1.4.2充要条件讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2 充要条件讲义 目录 教学目标 1 知识点 1 知识点1 充要条件的定义 1 知识点2 四类条件完整汇总 1 知识点3 充要条件的证明步骤 2 知识点4 解题通用步骤 2 随学随练 2 典型题型 2 题型1：四类条件综合辨析 2 题型2：文字命题下充要条件判断 3 题型3：充要条件的简单证明 3 题型4：结合集合判断充要关系 4 题型5：寻找命题的各类条件 4 题型6：利用充要、充分必要关系求参数 5 课后练习 5 答案与详细解析 7 本章复习小结 9 教学目标 课标要点 · 巩固充分条件、必要条件概念，深入理解充要条件的含义； · 能够准确辨析充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要四类条件； · 理解充要条件的两种叙述方式：“当且仅当”、“等价于”； · 会证明简单命题的充要条件，分清必要性与充分性的证明方向； · 利用集合的包含关系分析充要关系，全部范围使用集合描述，不使用区间； · 会根据充要条件、充分/必要关系求解简单参数问题； · 会寻找一个命题的充要、充分不必要、必要不充分条件。 重难点 重点：充要条件概念；四类条件综合辨析；充要条件的证明。 难点：充要证明分清充分性、必要性；由充要关系求参数；文字型命题条件判断。 知识点 知识点1 充要条件的定义 对于“若，则”形式命题： · 如果，那么是的充分条件，是的必要条件； · 如果既有，又有，记作，称是的充分必要条件，简称充要条件。 > 语言叙述： > 读作“等价于”，也叙述为：成立当且仅当成立。 知识点2 四类条件完整汇总 设条件对应集合，条件对应集合。 1. 充分不必要条件：，，； 1. 必要不充分条件：，，； 1. 充要条件：，； 1. 既不充分也不必要条件：，，集合互不包含。 知识点3 充要条件的证明步骤 要证明“是的充要条件”，需要分两步： 1. 充分性：证明 （由条件推结论）； 1. 必要性：证明 （由结论推条件）。 > 注意：两步不能搞反，只证单向不能说明是充要条件。 知识点4 解题通用步骤 1. 分清谁是条件，谁是结论； 1. 判断是否成立；判断是否成立； 1. 根据推出关系判定属于哪一类条件； 1. 参数问题转化集合关系，结果写成集合形式，本讲义不使用区间。 随学随练 1. 若并且，则是的______条件。 1. “”是“”的______条件。 1. 若对应集合，对应集合，则是的________条件。 1. 证明充要条件需要证明________和________两个方向。 典型题型 题型1：四类条件综合辨析 解题贴士：分别检验与，双向都成立才是充要；举反例可以证明推不出。 例1（24‑25高一·广州月考）判断：“”是“”是什么条件。 解析： ：；：。 成立：一定得到。 成立：取，，但是不成立。 故“”是“”的充分不必要条件。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·石家庄期中）判断“”是“”是什么条件。 1. （24‑25高一·南京阶段检测）判断“是偶数”是“能被4整除”是什么条件。 1. （24‑25高一·武汉月考）判断“”是“”是什么条件。 1. （25‑26高一·济南月考）判断“”是“”是什么条件。 1. （25‑26高一·长沙月考）判断“两个三角形全等”是“两个三角形周长相等”是什么条件。 题型2：文字命题下充要条件判断 解题贴士：读懂文字命题，分清条件和结论；举出反例否定推出关系。 例2（24‑25高一·天津月考）判断：“一个四边形是矩形”是“四边形四个角相等”的什么条件。 解析： ：四边形是矩形；：四边形四个角相等。 矩形四个角都是直角，所以成立； 四个角相等的四边形，每个角为直角，一定是矩形，成立。 双向可推，故是充要条件。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·沈阳期中）判断“一个数能被6整除”是“这个数能被2整除”是什么条件。 1. （24‑25高一·福州期中）判断“四边形是平行四边形”是“四边形两组对边分别相等”什么条件。 1. （24‑25高一·成都阶段检测）判断“”是“”是什么条件。 1. （25‑26高一·哈尔滨阶段）判断“是有理数”是“是实数”是什么条件。 1. （25‑26高一·太原月考）判断“三角形三边相等”是“三角形三个内角相等”什么条件。 题型3：充要条件的简单证明 解题贴士：分充分性、必要性两步；充分性：条件推结论；必要性：结论推条件，两步不可颠倒。 例3（24‑25高一·郑州期中）证明：当时，的充要条件是。 解析： 证明： ①充分性：若，代入得，命题成立，即。 ②必要性：若，解方程得到，即。 既有充分性又有必要性，故的充要条件是。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·南宁月考）证明：的充要条件是。 1. （24‑25高一·呼和浩特期中）证明：的一个必要不充分条件是。 1. （24‑25高一·贵阳月考）证明：的充要条件是。 1. （25‑26高一·重庆阶段）证明：是的充要条件。 1. （25‑26高一·福州阶段）证明：的一个充分不必要条件是。 题型4：结合集合判断充要关系 解题贴士：条件对应集合，条件对应集合；集合相等则为充要；真子集对应充分或者不必要；互不对应则既不充分也不必要。 例4（24‑25高一·济南联考）已知条件对应集合，条件对应集合，判断是的什么条件。 解析： ，，，故，是的充要条件。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·合肥月考）对应集合，对应集合，判断是什么条件。 1. （24‑25高一·石家庄期中）对应集合，对应集合，判断是什么条件。 1. （24‑25高一·长沙期中）对应集合，对应集合，判断是什么条件。 1. （25‑26高一·哈尔滨月考）对应集合，对应集合，判断是什么条件。 1. （25‑26高一·成都月考）对应集合，对应集合，判断是什么条件。 题型5：寻找命题的各类条件 解题贴士：充要条件要求等价；充分不必要：条件集合是结论集合真子集；必要不充分：结论集合是条件集合真子集；答案一般不唯一，写出一个符合题意即可。 例5（24‑25高一·天津联考）写出“”的一个充要条件，一个充分不必要条件。 解析： 充要条件：（与原命题等价）； 充分不必要条件：； > 注：答案不唯一，满足逻辑关系即可。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·广州期中）写出“”的一个充要条件。 1. （24‑25高一·南京月考）写出“”的一个充分不必要条件。 1. （24‑25高一·武汉联考）写出“”的一个必要不充分条件。 1. （25‑26高一·济南阶段）写出“”的一个既不充分也不必要条件。 1. （25‑26高一·长沙期中）写出“是正偶数”的一个充分不必要条件。 题型6：利用充要、充分必要关系求参数 解题贴士：翻译条件为集合；利用子集、真子集、集合相等建立关系，最后参数结果写成集合形式。 例6（24‑25高一·太原期中）已知对应集合；对应集合；是的充要条件，求的取值集合。 解析： 是充要条件，则，即，得到。 取值集合：。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一·贵阳月考）已知：，：；是充要条件，求的取值集合。 1. （24‑25高一·西安联考）：，：；是充分不必要条件，求取值集合。 1. （24‑25高一·重庆月考）：；：；若是必要不充分条件，求取值集合。 1. （25‑26高一·南宁阶段）条件：；：；若是充要条件，求取值集合。 1. （25‑26高一·福州月考）：；：，若是充分不必要条件，求取值集合。 课后练习 1. 判断“”是“”是什么条件。 1. 判断“两个三角形三边对应相等”是“两个三角形全等”是什么条件。 1. 判断：“”是“”是什么条件。 1. 证明：的充要条件是。 1. 对应集合，对应集合，判断是什么条件。 1. 写出“”的一个充要条件、一个必要不充分条件。 1. 已知对应集合，对应集合，是充分不必要条件，求的取值集合。 1. 已知：，：，是充要条件，求的取值集合。 答案与详细解析 随学随练解析 1. 充要； 1. 充要； 1. 必要不充分； 1. 充分性；必要性。 题型1解析 对点练 1. 充分不必要；；方程解或，不能反推。 1. 必要不充分；能被4整除一定是偶数；偶数不一定被4整除，如。 1. 充要；。 1. 充分不必要；；可以，不能反推。 1. 充分不必要；全等则周长相等；周长相等不一定全等。 题型2解析 对点练 1. 充分不必要；被6整除一定被2整除；被2整除不一定被6整除。 1. 充要；平行四边形等价于两组对边分别相等。 1. 充分不必要；；可以。 1. 充分不必要；有理数一定是实数；实数不一定是有理数。 1. 充要；三角形三边相等等价于三个内角相等。 题型3解析 对点练 1. 证明： 充分性：若，成立； 必要性：若，解得；双向成立，充要条件得证。 1. 证明： 充分性：若，有，即； 必要性：若，得到或者，不能推出； 故是方程的必要不充分条件。 1. 证明： 充分性：若，则； 必要性：若，移项得；双向成立，充要条件得证。 1. 证明： 充分性：，成立； 必要性：，，；双向成立，充要条件得证。 1. 证明： 充分性：成立； 必要性：，可以，不能推出； 故是充分不必要条件。 题型4解析 对点练 1. ，，；充分不必要条件。 1. ；充分不必要条件。 1. ，；，充要条件。 1. ；必要不充分条件。 1. 集合互不包含；既不充分也不必要条件。 题型5解析 对点练 1. 示例：（答案不唯一，等价命题即可）。 1. 示例：（答案不唯一，集合是真子集）。 1. 示例：（答案不唯一，满足该集合）。 1. 示例：（答案不唯一）。 1. 示例：（答案不唯一，集合是正偶数集合真子集）。 题型6解析 对点练 1. 充要条件，则集合相等，。 1. 充分不必要，，。 1. 是必要不充分，则，。 1. 与充要条件，集合相等，。 1. 是充分不必要，则，。 课后练习解析 1. 充分不必要；；解为，不能反推。 1. 充要条件；三边对应相等等价于三角形全等。 1. 必要不充分；；可以，推不出。 1. 证明： 充分性：，成立； 必要性：解得；双向成立，充要条件得证。 1. ，，集合相等，充要条件。 1. 示例：充要条件：；必要不充分条件：；答案不唯一。 1. 。 1. 是充要条件，集合相等，。 本章复习小结 · 为充要条件，读作当且仅当，等价于；必须双向推出。 · 四类条件：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要，可以对应集合的包含、相等、互不包含。 · 证明充要条件分两步：充分性（条件推结论），必要性（结论推条件），两步不能颠倒，只证单向不是充要。 · 文字类命题，读懂题意，举反例判断“推不出”。 · 寻找充分、必要、充要条件，答案常常不唯一，只要逻辑关系成立即可。 · 参数问题转化集合关系，本讲义全部结果使用集合，不使用区间。 · 做题第一步分清谁是条件，谁是结论，再检验两个方向的推出关系。 学科网（北京）股份有限公司 $