湖南省名校联盟2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学二参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 5 6 7 8 10 11 答案 A C C C D B B A BC AD AC 1.A【解析】由之·之=0可知，之=0，故=0.故选A 2.C【解析】函数y=-tan(2z+)的最小正周期为受.故选C 3.C【解析】等比中项满足x2=2X8=16,所以x=士4.故选C 4.C【解析】由a一b=√a2-2a·b十b=√2，知a·b=0.故选C. 5.D【解析】由log2=1,得√x=2,得x=4.故选D. 6.B【解析】函数f(x)在R上不单调，等价于f(x)=x2-Qx十1在R上有2个不等实根，即判别式△>0，即 a2-4>0,解得a>2或a<-2.故选B. 7.B【解析】由f(0)=0得，4°+a=0,故a=-1, 所以f)=1=4-1)2=2-2 2x+cosx(2x+osx)2元 20se, 故-0=等=22=-， 所以f(x)为奇函数，所以f(2)十f(一2)=0，故选B. 8.A【解析】设跨度集A的最小元素为a、最大元素为b,则A=b一a A中恰有b一a个元素，且这b一a个元素都取自区间[a,b们内的整数，即从b-a十1个数中选取b-a个，且必须 包含端点a和b.从b-a十1个数中选b一a个，等价于去掉1个.为保证a,b都在A中，去掉的那个数不能是a 或b,只能从中间的b-a-1个数中选. 因此，对固定的a<b,跨度集的个数为C哈a-1=b一a一1. 设d=b-a(跨度)，则d>1,且a≥1，b=a+d≤12，即a≤12-d. 对固定的跨度d,a可取1,2，…，12-d,共12一d个取值，每个对应d一1个跨度集，所以总个数为 22-dd-1,◆1=d-1,则d=+1t=0,1,10,且12-d=1-2 10 于是∑(12-d(d-1)=2(11-t0t=2(11t-2), d=1 t=0 =0 10 因为2112=1×10￥1=11×55=605,22=02+12+2+…+102=385， 10 t■0 2 所以605-385=220.故选A. 9.BC【解析】2>-5，但22<(-5)2，所以A错误； 幂函数y=x1中，令x=1,则y=1-1=1,所以B正确； 要使y=√2-x有意义，需2-x≥0，即x≤2，所以C正确； Vx∈R,x十sinx≥l的否定应该是]x∈R,x十sinx<1,所以D错误. 10.AD【解析】因为x<-1,所以一x>1,根据基本不等式， 有(-x)+(-是)≥2√(-)·(-)=2， 所以x十长一2，当且仅当一2=是即2=一1时取得，所以等号取不到，故A正确： x+有=(x+1)+z-1,因为x<-1,所以x+1<0,-(x+1D>0, 所以x+1++-[-(x+1)+-江+D]飞-2， 数学参考答案(27Y)-1 等号当且仅当一(x十1)=-z十），即x=一2(x=0舍)时取得， 故x+中=(x+1)+中一1-3，B错误： 当cos<0时，c0s十1，<0，C错误； cos x 因为x≠，k∈Z,所以c0s2≠0， 法-（配完全平方）：g(x)=sin2x十1 ）≥0 若g(x)=0,则sinx= 1 →sin xcos x=1. coS x 但in0sx=sm2≤号<1，矛盾，故g)>0. 1 法二（均值不等式）smz+o≥2√m·o3 =2|tan xl. 所以gx≥2引an1-2an≥0，等号需simx-oz且tamx>0 sin o0=1, 但sin0sx=7sin2≤<1，放等号不成立.因地g()>0,故D正确 11.AC【解析】对于A,因为[x]表示不超过实数x的最大整数， 由a,b为正整数，若x1>x2,可得ax1>ax2,bx>bx2, 则[ax1]≥[ax2],[bx1]≥[bx2], 两式相加得[ax1]十[bx1]≥[ax2]十[bx2],即f(x1)≥f(x2),所以A正确； 法一：当x>0时，对于正整数a,b,[ax]≥0，[bx]≥0，故f(x)≥0，[-ax]<0,[-bx]<0,故f(-x)<0, f(x)≠f(-x),B错误； 当x∈[2,2.1]时，[2x]=4,[3x]=6,此时f(x)=10,故C正确； 当x∈[0,1)时，0≤2x<2,0≤3x<3,此时f(x)=[3x]+[2x]≤2+1=3，故值域为{0,1,2,3}，只有4个元 素，D错误. 法二：对于B,当x=0时，f(0)=[0]十[0]=0； 对于任毫正些数a6,取。 可得aua子b∈0,1D,g-a年6e0,1D所以f)=0+0-=0, 又由-=-十6可得a(-)=a千6(-1,06M-)=a年6(-1,0 可得f(-x)=一1+(-1)=一2，此时f(-x)≠f(x), 所以不存在正整数a,b,使得函数f(x)为偶函数，所以B错误； 对于C,当a=2,b=3时，f(x)=[2x]十[3x], 设x=n十t,n∈Z,t∈[0,1)，可得[2x]=[2n+2t]=-2n+[2t],[3x]=3n+[3t], 所以f(x)=5n+[2t]+[3t], 令f(x)=10,可得5n+[2]+[3t]=10,解得n=10-(T2t]+[3t) 当[0，号)时，可得[2]=0，[30]=0，可得[2]+[3]=0： 当[3,2)时，可得[2]=0，[3]=1，可得2]+[3]=1： 当[合，号)时，可得[2]=1,31=1，可得[2a]+[3]=2: 当[号，1)时，可得[2]=1，[3]=2，可得[2]+[3]=3 设m=[2]+[3]∈{0,1,2,3}，由n=10-m且n为整数， 5 数学参考答案(27Y)一2 当m=0时，可得n=2∈乙：当m=1时，可得0=号EZ: 当m=2时，可得m=号正Z:当m=3时，可得a=号E乙， 所以当x=2十t且1[0，号)时，满足了()=10，此时有无数个解，所以C正确； 对于D,当a=3,b=2,且x∈[0,1)时，可得2x∈[0,2)，3x∈[0,3)， 所以[2x]∈{0,1}，[3x]∈{0,1,2}， 当x[0,号)时，可得[2x]=0,[3x]=0,可得f(x)=[2x]十[3x]=0: 当x[3,号)时对，可得[2]-0，[3]-1，可得f-[2]+[3]-1, 当x[合号)时，可得[2]=1，[3]=1，可得f)=[2]+[3a]=2: 当x[号，1)时，可得[2]-1，[3]=2，可得f()=[2]+[]-3, 所以f(x)在[0,1)上的取值为{0,1,2,3}，共有4个元素，所以D错误.故选AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1+【解析8cos215=1十os30=1+ 13.ln2【解析】由N(t)≥8000，得8000≤1000e3,即8≤e3,两边取自然对数得ln8≤3t,解得t≥ln2. 14.【解标对任意，x[，叶吾】时，=2x-∈[2-子，2+】，设左端点为a=2-系，则右端点为 a+牙，区间长度为于，因为余孩函数的周期为2m,所以只需考虑α∈[0,2m)的情形.于是问题等价于：求所有 长度号的区间[0，a十]上，osu的最小值的最大值，记为ma), 情况①：0心a<经，此时a十子≤，区问完全落在[0，]内，c0su在此区间单润道减，所以最小位在右瑞点取 得，m(@)=os(a+）,因为a+∈[晋]，所以ma)∈[-1,2]，其最大慌在该段为（当a=0时）： 情况@：<a<,此时十号<2m,区间完全落在[，2]内，c0su在此区间单调递增，所以最小值在左端点 取得，m(@)=cosa因为a∈[x,],所以mo)∈[-1，]，其最大值在该段也为（当a-时）： 情况③：号<a<,此时a<a十吾>元，区间包含点元，所以m(@)=-1,显然不可能是最大值 情况④：<a<2,此时区间跨过2x(等价于跨过0)，设6=a十音-2，则0<<膏，且原区间[a,a+5]可 等价为[0，b]U[a,2π].在[0，b]上，cosu单调递减，最小值为cosb;在[a,2π]上，cosu单调递增，最小值为 cosa.又因为a=2x-(号-b）,所以cosa=cs(2x-吾+b)=cos(号-b),因此，整个区间的最小值为 m(a)=mincos,cos(弩-b)},由于b和号-b都在区间[0，]内，且余弦函数在[0，]上单调递减，所以 要使两者中较小的那个尽可能大，应使两者相等，即6=吾一bb=吾此时60sb-,故在该孩内，m(@)的 最大值为，对应的a=2x一青+6=1晋（在[0,2x)内）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)证明（几何法）：连接BD. 在△PBD中，因为E,F分别是PB,PD的中点，所以EF∥BD.…3分 又因为BDC平面ABCD,且EF中平面ABCD, 所以由线面平行的判定定理，得EF∥平面ABCD. …6分 数学参考答案(27Y)-3 (2)法一：，底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD, …7分 又EF∥BD,.EF⊥AC.… 8分 由PA⊥底面ABCD,.PA⊥BD,…9分 又EF∥BD,.PA⊥EF,…10分 PA∩AC=A,EF⊥平面PAC,…11分 故直线EF与平面PAC所成角的正弦值为1.… 13分 法二：以A为原，点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图. …7分 则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2) 因为E是PB的中点，所以E(1,0,1). 因为F是PD的中点，所以F(0,1,1). 因此EF=(-1,1,0).… ……8分 设平面PAC的法向量为n=(x,y,之). .AP=(0,0,2),AC=(2,2,0). … …9分 〔n·AP=0→0·x十0·y+2·x=0→x=0. 由 n·AC=0→2x+2y+0·z=0→x+y=0. 令x=1,则y=-1,之=0. 所以平面PAC的一个法向量为n=(1,一1,0).…10分 设直线EF与平面PAC所成角为0，则sin0=|cos(EF,n)川= EF·n 1EF·n 则EF·n=(-1)×1+1×(-1)+0×0=-2, 1EF1=√(-1)2+1+0=√2，n=√+(-1)2+0=√2. …12分 -2 因此sinf=2×√2 1. 所以直线EF与平面PAC所成角的正弦值为1.… …… 13分 16.【解析11)由S=2 besin A,即=号7·3sinA,… 2分 所以sinA=2y7 7 …4分 (2)设∠ADB=0,则∠ADC=π-0， 由△ABC的面积为3，得2 xADX BDsin0叶号XADXCDsin((x-)=5,…6分 代入AD=2,BD=CD=1,得sin0=号，放0=弩 3 8分 因为6>c,所以AC>AB,∠ADB<受，故0=号 …10分 在△ABD中，由余弦定理有2=AD+BD2-2 ADX BDcos-于=4+1-2X2X1X号=3， 故c=√月，… …13分 同理可得b=√7.… 15分 17.【解析】(1)令x=y=0→f(0)=f(0)f(0),… …1分 所以f(0)=0或者f(0)=1.… …2分 若f(0)=0,则对任意x∈R,有f(x)=f(x十0)=f(x)f(0)=0, 3分 这与题设②矛盾，因此f(0)=1.… 4分 (2)对任意x∈R,f)=f(受+受)=[f(受)]≥0. 5分 数学参考答案(27Y)-4 若存在x使f(x0)=0,则f(0)=f(x十(-xo))=f(x)f(-x)=0,与f(0)=1矛盾，…6分 故f(x)>0. 任取1，x2∈R,且x<x2,则x2一x1>0,所以f(x2一)>l.…7分 又f(x2)=f(知十x2-x1)=f(x1)f(x2-x1).…8分 因为f(x1)>0,且f(x2一x1)>1,所以f(x2)>f(x),… 9分 因此f(x)在R上单调递增.…。 10分 (3)由(2)知，f(x2-x)>f(12)台x2-x>12,… 11分 即x2-x-12>0台(x-4)(x十3)>0，… 13分 解得x<-3或x>4,… 14分 故原不等式的解集为{xx<一3或x>4}. 15分 18.【解析】(1)因为f(x)的图象过点(0，√3)，所以f(0)=acos0十bsin0=a=√3，… …1分 又因为f()在x=否处取得最大值， 所以f(悟）=acos晋+b6sin吾=3.号+b=√W39+G,…2分 两边平方得是+号6+68=3+6，化简得6-26+1=0，放6=1. …4分 (2)将g)向左平移晋个单位长度得h(x)=ccos(2z+)十dsin(2x+哥)： …5分 因为h(x)的图象关于原点对称，所以h(x)为奇函数，所以h(0)=0,…6分 即cos号十dsin号=0→2c+吗d=0>c=5d …7分 代入g(x)得：g()=-3dcos2x+dsin2z=2dsin(2x-晋） …8分 当x[0,]时，2x-∈[吾]，sin(2z-爱)的值城为[，1]】 …9分 sim(2x-晋)川的值城为[0,1，… 10分 所以g(x川=2d·sin(2x-吾)的值域为[0,21d门， 11分 (3)令F1(x)=acos x+bsin x十ccos2x+dsin2x.(') 由题意，对任意x∈R,F1(x)≥一1恒成立. 由于F1(x+π)=-acos x-bsin x十ccos2x+dsin2x≥-l.… 12分 与(*)相加得：2(ccos2x十dsin2x)≥-2，即ccos2x十dsin2x≥-1恒成立.…l3分 由三角函数最值可知-√C2十d≥-1→c2十d≤1.…14分 由于r(x+)）=-asin+bcs-cos2x-dsin2x>-1, …15分 与(*)相加得：(a十b)cosx十(b一a)sinx≥一2恒成立.…16分 由三角函数最值可知-√(a+b)2+(b-a)2≥-2→2a2十2b≤4→a2十b2≤2. 故a2+b2十c2十d2≤2+1=3.得证.… …17分 19.【解析】(1)当a=e十1时，f(x)=e2-xlnx十x2-(e+l)x,可得f(x)=e2-lnx十2x-e-2,…1分 令m(x)=fx)=t-lhx+2z-e-2,可得m(x)=e-士+2， 因为)y=e和y=一是在（分，十∞）为单调递增函数， 2分 可得(c)在（侵，十∞）上单调递增，所以m(x)>m(侵)=e>0,所以f(x)在（侵，十∞上单调递增， …3分 数学参考答案(27Y)-5 又因为f(1)=e十2-e-2=0, 所以当x(2,1)时，f(x)<0;当x(1,十∞)时，f(x)>0: …4分 所以函数f(x)的单调递减区间是（分，1，单调递增区间是(1，十o0).…5分 (2)由不等式f(x)≤0，可得e-xlnx十x2-ax≤0， 脚a≥g+x-ax-号+lne-lhx-g+lhg …………………………………6分 因为存在x(0,十∞)，使得f(x)≤0成立，即≥g十n二在x∈(0，十∞)上有解，…7分 x 7 令i=,则a≥十lnt有解， 构造函教()-号，则t(x)=eD, T2 当0<x1时，t(x)<0;当x>1时，t(x)>0,…8分 所以t(x)在(0,1)单调递减，在(1，十∞)单调递增，所以t(x)mim=t(1)=e,即t≥e,…9分 又因为函数y=t十lnt在(0，十o∞)单调递增，所以当t=e时，可得ymm=e十lne=e十l,…l0分 即a≥e+l, 所以实数a的取值范围为[e十1，十∞).… …11分 (3)函数f(x)有两个零点x1,x2,即f(x)=e一xlnx十x2一ax=0有两个不同的解， 令号，且y=叶1h:为单调递增通数，由(2)知>e, 当>e时，=的两个解为1西，即e'则监=e,即一自=1n三 ,…13分 (tx2=e2, x1 令空=，期8，且=a-1函=h所以把 所以1+1=a-1)a+1)=a3-1) …14分 xx2λlnλ λlnλ 药速骏g)-品（会8，可得）-2h)+hD_2+1n=-D (xln x)2 (xln x)2 令h(x)=(x2+1)lnx-(x2-1)(x≥3)， 则(a）=-2anx生1-2z=2anx+是x=z(2nx一1)+≥x(2h3-10+0.…15分 所以h(x)在[3，十∞)单调递增，则h(x)≥h(3)=10ln3-8>0, 所以g'(x)>0恒成立，所以g(x)在[3，十∞)单调递增， 可得gxm=g3)-品}品g …16分 又因为时叶，所以+[品十) …17分 数学参考答案(27Y)一6高三数学二 (主要考试范围：集合与简易逻辑，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数x满足x·z=0,则z= A.0 B.-1 C.i D.-i 2.函数y=-tan(2x十)的最小正周期为 A.5 B晋 c D.元 3.已知2和8的等比中项为x,则x的值为 A.4 B.-4 C.士4 D.16 4.已知a,b是模长均为1的平面向量，且|a一b=√2，则a·b= A.-1 B.-√2 C.0 D.2 5.已知1og左2=1，则x= A司 B.2 c D.4 6.已知函数f()=}-号x+x在R上不单调，则实数a的取值范围是 即A.(一2,2) B.(-∞，-2)U(2,+∞) C.[-2,2] D.(-∞，-2]U[2,+∞) 7.已知fx)=+,且f0)=0,则f2)+f-2) A.-2 B.0 C.2 D.4 8.对非空有限集合A,用|A表示A中元素的个数，用maxA,minA分别表示A中的最大、最小 元素.若集合A满足|A=maxA一minA,则称A为“跨度集”.设M={1,2,3,·,12),则M 的所有子集中“跨度集”的个数为 A.220 B.240 C.260 D.280 数学试卷(27Y)第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题中正确的是 A.若a>b,则a2>b2 B.幂函数y=x1的图象经过点(1,1) C.函数y=√2一x的定义域为（一∞，2] D.命题“Vx∈R,x十sinx≥1”的否定是“]x∈R,x+sinx≤1” 10.已知x<一1，下列不等式恒成立的是 A.++i<-2 Bx叶z+-3 C.cos+o3z≥2r≠经，ez Dsnz+ogz>2anz(e≠经，keZ 11.记[x]表示不超过实数x的最大整数.如[3.1]=3，[一0.1]=一1.设a,b为正整数，函数 f(x)=[ax]十[bx],则下列说法正确的是 A.对于任意的x1,x2,若x1>x2,则f(x1)≥f(x2) B.存在正整数a,b,使得函数f(x)为偶函数 C.设a=2,b=3,则方程f(x)=10有无数个解 D.设a=3,b=2,则当x∈[0,1)时，函数f(x)的值域中有且仅有5个元素 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.2c0s215°= 13.某菌种数量N(t)(单位：个)随时间t(单位：小时)的变化满足指数增长模型N(t)=1000e3“, 若N(t)≥8000，则t的最小值为 小时 14.已知函数f(x)=cos(2x-还)(x∈[t,+否)的最小值为m(),则m()的最大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤， 15.(13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,点E,F分别是棱PB,PD的中点. (1)求证：EF∥平面ABCD; (2)求直线EF与平面PAC所成角的正弦值. 数学试卷(27Y)第2页（共4页） 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为√5】 (1)若b=√7，c=√5，求sinA的值； (2)若a=2,b>c,BC边上的中线AD=2,求边长b,c. 17.(15分) 已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x十y)=f(x)f(y);②当x>0时，f(x)>1. (1)求f(0)的值； (2)证明：f(x)在R上单调递增； (3)解不等式f(x2一x)>f(12). 数学试卷(27Y)第3页（共4页） 18.(17分) 设函数f(x)=acos x十bsin x,g(x)=ccos2x十dsin2x,其中a,b,c,d为实数. (1)若f(x)的图象过点(0，W3),且在x=否处取得最大值，求a,b的值； (2)将g(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称.若≠0，求函数y= 1g(x)在区间0，]上的值域； (3)若f(x)十g(x)≥一1对任意x∈R恒成立，求证a2十b2+c2+d2≤3. 19.(17分) 函数f(x)=e-xlnx十x2-ax(a∈R). (1)若a=e十1，求函数f(x)在(2，十∞)上的单调区间； (2)若存在x∈(0，十∞)，使得f(x)≤0成立，求a的取值范围； (3)若函数f(x)有两个零点x1,2,且3x1≤2，求十二的取值范围. x1 数学试卷(27Y)第4页（共4页）