第04讲 不等式性质与基本不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦不等式性质与基本不等式核心知识，从等式性质对比切入不等式性质，系统梳理对称性、传递性等8条性质，衔接重要不等式（全域适用）与基本不等式（正数限定，一正二定三相等）及其变形，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以7个易错辨析（如乘负变号、等号条件遗漏）规避认知误区，8类典例（如“1”的妙用、仓储费用优化）强化应用，通过对比辨析培养数学思维（推理能力），结合实际问题发展数学语言（模型意识）。课中辅助教师突破重难点，课后分层作业助力学生查漏补缺，提升学习效果。

第04讲 不等式性质与基本不等式 （核心知识+7易错辨析+8典例精讲+课后作业） 【题型一】作差法比较代数式的大小 【题型五】条件等式求最值 【题型二】由不等式的性质比较数式大小 【题型六】基本不等式的恒成立问题 【题型三】由不等式的性质证明不等式 【题型七】基本不等式“1”的妙用求最值 【题型四】基本不等式求积的最大值与求和的最小值 【题型八】基本不等式的实际应用 【知识点01】等式的基本性质 设，若，则满足以下恒等性质： 性质1（对称性）： 性质2（传递性）： 性质3（可加性）： 性质4（可乘性）： 性质5（可除性）： 【知识点02】不等式基本性质 性质1（对称性）： 性质2（传递性）： 性质3（可加性）： 性质4（可乘性）：；（乘负变号） 性质5（同向可加）： 性质6（同向可乘）： 性质7（乘方性）： 性质8（开方性）： 【知识点03】重要不等式（全域成立） 对任意实数，恒有： 等号成立条件：当且仅当时取等。 【知识点04】基本不等式（均值不等式，重难点） 适用前提：（一正） 核心公式： 文字释义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 等号条件：当且仅当时取等（三相等）。 【知识点05】基本不等式核心结论与变形 （1）积定和最小：若（定值，），则 （2）和定积最大：若（定值，），则 （3）常用变式：， 易错点1：等式与不等式性质混淆 误区：不等式两边同乘负数，不等号方向不变（照搬等式性质） 正解：等式运算恒等价；不等式乘负、除负必须变号，是与等式性质的核心区别。 易错点2：不等式运算范围滥用 误区：异向不等式可相加、任意不等式可相乘 正解：仅同向不等式可加，仅同向正数不等式可乘，异向不等式无直接运算性质。 易错点3：取倒数结论乱用 误区：恒成立 正解：仅同号正数满足取倒数变号；异号两数不成立（例：）。 易错点4：基本不等式定义域记错 误区：对全体实数成立 正解：基本不等式仅适用于正数，负数需先变形提负号再求解；重要不等式对全体实数成立。 易错点5：忽略“定值”条件强行求最值 误区：任意两个正数均可套用基本不等式求最值 正解：必须满足和为定值或积为定值，无定值需配凑变形，否则无法求最值。 易错点6：遗漏等号成立条件（高频扣分） 误区：公式套用即得最值，不验证是否在定义域内 正解：等号取不到时，基本不等式失效，需用函数单调性求解最值。 易错点7：乘方开方性质乱用 误区：任意，都有 正解：乘方开方性质仅对正数成立，负数不成立（例：）。 【题型一】作差法比较代数式的大小 【典例1-1】（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 【变式1-1】（25-26高一上·天津河北·阶段检测），，，则有P____Q（请填“<”、“=”、“>”、“≥”、“≤”） 【答案】 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】因为 ，当且仅当时，等号成立. 所以 故答案为： 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·福建福州·期中）已知，且，则下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法比较大小判断ABD，举反例判断C. 【详解】对于A，，正确； 对于B，， 所以，正确； 对于C，满足，且，此时，错误； 对于D，，当且仅当时等号成立， 又，故不同时为0，所以， 即成立，所以成立，正确. 故选：ABD 【变式1-3】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）设为不等的实数，比较与的大小. 【答案】 【分析】通过作差法比大小，把作差后的式子化简为可以判断正负的式子即可判断两式子的大小. 【详解】两式作差可得： 为不等的实数， ， 综上所述： 【题型二】由不等式的性质比较数式大小 【典例2-1】（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质判断得解. 【详解】依题意，，因此，所以. 故选：D 【变式2-1】（25-26高一上·广东广州·期中）已知，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】已知，所以，所以，所以，A错误； 已知，所以，所以，B错误； 已知，所以，因为，所以，C错误； 已知，所以，因为，所以，D正确. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）若．则比大小 _____（填“>”或“<”或“=”） 【答案】 【分析】由题意计算可得、，结合不等式性质即可得解. 【详解】， ， 由，故. 故答案为：. 【变式2-3】．（25-26高一上·河南新乡·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以，所以，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以， 又，所以，所以C正确； 对于D，因为，所以，所以， 所以，所以，所以D正确. 故选：BCD. 【题型三】由不等式的性质证明不等式 【典例3-1】（24-25高一上·河南周口·开学考试）已知，．求证：． 【答案】 因为，所以， 因为，所以， 即， 即 【分析】利用不等式的性质求证即可. 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由，，和，，证明即可. 【详解】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）利用不等式的性质推理即得. 【详解】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 【题型四】基本不等式求积的最大值与求和的最小值 【典例4-1】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当等号成立. 故选：A. 【典例4-2】（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 【典例4-3】（25-26高一上·广东·阶段检测）正数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1)4(2)12 【分析】（1）利用基本不等式进行求解即可； （2）利用配方法，结合（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）因为正数，满足， 所以可得， 即，当且仅当，时等号成立. 故的最大值为4. （2）， 当且仅当，时等号成立. 故的最小值为12. 【变式4-1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】因为， 根据基本不等式，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式4-2】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若，则的最大值是__________. 【答案】3 【分析】根据基本不等式和为定值求解最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是3. 故答案为：3. 【变式4-3】（25-26高一上·新疆喀什·期中）（1）设，，且，求的最大值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）81；（2）7. 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式求出积的最大值. （2）根据给定条件，利用配凑法，结合基本不等式求出和的最小值. 【详解】（1）由，，，得，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值81. （2）由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值7. 【题型五】条件等式求最值 【典例5-1】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）若x，y满足，则正确的有（   ） ①，②，③，④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据基本不等式计算可判断①、②、③；取特值举出反例可判断④. 【详解】因为， 则可变形为， 即有，解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，故①错误，②正确； 可变形为， 整理得，当且仅当时，等号成立，故③正确； 当，时，，符合题意， 此时有，故④错误. 故正确的有②③. 【变式5-1】（25-26高一上·北京朝阳·阶段检测）已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 【答案】 / 【分析】直接根据基本不等式得，进而得即可得的最大值；再根据得，进而得的最大值. 【详解】由为正实数且满足， 故根据基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是； 因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当且仅当时等号成立， 所以的最大值为 故答案为：； 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·河北张家口·期末）已知，为正实数，且，则（   ） A． B． C．的最小值为6 D．的最小值为8 【答案】ABD 【分析】A.由 ，得，根据，为正实数判断；B. 由 ，得，根据，为正实数判断；CD. 根据 ，利用“1”的代换判断； 【详解】A.由 ，得，因为，所以，解得，又，所以，故正确； B. 由 ，得，因为，所以，因为，解得，故正确； C. 因为 ，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 联立，解得时，等号成立，故错误；故D正确； 故选：ABD 【变式5-3】已知，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)64 (2) 【分析】（1）利用基本不等式构建不等式，即可得出的最小值； （2）由题可知，恒成立，则，利用“乘1法”和基本不等式即可得出的最小值，从而求得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，，， 则，得， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值为64； （2）因为恒成立，则， ， 当且仅当即时等号成立，即的最小值为18， 所以实数的取值范围:. 【题型六】基本不等式的恒成立问题 【典例6-1】（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，结合不等式恒成立问题的解法即可得解. 【详解】因为， ， 当且仅当，即时取等号， 又不等式恒成立，所以，即， 所以实数的最大值6，没有最小值，故B正确. 故选：B. 【变式6-1】（2025高一上·河南安阳·专题练习）设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 【答案】 【分析】恒成立，等价于恒成立，又，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，，， 则恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需 ，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式6-2】（多选）（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】先利用基本不等式求出的最大值，再根据恒成立思想得到参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． 【变式6-3】（1）已知，，若不等式恒成立，求m的最大值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）分离变量，利用基本不等式求解； （2）当时，不等式显然成立；当时，分离变量，利用基本不等式求解. 【详解】（1）因为，，则， 而， 当且仅当，即时取等号， 依题意，不等式恒成立，于是， 所以m的最大值为12； （2）当时，不等式化为，显然成立； 当时，, 又因为，（当且仅当“”时等号成立） 所以，即， 即实数b的取值范围为. 【题型七】基本不等式“1”的妙用求最值 【典例7-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据“1”的变换，转化为，展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】，且， 则， 当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 【变式7-1】（2024高一下·四川宜宾·竞赛）已知，则的最大值为___________. 【答案】 【分析】由题意，所求式子经过变形后，再用基本不等式即可求解. 【详解】因为 所以 当且仅当，且，即时等号成立. 所以 所以 故答案为： 【变式7-2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)9.(2). 【分析】（1）根据基本不等式求积的最大值即可； （2）根据基本不等式中“1”的代换计算即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为9. （2）因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【变式7-3】（25-26高一上·湖南长沙·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； 【答案】(1)5；(2)18. 【分析】（1）应用凑配法及基本不等式求最小值，注意等号成立条件； （2）应用“1”的代换，再应用基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由，， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为5； （2）由题设， 当且仅当，即时取等号，则的最小值为18. 【题型八】基本不等式的实际应用 【典例8-1】（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 【变式8-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 【变式8-2】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 【变式8-3】（25-26高一上·湖北十堰·期中）设矩形的周长为48cm，把三角形沿折叠，折叠后与交于点E． (1)设，用x表示三角形面积，并写出x的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相应x的值； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，由勾股定理得，，即可求解三角形BCE面积，由求解x的取值范围； （2）根据题意结合基本不等式求最值，并注意等号成立的条件． 【详解】（1），则．    设，则， 由勾股定理得， 可得， 三角形BCE面积， 由，得． 所以x取值范围是． （2）因为， 所以． 当且仅当，即时取等号． 故三角形面积最大值为：，此时． 1. 等式与不等式性质核心区别 等式所有运算恒等价；不等式可加性恒成立，可乘性、乘方、开方、取倒数均受符号、正负、同向条件限制，负向运算必变号。 2. 两大不等式核心区分 重要不等式：全域实数适用，多用于证明、比较大小； 基本不等式：仅限正数适用，专攻最值求解。 3. 最值解题核心逻辑 严格遵循「一正、二定、三相等」；无定值则配凑构造，等号不可取则放弃基本不等式，使用函数单调性求解。 4. 必考模型总结 积定和最小、和定积最大；大小比较优先作差配方，性质判断优先举反例排除。 5. 考场避坑总结 区分等式与不等式运算差异、不滥用正负限制性质、必验证等号取值、不强行套用公式，规避90%基础失分点。 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】逆向使用基本不等式，解不等式即可. 【详解】因为，， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立. 所以，所以. 所以当时，取最大值， 故选：B. 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 3．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】B 【详解】对于A，若，则等式变形不成立；A错误； 对于B，若，则，， 所以，B正确； 对于C，时，满足，但，C错误； 对于D，， 因为，所以，但的符号不确定， 当时，，当时，，当时，，D错误. 二、多选题 4．（2025高一上·安徽·竞赛）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式即可判断ABC，根据二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，由，得，即，所以，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，由，则， 当且仅当，即，时，等号成立，C正确； 对于D，由，则，所以，即， ，无最大值，D错误． 5．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 【答案】BD 【分析】根据题意，利用不等式的性质，作差比较法，以及基本不等式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且， 由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，所以D正确. 三、填空题 6．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知，若，则的最大值为__________. 【答案】4 【分析】由条件可得，利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】根据题意可得，又， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故答案为：4. 7．（25-26高一上·湖南·阶段检测）若（），则的最大值为______，的最小值为______． 【答案】 2 8 【分析】根据基本不等式得，进而得即可得的最大值；根据基本不等式“1”的用法直接求解即可得的最小值. 【详解】因为（）， 所以，当且仅当时等号成立，联立方程得. 所以， 所以，即的最大值为2． ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8． 故答案为：； 四、解答题 8．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）用作差法比较，作差后通分，并因式分解，然后判断正负后可得； （2）作差后再配方即可判断大小关系. 【详解】（1） ，， ，，，， ，. ， ，又， ，即. （2）， 则. 9．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. (3)的最大值为，此时． 【分析】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构. （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明. （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2）略. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 【点睛】方法归纳： 1.核心通用方法：乘1法，已知分式和为定值时，将所求代数式乘以该定值，展开后配凑均值不等式； 2.题型迁移技巧：多问递进题型，后一问可直接套用前一问推导的不等式结论，减少重复推导； 3.含双根式最值：先换元消去根号，转化为二次分式约束条件，再使用乘1法. 易错归纳： 1.均值不等式使用前提：变量必须为正数，解题前先判定定义域； 2.等号成立条件必须检验，忽略取等条件会出现取不到最值的错误； 3.乘1代换时，分式拆分容易出现系数计算错误，需核对展开后的交叉项； 4.根式问题遗漏定义域限制，导致参数范围出错. 10．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 【答案】(1)，其中， (2) 【分析】（1）借助侧面与底面的建造成本及成本预算计算即可得； （2）法一：借助基本不等式可将转化为，在解不等式即可得；法二：利用表示出，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由题设， 化简得，且； （2）法一：由，得， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）， 所以仓库容积的最大值为，此时. 法二：由，则， 故， 因为（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故仓库容积的最大值为，此时． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 不等式性质与基本不等式 （核心知识+7易错辨析+8典例精讲+课后作业） 【题型一】作差法比较代数式的大小 【题型五】条件等式求最值 【题型二】由不等式的性质比较数式大小 【题型六】基本不等式的恒成立问题 【题型三】由不等式的性质证明不等式 【题型七】基本不等式“1”的妙用求最值 【题型四】基本不等式求积的最大值与求和的最小值 【题型八】基本不等式的实际应用 【知识点01】等式的基本性质 设，若，则满足以下恒等性质： 性质1（对称性）： 性质2（传递性）： 性质3（可加性）： 性质4（可乘性）： 性质5（可除性）： 【知识点02】不等式基本性质 性质1（对称性）： 性质2（传递性）： 性质3（可加性）： 性质4（可乘性）：；（乘负变号） 性质5（同向可加）： 性质6（同向可乘）： 性质7（乘方性）： 性质8（开方性）： 【知识点03】重要不等式（全域成立） 对任意实数，恒有： 等号成立条件：当且仅当时取等。 【知识点04】基本不等式（均值不等式，重难点） 适用前提：（一正） 核心公式： 文字释义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 等号条件：当且仅当时取等（三相等）。 【知识点05】基本不等式核心结论与变形 （1）积定和最小：若（定值，），则 （2）和定积最大：若（定值，），则 （3）常用变式：， 易错点1：等式与不等式性质混淆 误区：不等式两边同乘负数，不等号方向不变（照搬等式性质） 正解：等式运算恒等价；不等式乘负、除负必须变号，是与等式性质的核心区别。 易错点2：不等式运算范围滥用 误区：异向不等式可相加、任意不等式可相乘 正解：仅同向不等式可加，仅同向正数不等式可乘，异向不等式无直接运算性质。 易错点3：取倒数结论乱用 误区：恒成立 正解：仅同号正数满足取倒数变号；异号两数不成立（例：）。 易错点4：基本不等式定义域记错 误区：对全体实数成立 正解：基本不等式仅适用于正数，负数需先变形提负号再求解；重要不等式对全体实数成立。 易错点5：忽略“定值”条件强行求最值 误区：任意两个正数均可套用基本不等式求最值 正解：必须满足和为定值或积为定值，无定值需配凑变形，否则无法求最值。 易错点6：遗漏等号成立条件（高频扣分） 误区：公式套用即得最值，不验证是否在定义域内 正解：等号取不到时，基本不等式失效，需用函数单调性求解最值。 易错点7：乘方开方性质乱用 误区：任意，都有 正解：乘方开方性质仅对正数成立，负数不成立（例：）。 【题型一】作差法比较代数式的大小 【典例1-1】（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·天津河北·阶段检测），，，则有P____Q（请填“<”、“=”、“>”、“≥”、“≤”） 【变式1-2】（多选）（25-26高一上·福建福州·期中）已知，且，则下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·安徽阜阳·期中）设为不等的实数，比较与的大小. 【题型二】由不等式的性质比较数式大小 【典例2-1】（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·广东广州·期中）已知，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）若．则比大小 _____（填“>”或“<”或“=”） 【变式2-3】．（25-26高一上·河南新乡·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【题型三】由不等式的性质证明不等式 【典例3-1】（24-25高一上·河南周口·开学考试）已知，．求证：． 【变式3-1】（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【变式3-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【题型四】基本不等式求积的最大值与求和的最小值 【典例4-1】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26高一下·湖南长沙·期末）已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例4-3】（25-26高一上·广东·阶段检测）正数，满足. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【变式4-1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）的最小值为______. 【变式4-2】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若，则的最大值是__________. 【变式4-3】（25-26高一上·新疆喀什·期中）（1）设，，且，求的最大值； （2）若，求的最小值. 【题型五】条件等式求最值 【典例5-1】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）若x，y满足，则正确的有（   ） ①，②，③，④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式5-1】（25-26高一上·北京朝阳·阶段检测）已知为正实数且满足，则的最大值是____________，的最大值为____________. 【变式5-2】（多选）（25-26高一上·河北张家口·期末）已知，为正实数，且，则（   ） A． B． C．的最小值为6 D．的最小值为8 【变式5-3】已知，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围． 【题型六】基本不等式的恒成立问题 【典例6-1】（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 【变式6-1】（2025高一上·河南安阳·专题练习）设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 【变式6-2】（多选）（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【变式6-3】（1）已知，，若不等式恒成立，求m的最大值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围. 【题型七】基本不等式“1”的妙用求最值 【典例7-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【变式7-1】（2024高一下·四川宜宾·竞赛）已知，则的最大值为___________. 【变式7-2】（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【变式7-3】（25-26高一上·湖南长沙·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； 【题型八】基本不等式的实际应用 【典例8-1】（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【变式8-1】（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【变式8-2】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【变式8-3】（25-26高一上·湖北十堰·期中）设矩形的周长为48cm，把三角形沿折叠，折叠后与交于点E． (1)设，用x表示三角形面积，并写出x的取值范围； (2)求三角形面积最大值及相应x的值； 1. 等式与不等式性质核心区别 等式所有运算恒等价；不等式可加性恒成立，可乘性、乘方、开方、取倒数均受符号、正负、同向条件限制，负向运算必变号。 2. 两大不等式核心区分 重要不等式：全域实数适用，多用于证明、比较大小； 基本不等式：仅限正数适用，专攻最值求解。 3. 最值解题核心逻辑 严格遵循「一正、二定、三相等」；无定值则配凑构造，等号不可取则放弃基本不等式，使用函数单调性求解。 4. 必考模型总结 积定和最小、和定积最大；大小比较优先作差配方，性质判断优先举反例排除。 5. 考场避坑总结 区分等式与不等式运算差异、不滥用正负限制性质、必验证等号取值、不强行套用公式，规避90%基础失分点。 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 3．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）下列运用等式或不等式的性质变形中，正确的是（    ） A．如果那么 B．如果那么 C．如果那么 D．如果，那么 二、多选题 4．（2025高一上·安徽·竞赛）若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 5．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 三、填空题 6．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知，若，则的最大值为__________. 7．（25-26高一上·湖南·阶段检测）若（），则的最大值为______，的最小值为______． 四、解答题 8．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与. 9．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 10．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $