精品解析：青海师范大学附属第二实验中学2024-2025学年高三年级九月月考数学试卷

青海师范大学附属第二实验中学2024-2025学年高三年级九月月考 数学试卷 满分 150 分　考试用时 120 分钟 本试卷共 19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上的答案无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上的答案无效． 4．多项选择题的评分规则：全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分；若正确答案有 3 个选项，选对但不全的，选对 1 个得 2 分、选对 2 个得 4 分；若正确答案有 2 个选项，选对但不全的得 3 分． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ．若将这组数据中的每一个数都乘以 再减去 ，得到一组新数据 ，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 在 中，角所对的边分别为．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列 中，，，则数列的前 项和（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的焦点在 轴上，且离心率为 ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知，且 ，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 对称 C. 在区间 上单调递增 D. 将 的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数为 10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的极大值为 ，极小值为 C. 在区间 上单调递增 D. 曲线 的对称中心为点 11. 已知正方体 的棱长为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线 与 所成的角为 B. 三棱锥 的体积为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知向量 ，．若 ，则 ________． 13. 若函数在 处取得极值，则实数 ________． 14. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的体积为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及其单调递增区间； （2）当 时，求的值域． 16. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ． （1）求椭圆 的离心率； （2）过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程． 17. 四棱锥 的底面 是边长为 的正方形，平面 ，， 为棱 的中点． （1）求证：∥平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 18. 已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围． 19. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜，比赛立即结束）．设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立． （1）求比赛恰好进行局就结束的概率； （2）设为比赛的总局数，求的分布列和数学期望； （3）求甲获胜的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海师范大学附属第二实验中学2024-2025学年高三年级九月月考 数学试卷 满分 150 分　考试用时 120 分钟 本试卷共 19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座位号填写在本试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在试卷上的答案无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上的答案无效． 4．多项选择题的评分规则：全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分；若正确答案有 3 个选项，选对但不全的，选对 1 个得 2 分、选对 2 个得 4 分；若正确答案有 2 个选项，选对但不全的得 3 分． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由 得 所以 . 2. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由 得 ，解得 ，即 ． 由得，即. 取交集得. 3. 已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ．若将这组数据中的每一个数都乘以 再减去 ，得到一组新数据 ，则新数据的平均数和方差分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】设原数据的平均数为 ，方差为 ，新数据 ． 由平均数的线性性质得 ；由方差的性质得 （常数项不影响方差）． 4. 在 中，角所对的边分别为．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦定理，即可求解. 【详解】在中，因为，，， 由余弦定理得， 所以. 5. 已知等差数列 中，，，则数列的前 项和（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列 的公差为． 由得，所以． 于是， ． 6. 已知椭圆的焦点在 轴上，且离心率为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为椭圆的焦点在 轴上，所以 ，，． 由离心率 得 ，故 ，即 ，解得 ． 7. 已知，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由两边平方得，所以. 又， 而时，，，所以. 与联立解得，，故. 8. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 因为在上单调递减，所以对一切恒成立，即对一切恒成立. 当时，，故 ． 反之，当时，对一切恒成立，满足 在上单调递减. 所以实数的取值范围为. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 对称 C. 在区间 上单调递增 D. 将 的图象向左平移 个单位长度，所得图象对应的函数为 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A：最小正周期 ，故A正确． 对于B：；且对任意实数 有 ，故 是图象的对称中心，故B正确． 对于C：当 时，，而 在 上单调递增，故C正确． 对于D：向左平移 个单位长度得，与 不相等，故D错误． 10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的极大值为 ，极小值为 C. 在区间 上单调递增 D. 曲线 的对称中心为点 【答案】AB 【解析】 【详解】A：，故 是奇函数，正确． B：．当 或 时 ，当 时 ，所以 在 处取极大值 ，在 处取极小值 ，正确． C： 在 上单调递减，在 上单调递增，故在 上不是单调递增，错误． D：由 A 知 是奇函数，其图象关于原点 对称，对称中心不是 ，错误． 11. 已知正方体 的棱长为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线 与 所成的角为 B. 三棱锥 的体积为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 【答案】AB 【解析】 【详解】以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，． A：，，，所以 ，两异面直线所成的角为 ，正确． B： 是以 为直角边、边长为 的等腰直角三角形，面积 ； 点 到平面 的距离为 ，所以 ，正确． C：平面 的一个法向量 ．设直线 与平面 所成的角为 ， 则 ，，错误． D：，．设平面 的法向量为 ， 由 ，得，取，得 ． 设两平面所成的锐二面角为 ，则 ，，错误． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知向量 ，．若 ，则 ________． 【答案】 【解析】 【详解】由 得 ，即 ，解得 ， 所以 ，． 13. 若函数在 处取得极值，则实数 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，利用，求得，再结合极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为 在处取得极值，所以，解得， 此时， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，在处，函数取得极小值，故确为极小值点，符合题意， 所以实数的值为. 14. 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求等边三角形的外接圆半径，再根据平面，确定三棱锥外接球的半径，最后利用球的体积公式求球的体积. 【详解】如图： 设的外心为.是边长为的等边三角形，其外接圆半径 ． 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在过且垂直于平面的直线上，且． 于是外接球半径． 所以． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及其单调递增区间； （2）当 时，求的值域． 【答案】（1）最小正周期 ，单调递增区间为 ； （2）值域为 ． 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果； （2）根据可得，结合正弦函数性质，即可求得结果. 【小问1详解】 ， 所以最小正周期 ． 由 解得 ， 即单调递增区间为 ． 【小问2详解】 当 时，． 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最大值为， 当，即时，函数有最小值为， 所以 的值域为 ． 16. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ． （1）求椭圆 的离心率； （2）过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程． 【答案】（1）； （2） 或 ． 【解析】 【分析】（1）主要考查根据椭圆的标准方程求离心率，代入离心率的公式，即可； （2）主要考查直线与椭圆的位置关系以及弦长公式，分类讨论直线的斜率存在还是不存在，当直线的斜率，存在的时候，联立直线与椭圆的方程，整理得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到和，进而得到，建立关于的方程，解出，得到直线的方程. 【小问1详解】 由 的方程知 ，，所以 ， ．故离心率 ． 【小问2详解】 由（1）知 ． ① 当直线 的斜率不存在时，．代入 得 ，即 ，，此时 ，不合题意． ② 当直线 的斜率存在时，设 ．代入 并整理得 ．其判别式 ． 设 ， ，则 ，，． 所以 ． 由 得 ，即 ，解得 ，故 ． 所以直线 的方程为 ，即 或 ． 17. 四棱锥 的底面 是边长为 的正方形，平面 ，， 为棱 的中点． （1）求证：∥平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接 交 于点 ．因为四边形 是正方形，所以 是 的中点． 又 是 的中点，所以 是 的中位线，故 ∥． 因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ． （2）． 【解析】 【分析】（1）问需要用到中位线，再利用线面平行的判定定理证明线面平行. （2）问通过建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，再计算两平面所成锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图：以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ,，，，，． ， 设平面 的法向量为 ， 令则． ，．设平面 的法向量为 ， 令则 设平面 与平面 所成的锐二面角为 ， 则 所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． 18. 已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数讨论求解即可； （3）结合（2）分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，，函数定义域为， 求导可得，， 所以切点为，切线斜率为，切线方程为； 【小问2详解】 ． 当时，对任意都有， 故，在上单调递增． 当时，令得， 当时，，当时，， 故 在上单调递增，在上单调递减． 综上：当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 若 ，由（2）知在上单调递增， 取（充分大）可使 ，不满足题意． 若，由（2）知的最大值为 ． 要使对任意恒成立，只需 ，即． 综上，的取值范围是 ． 19. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜，比赛立即结束）．设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立． （1）求比赛恰好进行局就结束的概率； （2）设为比赛的总局数，求的分布列和数学期望； （3）求甲获胜的概率． 【答案】（1）； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）五局结束即前4局甲乙各胜2局，根据二项分布可求概率； （2）根据二项分布可求分布列，再根据公式可求期望； （3）根据比赛的局数分类讨论后可求甲获胜的概率. 【小问1详解】 比赛恰好进行局，说明前局两队各胜局， 故所求概率为 【小问2详解】 的所有可能取值为． 所以 的分布列为： 3 4 5 数学期望 【小问3详解】 甲获胜包含三种情形：甲以获胜、甲以获胜、甲以获胜． 甲以获胜的概率为 甲以获胜（第局甲胜，前局甲胜局）的概率为 甲以获胜（第局甲胜，前局甲胜局）的概率为 所以甲获胜的概率为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $