第04讲充分条件和必要条件讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第04讲 充分条件和必要条件 模块一 充分条件、必要条件概念理解（重点） 1 课后作业 附解析 7 模块三 两种判断充分、必要条件的常用方法 4 模块二 充要条件（重要） 3 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第04讲 充分条件和必要条件 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 理解核心概念：准确理解充分条件、必要条件、充要条件的概念。 1. 掌握判定方法：能利用定义法（判断“若 则 ”及其逆命题的真假）和集合法（判断条件与结论对应集合的包含关系）准确判定条件关系。 模块一 充分条件和必要条件 知 识 点 睛 充分条件与必要条件 定义：一般地，若“若 ，则 ”为真命题（即 ），则称 是 的充分条件， 是 的必要条件。 大白话理解： · 充分条件：“有它就行”。只要 成立，就一定能保证 成立。（例如：“开学”是“去学校”的充分条件） · 必要条件：“没它不行”。如果 成立，那么 必须已经成立；如果 不成立， 肯定不成立。（例如：“去学校”是“开学”的必要条件） 核心关键：判断谁是谁的条件，只看箭头的方向！若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件。 热 点 题 型 归 纳 1.判断命题真假 【例1】 设p：关于x的方程有两个不相等的实数根，q：关于x的方程无实数根. （1）若p为真，求m的取值范围； （2）若p为假且q为真，求m的取值范围. 【练习1】命题：，命题：.当为真，且为真，求实数x的取值范围； 【例2】 （单选）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【例3】 （多选）下面命题正确的是（ ） A. “”的必要不充分条件是“” B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【练习2】 （单选） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【练习3】 （单选）已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 模块二 充要条件 知 识 点 睛 充要条件 定义：如果既有 ，又有 （记作 ），则称 是 的充分必要条件， 简称充要条件。 热 点 题 型 归 纳 【例4】 （多选）设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（ ） A. B. C. D. 【练习4】 （多选）下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 模块三 四种关系的判断 知 识 点 睛 1. 四种条件关系的判定结论 · 若 且 ，则 是 的充分不必要条件。 · 若 且 ，则 是 的必要不充分条件。 · 若 且 ，则 是 的充要条件。 · 若 且 ，则 是 的既不充分也不必要条件。 2. 判断条件关系的两大法宝 · 法宝一：定义法（双向推导） · 第一步：明确谁是条件 ，谁是结论 。 · 第二步：尝试 （判断充分性）。 · 第三步：尝试 （判断必要性）。 · 第四步：综合得出结论。 · 法宝二：集合法（范围大小） · 设条件 对应集合 ，条件 对应集合 。 · 若 ，则 是 的充分条件（小范围推大范围）。 · 若 ，则 是 的必要条件（大范围推小范围）。 · 若 ，则 是 的充要条件。 3. 与数学定理的联系 · 判定定理给出的是相应结论成立的充分条件。（例如：对角线互相平分的四边形是平行四边形。“对角线互相平分”是“平行四边形”的充分条件） · 性质定理给出的是相应结论成立的必要条件。（例如：平行四边形的对角线互相平分。“对角线互相平分”是“平行四边形”的必要条件） 【小练一下】 概念辨析：判断 是 的什么条件 1. : ， : 1. : 两个三角形全等， : 两个三角形面积相等 1. : ， : 1. : 四边形的对角线互相垂直且平分， : 四边形是菱形 1. 已知 : ， : 。 热 点 题 型 归 纳 【例5】 （单选）设，，则“”是“”的（ ）（定义法） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【例6】 已知集合，，设，若 是 的必要不充分条件，求实数的取值范围．（集合法） 【练习5】 （单选）设，不等式的一个充分不必要条件是（ ）（集合法） A B. C. D. 【练习6】 （单选）命题“对任意，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【练习7】 设全集为实数集，集合，.若命题，命题，且p是q充分且不必要条件，求实数a的取值范围. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 对于实数 ，“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. “ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题中， 是 的必要条件的是（ ）（多选题） A. 若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 二、 填空题（精准识记，集合法应用） 1. 用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空： ① “四边形是正方形”是“四边形是矩形”的 ____________ 条件； ② “ 是偶数”是“ 和 都是偶数”的 ____________ 条件； ③ “ ”是“ ”的 ____________ 条件。 1. 已知集合 ， ，则“ ”是“ ”的 ____________ 条件。 1. 若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 判断下列各题中 是 的什么条件，并说明理由： （1） : ， : ； （2） : 四边形的对角线互相垂直， : 四边形是菱形。 1. 已知集合 ，集合 。若“ ”是“ ”的必要条件，求实数 的取值范围。 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $ 彪哥数学训练营 领先高考培优课程 高一数学新课讲义 打基础，精选题，不超前 必修一 24 目标双一流 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 Contents 目录 第04讲 充分条件和必要条件 模块一 充分条件、必要条件概念理解（重点） 1 课后作业 附解析 10 模块三 两种判断充分、必要条件的常用方法 6 模块二 充要条件（重要） 4 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 第04讲 充分条件和必要条件 课堂思维碰撞 本 课 目 标 1. 理解核心概念：准确理解充分条件、必要条件、充要条件的概念。 1. 掌握判定方法：能利用定义法（判断“若 则 ”及其逆命题的真假）和集合法（判断条件与结论对应集合的包含关系）准确判定条件关系。 模块一 充分条件和必要条件 知 识 点 睛 充分条件与必要条件 定义：一般地，若“若 ，则 ”为真命题（即 ），则称 是 的充分条件， 是 的必要条件。 大白话理解： · 充分条件：“有它就行”。只要 成立，就一定能保证 成立。（例如：“开学”是“去学校”的充分条件） · 必要条件：“没它不行”。如果 成立，那么 必须已经成立；如果 不成立， 肯定不成立。（例如：“去学校”是“开学”的必要条件） 核心关键：判断谁是谁的条件，只看箭头的方向！若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件。 热 点 题 型 归 纳 1.判断命题真假 【例1】 设p：关于x的方程有两个不相等的实数根，q：关于x的方程无实数根. （1）若p为真，求m的取值范围； （2）若p为假且q为真，求m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】（1）由题意若p为真，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，即或， 所以m的取值范围为或 . （2）由题意若q为真，则关于x方程无实数根， 所以，即， 因为p为假且q为真，故，即， 综上所述，m的取值范围为. 【练习1】命题：，命题：.当为真，且为真，求实数x的取值范围； 【答案】(2,3) 【解析】当，同时为真，有，解得，∴实数x的取值范围(2,3)． 【例2】 （单选）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【例3】 （多选）下面命题正确的是（ ） A. “”的必要不充分条件是“” B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】对A：因为，但或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对B：当时，满足，但此时不成立，所以命题“若，则”的是假命题，故B错误； 对C：当“且”时，“”成立；但当“”时，比如“”，此时“且”不成立.所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对D：当“但”时，可得“”；当“”时，可得“且”.所以“”是“”的必要不充分条件.故D正确. 故选：AD 【练习2】 （单选） “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】“”“且，所以“”是“”的充分不必要条件， 故选:A. 【练习3】 （单选）已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】取，，则，此时，但；所以p不是q的充分条件． 若，根据绝对值的性质，，显然成立因此，即p是q的必要条件． 综上，p是q的必要不充分条件．故选：B 模块二 充要条件 知 识 点 睛 充要条件 定义：如果既有，又有（记作），则称是的充分必要条件，简称充要条件。 热 点 题 型 归 纳 【例4】 （多选）设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】如图Venn图所示， 选项A中，若，则；反过来，若，则.故互为充要条件. 选项C中，若，则；反过来，若，则.故互充要条件. 选项D中，若，则=，故；反过来，若，则=，故.故互为充要条件. 选项B中，如下Venn图， 若，则，推不出.故错误. 故选：ACD. ‘ 【练习4】 （多选）下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【解析】A选项，不妨令，满足，但，故A错误； B选项，当时，，满足只有1个元素，B错误； C选项，一元二次方程有一正一负根， 则，即，C正确； D选项，，故，故，D正确. 故选：CD 模块三 四种关系的判断 知 识 点 睛 1. 四种条件关系的判定结论 · 若 且 ，则 是 的充分不必要条件。 · 若 且 ，则 是 的必要不充分条件。 · 若 且 ，则 是 的充要条件。 · 若 且 ，则 是 的既不充分也不必要条件。 2. 判断条件关系的两大法宝 · 法宝一：定义法（双向推导） · 第一步：明确谁是条件 ，谁是结论 。 · 第二步：尝试 （判断充分性）。 · 第三步：尝试 （判断必要性）。 · 第四步：综合得出结论。 · 法宝二：集合法（范围大小） · 设条件 对应集合 ，条件 对应集合 。 · 若 ，则 是 的充分条件（小范围推大范围）。 · 若 ，则 是 的必要条件（大范围推小范围）。 · 若 ，则 是 的充要条件。 3. 与数学定理的联系 · 判定定理给出的是相应结论成立的充分条件。（例如：对角线互相平分的四边形是平行四边形。“对角线互相平分”是“平行四边形”的充分条件） · 性质定理给出的是相应结论成立的必要条件。（例如：平行四边形的对角线互相平分。“对角线互相平分”是“平行四边形”的必要条件） 【小练一下】 概念辨析：判断 是 的什么条件 1. : ， : 1. : 两个三角形全等， : 两个三角形面积相等 1. : ， : 1. : 四边形的对角线互相垂直且平分， : 四边形是菱形 1. 已知 : ， : 。 【答案】充分不必要条件，充分不必要条件，既不充分也不必要条件，充要条件,充分不必要条件 【解析】 1.充分不必要条件.解析:（真）,但（假,因为还可以等于）; 2.充分不必要条件.解析:全等必定面积相等，但面积相等不一定全等（形状可以不同）; 3.既不充分也不必要条件.解析: 时, 但 （不充分）; 时, 但（不必要）; 4.充要条件.解析:对角线互相垂直且平分是菱形的判定定理，也是性质定理，两者等价; 5. 充分不必要条件.解析:设 对应集合 对应集合,显然 （小范围）,所以 是 的充分不必要条件; 热 点 题 型 归 纳 【例5】 （单选）设，，则“”是“”的（ ）（定义法） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若满足，但是不满足，所以“”是“”的不充分条件； 若，则当时，因为，所以，当， ，所以， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 【例6】 已知集合，，设，若 是 的必要不充分条件，求实数的取值范围．（集合法） 【答案】 【解析】若， 是 的必要不充分条件，A真包含于B， 则或，解得，故m的取值范围为. 【练习5】 （单选）设，不等式的一个充分不必要条件是（ ）（集合法） A B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以，解得， 由充分不必要条件的定义可知，只有D选项符合. 故选：D. 【练习6】 （单选）命题“对任意，”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为对任意“”为真命题， 则对任意“”， ∵当， ∴， 因为选项是的充分不必要条件， 所以选项对应的集合是集合的真子集， 则命题“对任意”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 【练习7】 设全集为实数集，集合，.若命题，命题，且p是q充分且不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】 【解析】必为非空集合， 因为p是q的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集， 所以（等号不同时成立），解得. 课后作业 一、 选择题（概念辨析，夯实基础） 1. 对于实数 ，“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. “ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设集合 ， ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列命题中， 是 的必要条件的是（ ）（多选题） A. 若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 二、 填空题（精准识记，集合法应用） 1. 用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空： ① “四边形是正方形”是“四边形是矩形”的 ____________ 条件； ② “ 是偶数”是“ 和 都是偶数”的 ____________ 条件； ③ “ ”是“ ”的 ____________ 条件。 1. 已知集合 ， ，则“ ”是“ ”的 ____________ 条件。 1. 若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ____________。 三、 解答题（逻辑推理，综合应用） 1. 判断下列各题中 是 的什么条件，并说明理由： （1） : ， : ； （2） : 四边形的对角线互相垂直， : 四边形是菱形。 1. 已知集合 ，集合 。若“ ”是“ ”的必要条件，求实数 的取值范围。 【作业解析】 一、 选择题 1. 【答案】A。解析：设 对应集合 ， 对应集合 。显然 （小范围推大范围），所以 是 的充分不必要条件。 2. 【答案】A。解析：当 时， 成立（充分）；但当 时， ，推不出 （不必要）。故选 A。 3. 【答案】A。解析：解方程 得 或 ，故 。因为 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件。 4. 【答案】BCD。解析：题目要求找必要条件，即找 成立的选项。A选项中，三角形全等必定相似（ ）是充分条件，不成立B、x>10可以推出x>5,（q=>p）是必要条件C、a=b可以得出ac=bc，符合必要性，当c=0时，a不一定等于b，所以成立D 选项中x=y可以得出 ，反之不行，符合必要性。 二、 填空题 5. 【答案】 ① 充分不必要； ② 必要不充分； ③ 充分不必要。 解析：① 正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形；② 为偶数时， 可以都为奇数，推不出都是偶数，但都是偶数必定推出和为偶数；③ ，反之 还可以等于 。 6. 【答案】既不充分也不必要。解析：集合 ， 。在数轴上观察可知， 不包含于 ，且 也不包含于 ，两者互推不出。 7. 【答案】 。解析：设 ， 。因为 是 的充分不必要条件，所以 。在数轴上，要使 的范围完全落在 的范围内，必须有 。当a=2时，P是Q的充要条件，所以不可以取等号。 三、 解答题 8. 【解析】 （1）充分不必要条件。 理由：若 ，因为平方数非负，所以必有 且 ，从而 成立（即 ）。 反之，若 ，例如 ，此时 ，推不出 （即 ）。 （2）必要不充分条件。 理由：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（例如筝形），所以 ； 菱形的对角线不仅互相垂直，所以 。 9. 【解析】 解方程 得 或 ，所以集合 。 因为“ ”是“ ”的必要条件，根据集合法可知，集合 是集合 的子集，即 。 解方程 ，因式分解得 。 所以集合 中必定含有元素 ，即 或 。 要满足 ，即 ，则 中必须含有元素 。 因此， ，解得 。 当 时， ，此时 ，符合必要性，此时两个条件相等互为充要条件！ 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $