湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期数学第一次月考自编练习卷

湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期第一次月考自编练习卷 数学试题 （范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.设全集，集合，则（） A. B. C. D. 2.风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（）（注：，） A.9级 B.11级 C.13级 D.15级 3.“”是“”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知，则（） A. B. C. D. 5.已知函数的部分图象如图所示，，均为其图象上的点，且线段的中点在轴上，则（） A. B. C. D. 6.已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为（） A. B. C. D. 7.已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 8.已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（） A. B.的图象关于点对称 C.以为周期的函数 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列函数中，对于任意使得有意义的，始终存在常数，使得在区间上的最大值与最小值之差为的有（） A. B. C. D. 10.如图，在中，若为边上的点（不包含），，则（） A.外接圆的半径为 B.顶点到的最大距离为 C.若为边的中点，则 D.若为边的中点，则的最大值为 11.已知函数，则（） A. B.有个极值点 C.在上有零点 D.在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知，则的最小值是                   ． 13.已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是                  . 14.若直线与函数和的图象均相切，则实数的最大值为                   ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1) 求B； (2) 若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 16.已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性. 17.在中，内角的对边分别为.已知. (1)求角的大小； (2)已知.求的面积. 18.已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 19.已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期第一次月考自编练习卷 数学试题 （范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.设全集，集合，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由化简得，结合， 由补集定义得. 故选：A. 2.风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（）（注：，） A.9级 B.11级 C.13级 D.15级 【答案】B 【解析】将代入，得. 由，得，从而，故. 结合，得，由此可得. 答案为B. 3.“”是“”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由得，整理得. 由可推出，故充分性成立， 由不能推出，故必要性不成立. 故选：A 4.已知，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，又，可得，故. 设，求导得. 当时，，单调递增，当时，，单调递减. 由单调性得，代入得，即. 结合上述推导得. 故选：B. 5.已知函数的部分图象如图所示，，均为其图象上的点，且线段的中点在轴上，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】. 由线段中点在轴，得函数最小正周期，结合周期公式，解得，即. 由，得，结合，得. 由点在函数的单调递增区间对应图象上，故，解得. 故选：D. 6.已知在中，内角，，的对边分别为，，，满足，且，则面积的最大值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由正弦定理得，结合余弦定理得， 整理得.代入得，计算得， 因为中，故. 由三角形面积公式得， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立. 代入得，即面积的最大值为. 故选：C. 7.已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由与的图象关于直线对称，得，从而，. 设，由得，故均在图象上. 因为在上单调递增，若，则，即，与假设矛盾； 若，则，即，与假设矛盾，故，即在上有解，整理得. 令，求导得， 当时，当时. 在上单调递增，在上单调递减，计算得，，， 故，解得，即实数的取值范围为. 答案为C. 8.已知函数为定义在上的偶函数，，且，则下列选项不正确的是（） A. B.的图象关于点对称 C.以为周期的函数 D. 【答案】D 【解析】为定义在上的偶函数， 故，即. 令，由得， 结合，得，故A正确. 由，结合偶函数性质得， 又， 故. 由原式得， 代入得，即， 故的图象关于点对称，B正确. 由得， 整理得，变形得， 从而， 故是以为周期的周期函数，C正确. 已知，，令得， 故，令得， 故，令得， 故，令得， 故. 计算得一个周期内，又， 故，故D错误. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列函数中，对于任意使得有意义的，始终存在常数，使得在区间上的最大值与最小值之差为的有（） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】问题等价于：对任意使有意义的，存在，满足. 对选项A，，，由得，不满足对任意有意义的成立，故A错误. 对选项B，，令，；当且时，由得，因为，故，必存在正实数. 当时，由得，，必存在正实数，时显然满足条件，故B正确. 对选项C，，令，；当时，由得，，必存在正实数. 当时，由得，同理可得，必存在正实数，故C正确. 对选项D，取，假设存在满足条件的，令，则，由指数函数单调性得，整理得. 由得，故，即，结合与在上的性质可知该不等式无解，矛盾，故D错误. 故选：. 10.如图，在中，若为边上的点（不包含），，则（） A.外接圆的半径为 B.顶点到的最大距离为 C.若为边的中点，则 D.若为边的中点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】对于选项A： 设外接圆半径为,由正弦定理得,故,所以A错误； 对于选项B： 由得,顶点在以为弦、圆周角为的圆弧上运动； 当时,顶点到的距离为,此为最大值,故B正确； 对于选项C： 若为中点,则； 由面积公式得,约去公共项得,故C正确； 对于选项D： 设,,由余弦定理得； 由基本不等式得,故,当且仅当时等号成立； 由为中点得,故； 将代入得,结合得,故D正确； 答案为BCD. 11.已知函数，则（） A. B.有个极值点 C.在上有零点 D.在上单调递增 【答案】ACD 【解析】计算得，故，由，得，选项A正确. 令，计算得，故为偶函数，求导得. 令，求导得，记，求导得. 当时，，故在上单调递减，即在上单调递减，因此，从而在上单调递减，得，即. 故在上单调递减，结合偶函数性质得在上单调递增，即在上单调递增，在上单调递减. 计算得，，，因此仅有两个变号零点，分别在和内，故只有个极值点，选项B错误. 计算得，由，得，结合得，由零点存在性定理得在上有零点，选项C正确. 当时，由均值不等式得，，计算得，故，在上恒成立，故在上单调递增，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知，则的最小值是                   ． 【答案】 【解析】由，得，整理得. 代入目标式得， 化简得， 由基本不等式得.当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 13.已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是                  . 【答案】 【解析】由且,得. 因为在上有且仅有1个零点和1条对称轴, 且, 故分以下两种情况. 对于情况1：且, 由,得； 由,得； 此情况解集为. 对于情况2：且, 由,得； 由,得； 此情况解集为空集. 综上,实数的取值范围是. 14.若直线与函数和的图象均相切，则实数的最大值为                   ． 【答案】1 【解析】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，求导得，，结合切线性质. 整理得，令，得，结合得，代入化简得. 整理等式得，设，求导得，易知为的一个根. 当时，，单调递增；当时，，单调递减，故，又，，，由此可得方程有两个不同实根，分别位于区间和. 已知一根为，代入得，另一根位于区间内，由对勾函数单调性得在单调递增，计算得此时. 故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1) 求B； (2) 若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 【答案】解：(1)由，整理得，由正弦定理得，整理得. 因为，所以，代入展开得，化简得. 因为，所以，故，结合，得. (2)由(1)知，，在中由正弦定理得，整理得. 因为，，，所以. 联立两式得，化简得，结合及，得，，从而. 计算得. 故的面积为. 16.已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】解：(1)因为所以定义域为. 由得时. 因为当时当时 所以在上单调递减，在上单调递增. 故的极小值为无极大值. (2)由定义域为. 当时，由得由得 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，由得 由得或 所以在上单调递减，在和上单调递增. 当时 所以在上单调递增. 当时，由得 由得或 所以在上单调递减，在和上单调递增. 17.在中，内角的对边分别为.已知. (1)求角的大小； (2)已知.求的面积. 【答案】解：(1)由, 得； 由中,得,故； 由,得,解得或； 因为,所以舍去, 故. (2)由余弦定理, 代入,,,得,即, 整理得； 由,解得. 故的面积. 18.已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 【答案】解：(1)当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1， f'(x)＝ex－1， 可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，即切点坐标为(1，e－2)， 切线斜率k＝e－1，所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)， 即(e－1)x－y－1＝0. (2)因为f(x)的定义域为R，且f'(x)＝ex－a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意； 若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a， 令f'(x)<0，解得x<ln a，可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，＋∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值， 由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，即a2＋ln a－1>0， 令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，则g'(a)＝2a＋>0， 可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0， 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1， 所以a的取值范围为(1，＋∞). 19.已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求的取值范围. 【答案】解：(1)当时，， 计算得，， 切线方程为，整理得. (2)，. 因为，所以， 当时，，故，在上单调递增. 当时，时，，故，在上单调递减， 时，，故，在上单调递增. (3)由(2)可知，有极小值时必有， 极小值为，化简得. 极小值是的最小值，故等价于， 整理得. 结合得，令， 求导得，故在上单调递减. 又，因此当时，满足， 当时，不满足条件，故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $