第一章 专题02 集合间的基本关系专项训练（8大题型44题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题02 集合间的基本关系（8大题型44题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　子集、真子集、空集的概念辨析（常考点） 题型二　判断两个集合之间的关系（常考点） 题型三　子集、真子集的个数（重点） 题型四　满足条件的集合的个数（常考点） 题型五　由集合相等求参数（重点） 题型六　由包含关系求参数（列举型、方程型）（重点） 题型七　由包含关系求参数（不等式型）（难点） 题型八　集合间关系的综合问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　子集、真子集、空集的概念辨析（共6小题） 【知识积累】 子集：如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，那么 。任何一个集合是它本身的子集。 真子集：如果 ，但存在元素 且 ，那么 。 空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意区分 、、；“”用于元素与集合之间，“”用于集合与集合之间。 【典例】 1．下列关系正确的是（   ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 2．已知集合，则下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·河南安阳·阶段检测） A． B． C． D． 3．下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ）（26-27高一上·全国·课堂例题） A． B．3 C．4 D．5 4．以下四个选项中正确的有（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 5．下列说法不正确的是（   ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B．若，，则 C．空集是任何集合的真子集 D．满足方程组的点集为 6．下列命题中正确的有　________　(写出全部正确命题的序号)．（26-27高一上·全国·课堂例题） ①；②；③；④；⑤；⑥． 题型二　判断两个集合之间的关系（共6小题） 【知识积累】 列举法表示的集合：先化简集合，再看元素之间的从属关系。 描述法表示的数集：借助数轴比较；集合 这类集合，可把元素的表达式变形为同一形式后比较。 集合相等：证明 ，只需证明 且 。 【典例】 7．已知集合，，则与的关系是（     ）（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 8．设集合，，则（    ）（26-27高一上·全国·课堂例题） A． B． C． D． 9．集合，，的关系是（     ）（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测） A． B． C． D． 10．已知集合，.则（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B． C． D． 11．若，，则与的关系为________（25-26高一上·上海·阶段检测） 12．集合与集合的关系是______.（26-27高一上·全国·课堂例题） 题型三　子集、真子集的个数（共7小题） 【知识积累】 个数公式：含有 个元素的集合有 个子集， 个真子集， 个非空子集， 个非空真子集。 写出子集：按元素个数从少到多依次列出，不要漏掉 和集合本身。 由子集个数求参数：子集个数为 ，说明集合中有 个元素；集合最多有 个子集，说明集合中至多有 个元素。 【典例】 13．集合的真子集共有（    ）（26-27高一上·湖南衡阳·开学考试） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式训练】 14．集合的真子集的个数为（    ）（26-27高一上·云南·阶段检测） A．7 B．8 C．15 D．16 15．若集合，，则集合的所有子集的个数是______．（26-27高一上·云南玉溪·阶段检测） 16．已知集合，则的真子集个数为______．（26-27高一上·河北保定·阶段检测） 17．写出集合的所有子集和真子集．（26-27高一上·全国·课堂例题） 18．若集合中只含有一个元素，则的值为________；若的子集个数是，则的取值集合是________．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） 19．已知集合，请写出集合的子集及其真子集.（26-27高一上·河南新乡·阶段检测） 题型四　满足条件的集合的个数（共4小题） 【知识积累】 方法：满足 的集合 中， 的元素一定有， 中其余 个元素可有可无，共 个。 注意真子集：若条件中有“”，要去掉与端点集合相等的情况，如 时共有 个。 【典例】 20．已知集合满足，那么这样的集合的个数为（     ）（26-27高一上·北京·阶段检测） A．5 B．8 C．6 D．7 【变式训练】 21．已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（    ）（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测） A．3 B．4 C．5 D．6 22．满足 条件的集合A的个数为______．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测） 23．满足⫋⊆的集合M有几个？（26-27高一上·全国·课堂例题） 题型五　由集合相等求参数（共5小题） 【知识积累】 解题思路：两个集合相等，则元素完全相同，由元素对应相等列方程（组）求解。 突破口：先找特殊元素，如 、，或由“分母不为 ”确定某个参数，再逐一对应。 检验：求出参数后要代回检验，集合中的元素必须满足互异性。 【典例】 24．设，若集合，则___________．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） 【变式训练】 25．设，，，，若，则（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B． C．1 D．6 26．若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________．（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测） 27．设集合，，且，则________.（26-27高一上·全国·课后作业） 28．已知集合，集合．（26-27高一上·河南新乡·开学考试） (1)若，求的值； (2)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 题型六　由包含关系求参数（列举型、方程型）（共7小题） 【知识积累】 列举型：由 得 中的每个元素都属于 ，分情况列方程求参数，最后检验互异性。 不要漏空集：、 等集合可能是空集，空集是任何集合的子集，要单独讨论。 方程型：方程的解集是给定集合的子集时，按“解集为空集、只有一个元素、有两个元素”分类，借助判别式和根与系数的关系求解。 【典例】 29．设集合，，若，则（     ）（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） A．2 B．1 C． D． 【变式训练】 30．已知集合，，若，则实数的值为（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A．或或 B．或 C． D． 31．已知集合，，若，则实数的值可以为（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 32．设集合，，则使成立的的值是________．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） 33．设，且，则　________　.（26-27高一上·全国·课堂例题） 34．已知集合，，若，求实数a的取值范围是_______________.（26-27高一上·天津红桥·阶段检测） 35．已知集合，且，求实数的取值范围.（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测） 题型七　由包含关系求参数（不等式型）（共3小题） 【知识积累】 数轴法：把两个集合在数轴上表示出来，由包含关系列出端点之间的不等式。 空集讨论：若 含参数且 ，先讨论 （即 ），再讨论 。 端点取等：端点能否相等，要代入检验；可以画出数轴看实心点、空心点。 【典例】 36．设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ）（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测） A． B． C． D． 【变式训练】 37．设集合，，且，则实数的值组成的集合为_____________.（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） 38．已知集合，，且B，求实数的取值范围.（26-27高一上·全国·课后作业） 题型八　集合间关系的综合问题（共6小题） 【知识积累】 新定义问题：把新定义（如“鲸吞”“蚕食”“匹配关系”）翻译成元素或集合之间的关系，再按子集、真子集的知识分类讨论。 计数问题：必须同时出现的元素可以“捆绑”看成一个元素，再用子集个数公式 计算。 【典例】 39．设集合，．（26-27高一上·天津和平·开学考试） （1）当时，的所有子集中的元素之和为______； （2）若，的取值范围为______． 【变式训练】 40．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（     ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．0 B． C． D．1 41．已知集合，且若下列三个关系：①；②；③中有且只有一个正确，则的值为（     ）（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） A．16 B．17 C．19 D．20 42．若集合的所有三元子集的三数之积构成集合，则________（26-27高一上·全国·课后作业） 43．当时，，就称集合P为具有“匹配关系”集合.在集合的所有非空子集中，为具有“匹配关系”集合的个数是__________.（26-27高一上·湖南衡阳·阶段检测） 44．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B． C． D． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题02 集合间的基本关系（8大题型44题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　子集、真子集、空集的概念辨析（常考点） 题型二　判断两个集合之间的关系（常考点） 题型三　子集、真子集的个数（重点） 题型四　满足条件的集合的个数（常考点） 题型五　由集合相等求参数（重点） 题型六　由包含关系求参数（列举型、方程型）（重点） 题型七　由包含关系求参数（不等式型）（难点） 题型八　集合间关系的综合问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　子集、真子集、空集的概念辨析（共6小题） 【知识积累】 子集：如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，那么 。任何一个集合是它本身的子集。 真子集：如果 ，但存在元素 且 ，那么 。 空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意区分 、、；“”用于元素与集合之间，“”用于集合与集合之间。 【典例】 1．下列关系正确的是（   ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：空集不含任何元素，因此，A错误； 选项B：由空集的性质可知，空集是任意集合的子集，故成立，B正确； 选项C：无元素，含唯一元素0，二者元素构成不同，不相等，C错误； 选项D：集合的元素仅有0，不是该集合的元素，因此，D错误。 【变式训练】 2．已知集合，则下列结论正确的是（    ）（26-27高一上·河南安阳·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，由元素与集合关系可知， ，，A正确，B错误， 由集合与集合关系可知，， 不包含于集合，故C，D都错误. 3．下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（     ）（26-27高一上·全国·课堂例题） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合中元素无序性和集合相等判断①；根据子集定义判断②；根据空集的性质判断③和④；根据元素与集合关系判断⑤. 【详解】①：集合的元素具有无序性，和的元素完全相同，两集合相等，正确； ②：任何集合都是自身的子集，故正确； ③：是包含元素0的非空集合，不含任何元素，二者不相等，故错误； ④：空集是任何集合的子集，故正确； ⑤：0是集合中的元素，故正确. 4．以下四个选项中正确的有（   ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合对应概念逐一判断即可. 【详解】选项A：空集不含任何元素，集合含有元素，二者不相等，A错误； 选项B：集合的元素就是，因此是该集合的元素，满足，B正确； 选项C：空集是任意集合的子集，因此成立，C正确； 选项D：集合的元素具有无序性，因此和是相等集合，任意集合都是它本身的子集， 故成立，D正确. 5．下列说法不正确的是（   ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B．若，，则 C．空集是任何集合的真子集 D．满足方程组的点集为 【答案】ACD 【详解】对于A，菱形不一定是正方形，故A错误； 对于B，因为集合与集合均表示奇数集，所以，故B正确； 对于C，空集是任何非空集合的真子集，故C错误； 对于D，满足方程组的点集为，故D错误. 6．下列命题中正确的有　________　(写出全部正确命题的序号)．（26-27高一上·全国·课堂例题） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①③ 【分析】逐个判断集合间的包含关系与元素与集合的属于关系，注意集合元素的类型与、符号的正确使用. 【详解】对于①，的元素都在中，故，①正确. 对于②，菱形不一定是矩形（矩形要求四个角都是直角，而菱形只需四边相等），故菱形不是矩形的子集，②错误. 对于③，，故，③正确. 对于④，的元素是有序数对，而的元素是数和，元素类型不同，故两个集合之间不存在包含关系，④错误. 对于⑤，，⑤错误. 对于⑥，，⑥错误. 题型二　判断两个集合之间的关系（共6小题） 【知识积累】 列举法表示的集合：先化简集合，再看元素之间的从属关系。 描述法表示的数集：借助数轴比较；集合 这类集合，可把元素的表达式变形为同一形式后比较。 集合相等：证明 ，只需证明 且 。 【典例】 7．已知集合，，则与的关系是（     ）（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得或 ，所以， 又，故 . 【变式训练】 8．设集合，，则（    ）（26-27高一上·全国·课堂例题） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，满足的数必满足，所以中的任何元素都属于，即. 9．集合，，的关系是（     ）（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】任取，则，， 变形得，其中，故，因此， 任取，则，， 变形得，其中，故，因此， 由且，可得； 任取，则，， 变形得，其中，故，因此， 取元素8，可知， 若，解得，故，说明，因此; 综上可得. 10．已知集合，.则（    ）（26-27高一上·全国·课后作业） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从中任取一个元素，一定是偶数，所以； 从中任取一个元素，所以. 所以. 11．若，，则与的关系为________（25-26高一上·上海·阶段检测） 【答案】 【分析】通过配方分别求解两个二次函数的值域得到集合和，再判断二者的包含关系. 【详解】由 ， 因为，所以，因此, 由 ，因为，所以，因此, 因此是的真子集，即. 12．集合与集合的关系是______.（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】为的真子集 【详解】由，则为的真子集. 题型三　子集、真子集的个数（共7小题） 【知识积累】 个数公式：含有 个元素的集合有 个子集， 个真子集， 个非空子集， 个非空真子集。 写出子集：按元素个数从少到多依次列出，不要漏掉 和集合本身。 由子集个数求参数：子集个数为 ，说明集合中有 个元素；集合最多有 个子集，说明集合中至多有 个元素。 【典例】 13．集合的真子集共有（    ）（26-27高一上·湖南衡阳·开学考试） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【详解】∵集合含有3个元素， ∴集合的真子集个数为. 【变式训练】 14．集合的真子集的个数为（    ）（26-27高一上·云南·阶段检测） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【详解】由且得或3或9或27， 因此， 故其真子集的个数为． 15．若集合，，则集合的所有子集的个数是______．（26-27高一上·云南玉溪·阶段检测） 【答案】 【分析】先计算集合的元素，进而可得集合的子集个数. 【详解】因为，且， 所以当时，；当时，；当时，. 因此 ， 所以集合的所有子集的个数为. 16．已知集合，则的真子集个数为______．（26-27高一上·河北保定·阶段检测） 【答案】31 【详解】 ， 所以的元素有5个， 所以的真子集个数为. 17．写出集合的所有子集和真子集．（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】集合A的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}； 集合A的所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}. 【分析】按含集合中的元素个数分类顺序依次写出子集，进而写出所有真子集． 【详解】由0个元素构成的子集：； 由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}； 由2个元素构成的子集：{1，2}，{1，3}，{2，3}； 由3个元素构成的子集：{1，2，3}． 因此集合A的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}； 集合A的所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}. 18．若集合中只含有一个元素，则的值为________；若的子集个数是，则的取值集合是________．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） 【答案】 或 且 【详解】若中只有一个元素，则只有一个解， 当时，方程为一元一次方程，只有一个解，此时； 当时，方程为一元二次方程，由，解得． 若的子集个数是4，则集合中有两个元素，即方程有两个根， 所以，解得且． 19．已知集合，请写出集合的子集及其真子集.（26-27高一上·河南新乡·阶段检测） 【答案】 子集：， 真子集：. 【详解】， 子集：， 真子集：. 题型四　满足条件的集合的个数（共4小题） 【知识积累】 方法：满足 的集合 中， 的元素一定有， 中其余 个元素可有可无，共 个。 注意真子集：若条件中有“”，要去掉与端点集合相等的情况，如 时共有 个。 【典例】 20．已知集合满足，那么这样的集合的个数为（     ）（26-27高一上·北京·阶段检测） A．5 B．8 C．6 D．7 【答案】B 【详解】必含元素，剩余可选元素为，每个元素可选或不选，共种. 【变式训练】 21．已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为（    ）（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系判断求解即可. 【详解】由，得集合中一定包含集合中的所有元素且集合是集合的真子集， 所以集合或或. 故满足条件的集合的个数为3个. 22．满足 条件的集合A的个数为______．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测） 【答案】3 【分析】根据子集、真子集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，共个. 23．满足⫋⊆的集合M有几个？（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】7个 【分析】根据给定条件，确定集合中元素情况，再按含有的元素个数依次写出即可. 【详解】依题意，，集合中至少含有中的一个， 集合中含有3个元素时：； 含有4个元素时：；含有5个元素时：， 所以集合M共有7个． 题型五　由集合相等求参数（共5小题） 【知识积累】 解题思路：两个集合相等，则元素完全相同，由元素对应相等列方程（组）求解。 突破口：先找特殊元素，如 、，或由“分母不为 ”确定某个参数，再逐一对应。 检验：求出参数后要代回检验，集合中的元素必须满足互异性。 【典例】 24．设，若集合，则___________．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测） 【答案】 【详解】由题意得两个集合中的元素相同，故，解得， 所以. 【变式训练】 25．设，，，，若，则（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B． C．1 D．6 【答案】B 【详解】由于，当时，，此时，违反元素的互异性，不符合题意， 当时，或，显然结合以上解析不符合题意， 当时，，，要满足，只需， 故. 26．若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________．（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测） 【答案】 2 【详解】由题意可知，即集合与集合的元素完全相同，因为，所以； 又集合的元素为，若，则无意义，因此， 故仅能，即； 将代入，得， 此时集合，集合， 由元素对应相等可得，. 因此. 27．设集合，，且，则________.（26-27高一上·全国·课后作业） 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 28．已知集合，集合．（26-27高一上·河南新乡·开学考试） (1)若，求的值； (2)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）根据求出，再根据互异性检验； （2）根据求出，再逐一代入求值. 【详解】（1）由，得或，得或， 当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，满足集合中元素的互异性，符合题意． 所以． （2）由，得，得或， 若，则，因为，所以； 若，则，因为，所以， 所以存在或使得． 题型六　由包含关系求参数（列举型、方程型）（共7小题） 【知识积累】 列举型：由 得 中的每个元素都属于 ，分情况列方程求参数，最后检验互异性。 不要漏空集：、 等集合可能是空集，空集是任何集合的子集，要单独讨论。 方程型：方程的解集是给定集合的子集时，按“解集为空集、只有一个元素、有两个元素”分类，借助判别式和根与系数的关系求解。 【典例】 29．设集合，，若，则（     ）（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 若 ，此时，，因为，但，所以不成立； 若 ，此时，，所以成立. 综上可得，. 【变式训练】 30．已知集合，，若，则实数的值为（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A．或或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】∵ ，，，∴ . 分两种情况讨论: 当 时，解得 ，此时 ，集合 ，不满足集合元素的互异性，舍去. 当 时，解得 或 . 若 ，则 ，集合 ，不满足集合元素的互异性，舍去. 若 ，则 ，，满足 ，且集合元素均互异，符合题意. 故实数 的值为2. 31．已知集合，，若，则实数的值可以为（    ）（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】， 当时，，满足； 当时，，又，所以或，故或， 综上，实数的值可以是0，，. 32．设集合，，则使成立的的值是________．（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） 【答案】 【详解】因为，所以或， 若，解得，当时，集合中元素不满足互异性； 若，解得或，当时，集合中元素不满足互异性，所以 33．设，且，则　________　.（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】 【详解】∵ ，∴ . ∵ ，∴ ，即是方程的根. 将代入方程得，解得. 34．已知集合，，若，求实数a的取值范围是_______________.（26-27高一上·天津红桥·阶段检测） 【答案】 【分析】确定，然后由，根据集合中元素个数分类讨论可得. 【详解】由已知 ，且， 由， （1），即，则，满足， （2）是一元集，若，则，此时，不满足， 若，则也不满足， （3），则，解得， 综上，的取值范围是. 35．已知集合，且，求实数的取值范围.（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测） 【答案】 【分析】根据子集的定义，分集合为空集、非空集两类讨论，结合一元二次方程根的判别式与韦达定理求解参数的取值范围. 【详解】由，分类讨论如下： 当时，方程无实根， 判别式，解得，符合条件； 当时，，即， ① 若，即，此时方程为，解得，即，满足，符合条件； ② 若，即，方程有两个不同实根，由可知两根只能为和， 根据韦达定理得，即，与矛盾，舍去， 综上，实数的取值范围是. 题型七　由包含关系求参数（不等式型）（共3小题） 【知识积累】 数轴法：把两个集合在数轴上表示出来，由包含关系列出端点之间的不等式。 空集讨论：若 含参数且 ，先讨论 （即 ），再讨论 。 端点取等：端点能否相等，要代入检验；可以画出数轴看实心点、空心点。 【典例】 36．设集合，．若，则实数a的取值范围为（   ）（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在满足的，此时但，不满足； 若，则对任意满足的，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 【变式训练】 37．设集合，，且，则实数的值组成的集合为_____________.（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测） 【答案】 【详解】集合，， 由，可得， 所以实数的取值组成的集合为. 38．已知集合，，且B，求实数的取值范围.（26-27高一上·全国·课后作业） 【答案】 【分析】根据真子集关系，分类讨论集合B是否为空集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】因为集合，，B， 当时，则，解得，满足条件； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 题型八　集合间关系的综合问题（共6小题） 【知识积累】 新定义问题：把新定义（如“鲸吞”“蚕食”“匹配关系”）翻译成元素或集合之间的关系，再按子集、真子集的知识分类讨论。 计数问题：必须同时出现的元素可以“捆绑”看成一个元素，再用子集个数公式 计算。 【典例】 39．设集合，．（26-27高一上·天津和平·开学考试） （1）当时，的所有子集中的元素之和为______； （2）若，的取值范围为______． 【答案】 1536 或 【分析】由写出集合，由集合中的元素个数求得中每个元素在其子集中出现的次数，从而求得的所有子集中的元素之和；讨论集合是否为空集，然后由集合的包含关系建立不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解得，即， 当时，，所以集合中有个元素， 其中每个元素出现在集合的子集中的次数为， 而， 所以的所有子集中的元素之和为. ，当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以当时，的取值范围是或. 【变式训练】 40．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则可能的取值为（     ）（26-27高一上·陕西西安·阶段检测） A．0 B． C． D．1 【答案】AC 【详解】如果两个集合构成“鲸吞”，可得或， 又中元素满足，故，故不成立； 当时，可得，满足； 当时，由，可得， 若，则，可得，不满足， 若，则，可得，不满足； 如果两个集合构成“蚕食”， 则两个集合有公共元素，故或， 当，解得，经检验符合题意； 当，解得，经检验符合题意. 41．已知集合，且若下列三个关系：①；②；③中有且只有一个正确，则的值为（     ）（26-27高一上·江苏南通·阶段检测） A．16 B．17 C．19 D．20 【答案】B 【分析】分三类分别假设三个关系中仅有一个成立，结合集合元素的互异性与排列性质验证，最后代入计算目标式值. 【详解】已知，即为1,2,3的无重复排列，且三个关系有且只有一个正确，分类讨论如下： 若仅①正确，即，②③均错误： 由②错误得，由③错误得，此时仅能取2、3， 结合，无符合条件的取值，排除该情况； 若仅②正确，即，①③均错误： 由①错误得，此时，与集合元素互异性矛盾，排除该情况； 若仅③正确，即，①②均错误： 由①错误得，由②错误得，剩余未分配元素为1、2， 结合得，，符合条件. 代入计算得. 42．若集合的所有三元子集的三数之积构成集合，则________（26-27高一上·全国·课后作业） 【答案】 【详解】 因为所有三元子集中每个元素共出现3次， 所以所有三元子集的元素之积， 所以， 用120分别除以中的元素即得． 43．当时，，就称集合P为具有“匹配关系”集合.在集合的所有非空子集中，为具有“匹配关系”集合的个数是__________.（26-27高一上·湖南衡阳·阶段检测） 【答案】7 【分析】根据题意列举出满足条件的集合，即可得解. 【详解】当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，， 因此由具有“匹配关系”集合的定义可得， 集合的子集中为具有“匹配关系”集合的有 ，，，，，，， 共7个. 44．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ）（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据集合需要满足的条件，结合集合的非空子集个数计算公式，即可得到集合的个数. 【详解】因为，若，则， 又， 则集合是集合的非空子集， 且元素和，和，和必须同时出现， 故可把元素和，和，和看成一个元素， 则集合可看成有个元素， 所以集合的个数为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $