； ，所以选项D错误， 故选：AB 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·广东深圳·期中·多选）关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【分析】由二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；分析可知关于的方程的两根分别为、，结合韦达定理可得出，可判断BC选项；利用二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得，所以，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，不等式即为，即， 解得，故不等式的解集为，D对. 故选：ABD. 变式2．（25-26高一上·江苏南京·期中·多选）设、、为实数，已知关于的不等式的解集为，下列说法中正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若关于的不等式恰有个整数解，则 【答案】ACD 【分析】利用一元二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；利用韦达定理得出，代值计算可判断B选项；利用一元二次不等式的解法可判断C选项；将不等式变形为，确定该不等式的整数解，可得出关于的不等式，解之可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，所以，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，所以， 所以，B错； 对于C选项，不等式即为，即， 解得或，故原不等式的解集为，C对； 对于D选项，不等式即为， 即为， 设，则该函数的对称轴方程为， 因为关于的不等式恰有个整数解，则这三个整数解为、、， 故，解得，故实数的取值范围是，D对. 故选：ACD. 变式3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测·多选）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．有最大值 B． C．的解集为 D．的解集为 或 【答案】ABD 【分析】由题意分析出二次函数中的，即可判断A；由题意分析出一元二次方程的两根为-1和3，由韦达定理得到，将其分别代入B，C，D选项中的不等式，再结合化简或求解不等式，即可判断B，C，D. 【详解】由题意可知二次函数的图象开口向下，即， 所以二次函数有最大值，故A正确； 由题意可知一元二次方程的两根为-1和3， 所以由韦达定理可得，即. 将上式代入可得， 因为，所以，即，故B正确； 将代入可得，即， 因为，解得，所以的解集为，故C错误； 将代入可得， 因为，所以上式可化为， 即，即， 解得（舍）或，解得或， 所以的解集为或，故D正确. 故选：ABD 考点三 二次方程根的分布问题 【知识点解析】 一、核心知识点 一元二次方程根的分布，本质是通过二次函数的图像特征控制根的位置，转化为关于参数的不等式组。 控制图像的四个核心维度：① 开口方向；② 判别式（根的个数）；③ 对称轴位置；④ 区间端点的函数值符号。 以下默认且（开口向上）；时可通过乘以转化为开口向上的情况分析。 二、经典分布类型与充要条件 1. 两根都小于： 2. 两根都大于： 3. 一根小于，一根大于： 注：开口向上时，处函数值为负，图像必然穿过轴，自动满足，无需额外写判别式。 4. 两根都在区间内： 5. 有且仅有一个根在区间内 临界补充：若或，需验证另一根是否在区间外，再确定是否符合题意。 三、解题思路 1. 构函数：设对应二次函数，明确开口方向； 1. 画图像：根据根的分布要求，画出抛物线的大致位置； 1. 列不等式组：结合图像特征，列出判别式、对称轴、端点函数值的不等式； 1. 解范围：求解不等式组，验证临界端点，得到参数的取值范围。 【例题分析】 例1．（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． 例2．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 例3．（25-26高一上·山东济南·开学考试）方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据韦达定理以及二次方程判别式求出充要条件，再结合选项逐一判断. 【详解】若方程有一个正根和一个负根， 则，，，得， 则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误； 是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误； 是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确； 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误. 故选：C 例4．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设方程对应的二次函数为，根据判别式，对称轴，列出不等式组，求解即可． 【详解】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：． 故选：A． 例5．（25-26高一上·福建漳州·阶段检测）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 变式2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 变式3．（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 变式4．（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据二次方程根的情况，分类讨论即可. 【详解】因为方程只有正实根， 所以①当两个正实根相等时， 有，所以或, 当时，两个相等的正根为，当时，方程的根均为零，舍； ②当两个正实根不相等时， 设方程的两根为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 变式5．（25-26高一上·山西运城·阶段检测）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 变式6．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数的取值范围________． 【答案】 【分析】由二次函数性质及结合的零点一个零点大于1，另一个零点小于1，可得 【详解】因为函数的一个零点大于1，另一个零点小于1， 所以有两个根，则，解得， 故的取值范围为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $