1.2从立体图形到平面图形-课后习题-2026-2027学年-北师大版-七年级数学-上册

《从立体图形到平面图形》课后习题 北师大版（2024年审定）七年级数学上册 · 第一章 丰富的图形世界 满分：100 分　　考试时间：90 分钟 学校：____________　　班级：____________　　姓名：____________　　得分：____________ 温馨提示：本卷依据北师大版（2024年审定）七年级上册第一章第2节“从立体图形到平面图形”编写，覆盖“展开与折叠”“截一个几何体”“从三个方向看物体的形状”三个课时的全部知识点；π取3.14，图形题可直接在图中作答或画在答题区。 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．某校开展“变废为宝”手工活动，小明用废旧纸板剪出如图所示的四个图形（每个小正方形的大小和形状完全相同），他打算从中选一个折叠成正方体收纳盒。能折叠成正方体的是（　　） （第1题图） 2．如图是一个正方体的表面展开图，六个面上分别标有数字1～6。将展开图折叠成正方体后，数字1所在的面与数字5所在的面（　　） （第2题图） A．相对　　B．相邻　　C．既相对又相邻　　D．无法确定 3．某奶茶店用一张长方形彩纸围住圆柱形纸杯的外壁做宣传，彩纸恰好首尾相接、不留空隙。当纸杯的底面周长与高相等时，围在纸杯外壁的彩纸展开后是（　　） A．长方形　　B．正方形　　C．平行四边形　　D．梯形 4．元旦联欢会上，小梅用一张彩纸为班级制作圆锥形“许愿帽”。把圆锥的侧面沿一条母线剪开并展开，得到的平面图形是（　　） A．圆　　B．扇形　　C．三角形　　D．平行四边形 5．妈妈切一块正方体豆腐（可看作正方体），用一个平面去截这块豆腐，截面形状不可能是（　　） A．三角形　　B．四边形　　C．五边形　　D．七边形 6．如图是一根圆柱形火腿肠，用刀沿不同方向去切它，得到的截面形状不可能是（　　） A．圆　　B．长方形　　C．三角形　　D．椭圆 7．某快递驿站把若干个相同的正方体快递盒码放成如图所示的几何体，它的俯视图及各位置上的快递盒个数如图所示（小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数）。从正面看这堆快递盒，看到的图形是（　　） （第7题图·俯视图） （第7题图·选项） 8．在“创意搭建”活动中，小刚用若干个相同的小正方体搭成一个几何体，它的主视图和左视图如图所示。搭这个几何体最多需要的小正方体的个数是（　　） （第8题图） A．4　　B．5　　C．6　　D．7 9．如图是一个直五棱柱形状的展馆钢结构模型。关于这个五棱柱，下列说法正确的是（　　） （第9题图） A．它有7个面、15条棱、10个顶点 B．它有7个面、15条棱、12个顶点 C．它有7个面、12条棱、10个顶点 D．它有8个面、15条棱、10个顶点 10．如图是一个几何体的表面展开图（一个正方形和四个三角形）。这个几何体是（　　） （第10题图） A．四棱锥　　B．四棱柱　　C．三棱锥　　D．圆锥 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图是正方体的表面展开图，六个面上分别标有数字1～6（数字2在上方，中间一行从左到右依次为1、3、4、5，数字6在下方）。折叠成正方体后，与数字3相对的面上的数字是______。 （第11题图） 12．某工厂生产一种圆柱形茶叶罐，其底面直径为10 cm，高为12 cm。将茶叶罐的侧面贴满一圈商标纸（接头处忽略不计），商标纸展开后是一个长方形，它的长是______cm，宽是______cm。 （第12题图） 13．用一个平面去截一个正方体，若截面是五边形，则这个平面与正方体的棱共有______个公共点。 （第13题图） 14．如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数。这个几何体共有______个小正方体。 （第14题图） 15．如图是正方体的表面展开图（a在上方，中间一行从左到右依次为2、3、5、4，数字6在下方）。折叠成正方体后，相对面上的数字之和都等于7，则a=______。 （第15题图） 16．如图，用一个平面去截一根圆柱形木棒，若截面是圆，则这个平面与圆柱的底面______（填“平行”或“垂直”）。 （第16题图） 三、解答题（共52分） 17．（8分）某班开展“传统美德宣传”活动，小宇设计了一个正方体宣传盒，并在展开图的六个面上分别写上“礼、信、仁、义、智、勇”六个字（如图）。 （第17题图） （1）折叠成正方体后，与“礼”字所在面相对的面上的字是______；（3分） （2）折叠成正方体后，“信”字所在面与“仁”字所在面是相对面还是相邻面？（3分） （3）若把这个正方体宣传盒“勇”字所在的面放在桌面上（即朝下），则“智”字所在的面是朝上、朝下还是朝侧面？（2分） 18．（10分）某建筑工地用大小相同的集装箱堆放材料，从上面看到的俯视图如图所示（小正方形中的数字表示该位置集装箱的个数）。 （第18题图） （1）请画出从正面看这堆集装箱得到的图形；（4分） （2）请画出从左面看这堆集装箱得到的图形；（4分） （3）这堆集装箱一共有多少个？（2分） 19．（10分）学校“创意积木搭建”比赛要求：用若干个相同的小正方体搭成一个几何体，使它的主视图、左视图、俯视图都如图所示（三个视图均为2×2的田字形）。 （第19题图） （1）这个几何体最多需要______个小正方体；（3分） （2）这个几何体最少需要______个小正方体；（3分） （3）当小正方体的个数最少时，从上面看这个几何体得到的俯视图有______种可能。（4分） 20．（8分）某蛋糕店用彩纸包装圆柱形蛋糕盒，蛋糕盒的底面直径为8 cm，高为12 cm。（π取3.14） （第20题图） （1）把蛋糕盒的侧面展开，得到的平面图形是什么图形？（2分） （2）包装蛋糕盒的侧面至少需要多少平方厘米的彩纸？（3分） （3）若用硬纸板制作一个长方体包装盒，恰好装下这个蛋糕盒（不考虑纸板厚度和损耗），至少需要多少平方厘米的硬纸板？（3分） 21．（8分）数学兴趣小组开展“截一个几何体”探究活动。 （第21题图） （1）用一个平面去截一个正方体，能否得到三角形的截面？若能，请说明这个平面与正方体面的位置关系；（2分） （2）用一个平面去截正方体，截面边数最多是几？请说明理由；（3分） （3）小明想得到正六边形的截面，应让截面经过正方体上怎样的位置？（3分） 22．（8分）手工课上，老师给了一张长30 cm、宽20 cm的长方形硬纸板（如图），要求从四个角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，再把剩余部分折成一个无盖长方体纸盒。 （第22题图） （1）这个纸盒底面的长和宽分别是多少？（3分） （2）这个纸盒的容积（体积）是多少？（3分） （3）若在纸盒的侧面贴一圈包装纸（不包括底面），需要多少平方厘米的包装纸？（2分） 参考答案与解析 一、命题细目表 知识板块 题号 考查内容 分值小计 展开与折叠 1、2、3、4、9、10、11、12、15、17、20、22 正方体展开图的识别，相对面与相邻面，圆柱、圆锥的侧面展开图，棱柱的面、棱、顶点，展开图的实际应用 60 截一个几何体 5、6、13、16、21 正方体截面的形状与边数，圆柱截面的形状，截面与棱的交点个数，截面探究 20 从三个方向看物体的形状 7、8、14、18、19 由俯视图判断三视图，由三视图确定小正方体的个数（最多与最少） 20 注：难度整体呈现“易—中—难”递进梯度，其中第1～7、9～16题为易、中档题，第8、17～22题侧重空间观念与推理能力，第19、21题为区分度较高的探究题。 二、选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B B D C A B A A 三、填空题答案 题号 11 12 13 14 15 16 答案 5 31.4，12 5 7 1 平行 四、选择题解析 1．答案：A。判断一个由6个正方形组成的图形能否折叠成正方体，可以先用“一线不过四、田凹应弃之、间一相对、拐角相邻”检验，也可以动手折叠验证。A项属于“一四一”型展开图（中间一列4个正方形，上下各1个），是正方体展开图的基本类型，可以折叠成正方体；B项两行3个正方形完全对齐，折叠时会出现面重叠；C项图形带“凹”字形缺口，折叠时同样发生重叠；D项6个正方形排成2×3的矩形，折叠时相邻的正方形会重叠。故选A。 2．答案：B。在“一四一”型展开图中，中间一行4个正方形折叠后围成一圈形成正方体的4个侧面，其中第1个与第3个相对、第2个与第4个相对，所以2与4相对、3与5相对；上下两个正方形（1与6）相对。数字1所在的面是“上面”，它与中间一行的4个侧面都相邻，因此数字1与数字5所在的面相邻。故选B。 3．答案：B。圆柱的侧面沿一条母线剪开并展开，得到的是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。当底面周长与高相等时，展开图是一个正方形。故选B。 4．答案：B。圆锥的侧面是曲面，沿一条母线剪开并展开后得到一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面的周长。故选B。 5．答案：D。截面每一条边都是平面与正方体某个面的交线，正方体一共有6个面，因此平面与正方体最多交于6个面，截面最多是六边形，不可能是七边形；而三角形、四边形、五边形的截面都可以截出。故选D。 6．答案：C。圆柱的截面形状与切的方向有关：平面平行于底面时截面是圆；平面经过圆柱的轴时截面是长方形；平面斜着截时截面可能是椭圆。圆柱的侧面是曲面，无论怎样切，截面都不会是三角形。故选C。 7．答案：A。从正面看，看到的是俯视图中每一“列”位置上的最高层数：第1列两个位置的高度分别为2和1，取最高2层；第2列两个位置的高度分别为1和2，取最高2层。所以从正面看是2列、每列2层。故选A。 8．答案：B。主视图和左视图都是“左列2层、右列1层”，可知俯视图对应2列、2行的4个位置。每个位置上的小正方体个数不能超过它所在列在主视图中的层数，也不能超过它所在行在左视图中的层数，即取两者中的较小值：4个位置分别至多为2、1、1、1个，合计最多2+1+1+1=5（个）。故选B。 9．答案：A。n棱柱有(n+2)个面、3n条棱、2n个顶点。五棱柱中n=5，所以有5+2=7（个）面、3×5=15（条）棱、2×5=10（个）顶点。故选A。 10．答案：A。展开图中有一个正方形底面和四个三角形侧面，折叠时四个三角形侧面围拢在正方形底面的四周，共用一个顶点，正好形成一个四棱锥。故选A。 五、填空题解析 11．答案：5。中间一行4个数字1、3、4、5中，隔一个数字的两个面折叠后相对：1与4相对，3与5相对；上方数字2与下方数字6相对。所以与数字3相对的面上的数字是5。 12．答案：31.4，12。圆柱的侧面展开图是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长：底面直径为10 cm，底面周长=3.14×10=31.4（cm）；长方形的宽等于圆柱的高，即12 cm。 13．答案：5。截面是五边形，说明这个平面与正方体的5个面相交，截面有5条边，每条边都是平面与一个面的交线，两端都在正方体的棱上。5条边首尾相接形成5个顶点，这5个顶点分别在5条棱上，所以这个平面与正方体的棱共有5个公共点。 14．答案：7。俯视图中每个小正方形内的数字就是该位置小正方体的个数，把6个位置的个数相加：2+1+1+1+1+1=7（个）。 15．答案：1。折叠成正方体后，a与6相对，2与5相对，3与4相对。相对面上的数字之和都等于7，先由2+5=7、3+4=7验证配对正确，再由a+6=7，解得a=1。 16．答案：平行。当截面是圆时，说明平面与圆柱的底面平行，此时截面圆的半径等于圆柱底面的半径；若平面与底面不平行，截面为椭圆；若平面沿轴方向截，截面为长方形。 六、解答题解析 17．答案：（1）勇；（2）相邻面；（3）朝侧面。 解析：（1）在“一四一”型展开图中，上方与下方的两个面折叠后相对，即“礼”与“勇”相对，所以与“礼”相对的字是“勇”。 （2）“信、仁、义、智”四个面折叠后围成一圈形成侧面，其中“信”与“义”相对、“仁”与“智”相对；“信”与“仁”在展开图中相邻，折叠后仍然相邻，所以它们是相邻面。 （3）“勇”与“礼”相对：当“勇”朝下时，“礼”朝上。“智”在中间一行的侧面一圈上，所以“智”所在的面朝侧面（既不朝上也不朝下）。 18．答案：（1）从正面看是两列，左列3个、右列1个（如图18-1）；（2）从左面看是两列，左列3个、右列2个（如图18-2）；（3）7个。 图18-1（从正面看）　　　图18-2（从左面看） 解析：（1）从正面看，看到的是每一“列”的最高层数：第1列为max(3,2)=3，第2列为max(1,1)=1；（2）从左面看，看到的是每一“行”的最高层数：第1行为max(3,1)=3，第2行为max(2,1)=2；（3）总数=3+1+2+1=7（个）。评分：第（1）（2）小题图形画对得满分，图形正确但层数标注不清酌情扣分。 19．答案：（1）8；（2）6；（3）2。 解析：（1）最多：每个位置的小正方体个数不超过主视图中对应列的层数与左视图中对应行的层数的较小值。三视图都是2×2田字形，主视图、左视图每列、每行均为2层，4个位置都至多为2个，共2×4=8（个）。 （2）最少：俯视图为2×2田字形，说明4个位置都至少放1个小正方体，共4个；主视图和左视图要求每列、每行都有2层，只需在“对角”的两个位置（如左上与右下，或左下与右上）各加高1个，共4+2=6（个）。 （3）个数最少时，加高的两个位置只能位于对角线上，所以俯视图（标注各位置个数）有2种可能，如图19-1、图19-2所示。故填2。 图19-1　　　　　　　　图19-2 20．答案：（1）长方形；（2）301.44 cm²；（3）512 cm²。 解析：（1）圆柱的侧面展开图是长方形，长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高。 （2）底面周长=3.14×8=25.12（cm），侧面展开图的面积（即所需彩纸面积）=25.12×12=301.44（cm²）。 （3）长方体包装盒的长和宽都等于圆柱底面直径8 cm，高等于圆柱的高12 cm，其表面积=2×(8×8+8×12+8×12)=2×(64+96+96)=512（cm²），即至少需要512 cm²硬纸板。 21．答案：（1）能。让平面经过正方体三个相邻的面（如斜切正方体的一个角，使平面与不在同一条棱上的三条棱相交，交点构成三角形），截面即为三角形；（2）最多是六边形。正方体共有6个面，一个平面与每个面最多交出一条线段，所以截面的边数最多不超过6；当平面与正方体6个面都相交时，可以得到六边形截面；（3）让平面经过正方体六条棱的中点（取正方体六条棱的中点，过这六个中点作截面），此时截面为正六边形。 解析：截面每一条边都是平面与正方体某个面的交线，因此截面的边数由平面与几个面相交决定。要得到三角形，平面只需与3个面相交（切去一个“角”）；要得到六边形，平面必须与6个面都相交；当平面与6个面相交且6个交点分别位于六条棱的中点上时，截面即为正六边形。评分：第（2）小题须答出“6个面”与“最多6条边”两层理由，缺一层扣1分。 22．答案：（1）长24 cm、宽14 cm；（2）1008 cm³；（3）228 cm²。 解析：（1）四个角各剪去一个边长为3 cm的小正方形后，纸盒底面的长=30-2×3=24（cm），宽=20-2×3=14（cm），折起的小正方形的边就是纸盒的高，高为3 cm。 （2）纸盒容积=长×宽×高=24×14×3=1008（cm³）。 （3）侧面包装纸的面积=2×长×高+2×宽×高=2×24×3+2×14×3=144+84=228（cm²）。 学科网（北京）股份有限公司 $