精品解析：浙江省杭州第二中学2026-2027学年高三第一学期10月适应性检测数学试题

杭二中高三年级2026学年第一学期10月适应性检测数学 满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为复数， =1+i，则= （　　） A. -1-i B. 1-i C. -1+i D. 1+i 2. “”是“关于的方程有一正一负根”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 记为等差数列的前项和.若的公差为，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 某中学从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线分别与曲线和切于点，，且与轴交于点，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知函数，若实数，满足：，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. ，抛物线的焦点分别为，坐标原点．过的直线交于点，过的直线交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数 ，则（　） A. 是偶函数 B. 在 上单调递增 C. 有 个零点 D. 的最小值为 10. 若随机变量的取值为，，…，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. （为常数） D. 11. 四棱锥，底面是边长为1的正方形，如图为一种平面展开图，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 八边形的周长大于 D. 若四棱锥各面不全等，则有45种不同的平面展开图 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知A，B，C是△ABC的三个内角，，，则______. 13. 已知双曲线的半焦距为c，若，则它的离心率的取值的范围是_______． 14. 的极值点为在直线的下方，则的最小值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值及名学生这次竞赛成绩的众数； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 16. 已知直三棱柱中各棱长均为为中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知函数． （1）求的极值点； （2）若方程有两个不同的根， ①求的取值范围； ②求的取值范围． 18. 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过点作直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线相交于点． （ⅰ）若为等腰直角三角形，求的方程； （ⅱ）求四边形面积的最小值． 19. 定义函数(定义域为)的最大元邻差和，其中. （1）若函数，请直接写出． （2）若依次从点集中任取一个点折线相连得到函数. ①求满足的函数个数； ②求满足的函数个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭二中高三年级2026学年第一学期10月适应性检测数学 满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为复数， =1+i，则= （　　） A. -1-i B. 1-i C. -1+i D. 1+i 【答案】B 【解析】 【详解】两边同乘消去分母得，展开得， 移项合并得即则两边同时除以得 分母实数化分子分母同乘以得. 将代入原方程分母得分母不为零，解有效. 2. “”是“关于的方程有一正一负根”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】方程有一正一负根的等价条件： 对于一元二次方程有一正一负根， 只需满足两根之积（此时判别式会自动成立）. 本题中，因此两根之积为，方程有一正一负根等价于. 由此可知：“”和“方程有一正一负根”可以互相推出，因此是充要条件. 3. 若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围． 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． 4. 记为等差数列的前项和.若的公差为，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式得到，设从而有，应用基本不等式求最小值. 【详解】已知等差数列中，公差为（且） 由，，， 所以，， 设且，所以，得，所以， 所以， 当且仅当，即时，即时，取等号， 综上所述，的最小值为. 5. 某中学从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用组合数的公式分别求得所有不同的选法，以及所求事件的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，共有种不同的选法， 若选出的3人中既有男生又有女生， ①当选出的3人中1男2女，有种不同的选法； ②当选出的3人中2男1女，有种不同的选法， 所以选出的3人中既有男生又有女生，共有种不同的选法， 则选出的3人中既有男生又有女生的概率为. 6. 已知直线分别与曲线和切于点，，且与轴交于点，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设点，，利用导数求出两条曲线的切线方程，根据两条直线重合可得两条直线的斜率截距均相等，从而可求得斜率，再根据可知是中点，利用纵坐标关系列出方程解出的值，最后检验即可． 【详解】设点，， 由于的导数，的导数， 故过的切线为，即， 过的切线为，即， 因此， 设，故，， 故，故，因此， 由得，所以，进而，所以， 因此切线的方程为，令，得， 因为，所以，解得， 当时，，，切线，， ，，因此满足条件． 7. 已知函数，若实数，满足：，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值的几何意义，将恒成立条件转化为；通过换元简化函数，借助和差化积公式建立不等式，结合三角函数的性质确定下界；最后验证等号能够成立，求得的最小值. 【详解】函数的值域为， 设，， 则不等式对任意恒成立， 根据绝对值几何意义，的最小值为，故需. 令，，则， 且，需求的最小值. 由和差化积公式可知， 因为，所以， 得，解得（取最小正解），即. 验证最小值：当时，， ，且，满足条件. 故的最小值为. 8. ，抛物线的焦点分别为，坐标原点．过的直线交于点，过的直线交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两条抛物线的焦点，设过焦点的直线方程并联立抛物线方程，结合韦达定理和向量点积条件得到直线参数关系，再计算两个三角形的面积比即可， 【详解】的焦点，的焦点， 设过的直线为，联立得， 设，由韦达定理得，， 由题知，即，得， ， ，代入得， 设过的直线为，联立得， 设，由韦达定理得， ， 同理，即，得， ， ，代入得， 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数 ，则（　） A. 是偶函数 B. 在 上单调递增 C. 有 个零点 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据偶函数定义判断A，应用二次函数单调性判断B，结合零点定义计算判断C，应用二次函数最值判断D. 【详解】，且定义域为R， 是偶函数，A 对； 时 ，在 上单调递减、 上单调递增，B 错； 令 得 ，即 ，共 3 个零点，C 对； ，当 时取等，D 对. 10. 若随机变量的取值为，，…，，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. （为常数） D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用期望和方差的性质判断A、B，由期望与方差的关系，并应用作差法比较大小判断C，由题设有，再由的实际意义判断D. 【详解】A：由期望的性质知，正确， B：由方差的性质知，错误， C：由，而， 两式相减得， 所以恒成立，正确， D：因为，对于任意的取值，都有， 从而有，则， 因为是所有关于常数的偏差平方期望的最小值， 当且仅当时取等号，所以，正确. 11. 四棱锥，底面是边长为1的正方形，如图为一种平面展开图，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 八边形的周长大于 D. 若四棱锥各面不全等，则有45种不同的平面展开图 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.处理展开图的垂直关系，抓住折叠前后底边上的高共线的性质，结合正方形的垂直关系推导；B.判断线段和的范围问题，优先用三角不等式，再通过极端位置验证下界是否能突破；C.计算折叠类图形的周长，先利用边长不变性统一转化为立体中的棱长，再放缩求解；D.多面体展开图计数，转化为面邻接图的生成树问题，按公共侧棱的数量分类枚举. 【详解】A. 设顶点在底面的射影为，过作于，延长交于，则； 因为底面，底面， 所以，平面，所以平面，又平面， 所以；同理； 将侧面沿底边展开到平面时，变为，变为， 折叠或展开只改变空间位置，不改变三角形的形状和边长关系，因此边上的高展开后变为，依然满足； 同理， 底面是正方形，，垂直于的直线必然垂直于，因此、、在同一条垂直于的直线上， 又因为、，两条垂线都在过且垂直于的直线上， 因此四点共线，即直线；同理可证直线； 正方形中，两条直线分别垂直于一组互相垂直的直线，因此，A正确； B．由折叠的边长不变性：，，因此， 在中，可得，但该和可以无限接近1， 例如取在底面投影为中点，且高，此时，，， 因此无法保证，B错误； C.八边形的8条边为， 由折叠边长不变性：，，，， 因此周长 对任意点，由三角不等式，得（正方形对角线长），当且仅当在对角线上取等号； 同理，当且仅当在对角线上取等号， 两式相加得 ， 由于是四棱锥顶点，不在底面平面上，等号无法同时成立，故 ，代入周长公式得，C正确； D.展开图的本质是：选择4条棱作为公共棱（不剪开），使5个面连通且无环， 按公共侧棱的数量分类计算， 0条侧棱公共（全剪开侧棱）：公共棱全为底面棱，仅1种方式（底面4条边都保留）； 1条侧棱公共：选1条侧棱（4种选法），两个侧面连为一体；剩余2个孤立侧面必须连底面，连体侧面二选一连底面（2种），共种； 2条侧棱公共：侧棱相邻（4组）：3个侧面连为一体，剩余1个侧面必连底面，连体侧面三选一连底面（3种），共 种， 侧棱为对边（2组）：侧面分成两组，每组二选一连底面（ 种），共种，合计 种； 3条侧棱公共：选3条侧棱（等价于去掉1条，4种选法），4个侧面全部连通，四选一连底面（4种），共 种； 总计种， 由于各面不全等，不存在对称重合的情况，故共45种，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知A，B，C是△ABC的三个内角，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】使用同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解. 【详解】由，，可知为钝角，为锐角， 所以，， 则. 13. 已知双曲线的半焦距为c，若，则它的离心率的取值的范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目条件和得到方程，求出离心率取值范围 【详解】，且，故， 两边同除以得，解得， 因为，所以离心率取值范围是. 14. 的极值点为在直线的下方，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极值点，再由已知建立不等式并分离参数，换元构造函数，进而利用导数求出答案. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，，则是函数的极大值点， 因此，，由在直线的下方， 得恒成立， 令，则对，恒成立，令函数， 求导得，函数在上单调递增，， 即恒成立，因此恒成立，即， 所以的最小值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值及名学生这次竞赛成绩的众数； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 【答案】（1），众数为； （2）中位数为，平均数为. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1建立方程求a，根据最高矩形底边中点确定众数； （2）利用面积平分原理计算中位数，利用组中值与频率的乘积之和计算平均数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为10， 所有小矩形的面积之和为1， 则， 即， 解得. 由图可知，频率最高的组为，其对应的小矩形最高， 故众数为该组底边的中点值，即. 【小问2详解】 由（1）知， 各组频率依次为：：， ：， ：， ：，  ：. 因为前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内. 设中位数为， 则， 解得， 所以估计这名学生这次竞赛成绩的中位数为. 平均数为各组组中值与对应频率乘积之和， 即. 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为. 16. 已知直三棱柱中各棱长均为为中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）连接，交于点，则为的中点. 连接，因为为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，则.由线面平行的判定定理可证得平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直三棱柱中平面， 三棱柱中各棱长均为，所以为正三角形， 又为中点，所以，且. 如图所示，以所在直线为轴，以过且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面的法向量为， 则， 令，则平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则， 令，则平面的一个法向量为. . 故二面角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）求的极值点； （2）若方程有两个不同的根， ①求的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】（1）的极小值点为；无极大值点 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负情况研究函数的单调性，从而得到极值点； （2）①承接第一问的单调性：因为最小值，根据和时，；故方程有两个不同根等价于的最小值； ②由推导出的关系式，结合均值不等式放缩得到的上界，再通过极限确定下界． 【小问1详解】 求导得， 令，则有，已知， 故， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故的极小值点为；无极大值点． 【小问2详解】 ①由（1）当时，单调递减； 当时，单调递增， 又，当时，； 当时，， 若方程有两个不同的根，则， 即的取值范围为． ②设，由得，， 变形整理得， 因为，则， 故， 令，则，不等式化为， 由得，解得，故， 当时，， 综上可得． 18. 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过点作直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，直线与直线相交于点． （ⅰ）若为等腰直角三角形，求的方程； （ⅱ）求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）(i)或 (ii) 【解析】 【分析】（1）通过题目条件列出相应距离等式求解. （2）（i）通过联立直线与椭圆方程后，利用韦达定理求解坐标间的关系，表示出相应线段斜率求解垂直关系后，通过线段长度相等求解；（ii）通过将四边形面积转化为两个三角形面积之和以及点到直线距离公式求解面积. 【小问1详解】 由题意得，，， 得到. 【小问2详解】 (i)设直线为，，， 联立椭圆方程可知，， 由韦达定理可知，，， 则. . 因为为中点，所以，即， 直线为，时，，即， 所以直线斜率为， 又直线斜率，，所以恒为. 所以当为等腰直角三角形时，满足. ， ， 若，解得，即. 当时，，解得， 所以，解得，直线为. 当时，，解得， 所以，解得，直线为. (ii)可将四边形面积分为和. 点到的距离， 点到的距离， . 所以. 所以最小值为，此时. 19. 定义函数(定义域为)的最大元邻差和，其中. （1）若函数，请直接写出． （2）若依次从点集中任取一个点折线相连得到函数. ①求满足的函数个数； ②求满足的函数个数． 【答案】（1） （2）①1890；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数性质确定在内函数值的变化关系，再按分类并结合三角不等式求解. （2）①由，结合组合计数问题求解；②利用分步乘法计数原理，结合排除法列式，再利用二项式定理求解. 【小问1详解】 由三角不等式，知在中插入缺失的极值点后， 邻差和不会减小，若在同一单调区间内， 则， 当时，的值从0上升到1，再从1下降到，然后又从上升到0， 因此， 当时，取，得； 当时，； 当时，若，取，得， 若，取，得， 若，则， 令，则 ，， 所以. 【小问2详解】 ①， 设满足且的函数共有种， 由也满足知， 于是， 因此， 所以满足的函数个数为1890. ②由，得或10， 函数共有种，其中函数值不取0或10的都有种，都不取的有种， 因此函数值都取的共有， 在其中考虑反面，即所有的0在一侧，所有的10在另一侧， 设中共取了个0或10，则不满足题意的取法有： ， 因此， 所以满足的函数个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $