第11讲 函数的奇偶性 期中专项训练（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第11讲 函数的奇偶性 一、知识讲解 【知识点 函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 定义 偶函数 f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0； 图象是关于y轴对称的轴对称图形 奇函数 f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0 ； 图象是关于原点对称的中心对称图形 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间 2. 函数奇偶性的应用 （1）函数四则运算的奇偶性 ①加减不变：奇±奇= 奇函数；偶±偶=偶函数 ②乘除：奇×奇= 偶函数；偶×偶= 偶函数；奇×偶= 奇函数 （2）比较数的大小 利用对称性，把所有自变量都“转化”到同一个单调区间（通常是正半轴）来比较。 （1） 偶函数：自变量取正取负，函数值都一样，先把所有自变量的绝对值算出来。 然后只看正半轴的单调性：如果正半轴递增，绝对值大的函数值就大；如果正半轴递减，绝对值大的函数值就小 （2）奇函数：因为单调性在整个定义域内保持一致，所以直接看自变量本身的大小。如果函数递增，自变量大的函数值就大；如果递减，自变量大的函数值就小。 （3）结合单调性求解不等式 （1）偶函数（图像左右对称）：偶函数在对称区间上的单调性是相反的（即左增右减，或左减右增）。 解不等式时，不能直接比较括号里面的数，要比较括号里面的绝对值。 （2）奇函数（图像关于原点对称）：奇函数在对称区间上的单调性是相同的（即左增右增，或左减右减）。 解不等式时，可以直接比较括号里面的数。 二、必过题型 【题型1 函数奇偶性的判断】 1.（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2.（24-25高一上·四川眉山·期中）下列函数中既奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，则下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·河北唐山·期中）若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 7.（25-26高一上·新疆喀什·期末）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 9.（25-26高一上·全国）已知函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 10.（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 12．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【题型2 由奇偶性求解析式】 1.（25-26高一上·云南玉溪）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 2.（2026·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 3.（25-26陕西期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 4.（25-26黑龙江）已知为定义在上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高一上·江苏无锡）定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高一江苏）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 7.已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 8．（24-25高一上·江苏盐城·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【题型3 由函数奇偶性求参数】 1.（2026·辽宁抚顺）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 2.（24-25高二下·安徽）已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3.（25-26高二湖南长沙）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 4．（2026·辽宁抚顺）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 5．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为______． 6.（24-25高一上·吉林·阶段练习）设是定义在上的奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 7.（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 8.（25-26高一上·广东）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 9.（25-26高一上·内蒙古期中）函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 10.（25-26高一上·吉林）已知函数，是偶函数，则（    ） A．1 B．1或4 C．3 D．4 【题型4 函数奇偶性的应用：比大小、解不等式、最值】 1.（25-26高一上·北京·期中）若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·广东期末）已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 4.（2026·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·云南·期末）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，且，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·浙江期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7.（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8.（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 9.（2025高一上·山东枣庄）已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是（   ） A． B． C． D． 10.（25-26高二辽宁）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 11.（25-26安徽合肥期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 12．（25-26高一下·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 13.（26-27高一上·全国）已知，则________. 14.（24-25高一上·四川巴中）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 15.（25-26高一海南）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 16．（25-26高一上·湖北期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是-8 B．减函数且最大值是-8 C．增函数且最小值是8 D．增函数且最大值是8 17．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 18．（24-25高一上·湖北随州）已知，且，那么（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·广东期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·辽宁期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·云南期末）设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 22.（25-26高一上-福建泉州期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【题型5 函数图象的识别与判断】 1.（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 2.（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象大致是（ ） A．B．C． D． 3．（2026·河北沧州·一模）已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6.（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7.（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【题型6 抽象函数的奇偶性】 1.（多选）（2025·山东菏泽·一模）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 2.（24-25高一上广东深圳）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 3.已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 4.（25-26高一上-浙江宁波）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 6．（多选）（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 7．（多选）（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（ ） A． B．是偶函数 C．在单调递增 D．的解集为 【题型7 函数性质的综合】 1．（24-25高一上·广东梅州·期末）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)解关于的不等式 3.（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 4.（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式． 5.（24-25高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 6．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增；(2)解关于的不等式. 7．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值；(2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 8．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 9．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的奇偶性 一、知识讲解 【知识点 函数的奇偶性】 1．函数的奇偶性 定义 偶函数 f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0； 图象是关于y轴对称的轴对称图形 奇函数 f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0 ； 图象是关于原点对称的中心对称图形 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间 2. 函数奇偶性的应用 （1）函数四则运算的奇偶性 ①加减不变：奇±奇= 奇函数；偶±偶=偶函数 ②乘除：奇×奇= 偶函数；偶×偶= 偶函数；奇×偶= 奇函数 （2）比较数的大小 利用对称性，把所有自变量都“转化”到同一个单调区间（通常是正半轴）来比较。 （1） 偶函数：自变量取正取负，函数值都一样，先把所有自变量的绝对值算出来。 然后只看正半轴的单调性：如果正半轴递增，绝对值大的函数值就大；如果正半轴递减，绝对值大的函数值就小 （2）奇函数：因为单调性在整个定义域内保持一致，所以直接看自变量本身的大小。如果函数递增，自变量大的函数值就大；如果递减，自变量大的函数值就小。 （3）结合单调性求解不等式 （1）偶函数（图像左右对称）：偶函数在对称区间上的单调性是相反的（即左增右减，或左减右增）。 解不等式时，不能直接比较括号里面的数，要比较括号里面的绝对值。 （2）奇函数（图像关于原点对称）：奇函数在对称区间上的单调性是相同的（即左增右增，或左减右减）。 解不等式时，可以直接比较括号里面的数。 二、必过题型 【题型1 函数奇偶性的判断】 1.（25-26高一上·青海海南·期末）函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【解答过程】∵的定义域为，， 所以是奇函数.故选：A. 2.（24-25高一上·四川眉山·期中）下列函数中既奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】对于A，函数为偶函数，故A错误； 对于B，函数为奇函数，在上单调递减，故B错误； 对于C，函数为偶函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，，所以为奇函数，易知其为增函数，D正确 3.（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，则下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，故图象的对称中心为， 所以将的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位后图像关于原点对称， 故为奇函数，故选：B. 4.（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【解答过程】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数.故选：A. 5.（25-26高一上·河北唐山·期中）若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】不知奇偶性，因此与的关系不确定，与关系不确定，故A错误； 令，，， 所以为偶函数，即为偶函数，故B正确；也不知其奇偶性，故C错误； 令，，， 所以为奇函数，即为奇函数，故D错误．故选：B． 6.（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【解答过程】由得，即可得， 所以函数的定义域为，关于原点对称. 又，可得是奇函数.故选：B. 7.（25-26高一上·新疆喀什·期末）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】选项A：因为在定义域内为增函数，故A错误； 选项B：因为在定义域内不单调，故B错误； 选项C：因为的定义域为，且，故为奇函数， 又，所以是减函数，故C正确； 选项D：因为，可知在定义域内不是奇函数，故D错误；故选：C. 8．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 则，所以为奇函数，故A错误； ，所以为偶函数，故B错误； ，则为非奇非偶函数，故C错误； ，故为偶函数，故D正确.故选：D. 9.（25-26高一上·全国）已知函数，，则（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【解答过程】函数的定义域为，则，所以函数是奇函数， 函数的定义域为，所以，则是偶函数， 所以，不能确定奇偶性，A错误； ，不能确定奇偶性，B错误； ，则是奇函数，C正确； ，则是偶函数，D错误．故选：C. 10.（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误.选项B：设，由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设，由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误.选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错. 11．（2026·北京西城·二模）已知函数在上单调递增，设，则函数是（   ） A．奇函数，且在上单调递增 B．偶函数，且在上单调递增 C．奇函数，且在上单调递减 D．偶函数，且在上单调递减 【答案】C【详解】因为，其定义域为，关于原点对称, 所以, 所以 是奇函数，排除选项B和D; 因为在上单调递增，则在上单调递减, 那么在上单调递减, 因为两个减函数的和是减函数，所以在上单调递减， 综上，函数是奇函数，且在上单调递减，所以C正确. 12．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【答案】CD【详解】将函数去掉绝对值得， 画出函数的图象，如图，观察图象可知，函数的图象关于原点对称， 故函数为奇函数，且在上单调递减，在上单调递增，故CD正确． 【题型2 由奇偶性求解析式】 1.（25-26高一上·云南玉溪）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ） A． B． C． D． 【解答过程】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 设时，则，可得.故选：C. 2.（2026·四川内江·一模）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【解答过程】当时，，由奇函数的定义可得.故选：C. 3.（25-26陕西期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 所以当时，.故选：B. 4.（25-26黑龙江）已知为定义在上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【解答过程】当时，得， 因为为定义在上的奇函数，所以， 则当时， ，故选：B. 5.（24-25高一上·江苏无锡）定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【解答过程】当时，，可得， 又因为为奇函数，所以，可得， 即时，.故选：A. 6.（24-25高一江苏）设是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B．1 C． D． 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以.故选：D. 7.已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ．【详解】由题意得， 则有两式相减得，所以 8．（24-25高一上·江苏盐城·期中）若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为奇函数和偶函数满足， 则，即，解得， 因此，.故选：C. 9．（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得，所以即.选：A. 【题型3 由函数奇偶性求参数】 1.（2026·辽宁抚顺）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A【详解】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. 2.（24-25高二下·安徽）已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A【详解】根据题意，函数是偶函数，则， 即，又由，，则有，解可得． 3.（25-26高二湖南长沙）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C【详解】若，则，所以， 所以，，. 4．（2026·辽宁抚顺）已知函数，是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A【详解】根据题意得，解得，此时， 因为为偶函数，所以， 解得，经验证符合题意，故，所以. 5．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为______． 【答案】【详解】由题意得，又因为其为奇函数，则其定义域具有对称性， 则，解得，则， 此时，解得，定义域关于原点对称， 且，则为奇函数，满足题意. 6.（24-25高一上·吉林·阶段练习）设是定义在上的奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【解答过程】因为是定义在上的奇函数， 所以，即，故， 此时，所以， 满足是定义在上的奇函数，所以.故选：B. 7.（25-26高一上·宁夏银川·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A．3 B．1 C． D．2 【解答过程】因为的定义域为，且为奇函数，所以，，得， 则，又，满足题意，故.故选：A. 8.（25-26高一上·广东）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】不妨设，由奇函数性质可知， 所以，即对任意恒成立，于是，所以.D. 9.（25-26高一上·内蒙古期中）函数是定义在上的奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【解答过程】因为为定义在上的奇函数， 所以，即，则，所以，所以.故选：B. 10.（25-26高一上·吉林）已知函数，是偶函数，则（    ） A．1 B．1或4 C．3 D．4 【解答过程】由题意，，解得，即， 又，则， 则，即，所以.故选：D. 【题型4 函数奇偶性的应用：比大小、解不等式、最值】 1.（25-26高一上·北京·期中）若偶函数在上单调递减，则，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】因为为偶函数，所以， 又，且函数在上单调递减，所以，即.故选：A 2.（25-26高一上·广东期末）已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【解答过程】连续的奇函数的定义域为，所以, 因为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，所以在上单调递减， 因为，，所以,, 所以;故选：B. 3．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为偶函数在区间上单调递减，所以在上单调递增， 因为，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大，又，所以，选：D． 4.（2026·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为定义在上的函数满足条件， 即，所以函数是偶函数，对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数，因为函数是偶函数， 所以，因为时，函数是增函数， 所以，即.故选：A. 5.（25-26高一上·云南·期末）已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，且，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】令，因为是定义在R上的奇函数，则， 所以是定义在R上的奇函数，又因为对任意的，，均有成立， 不妨设，则，可得，即， 可知在上单调递增，则在上单调递增，且，则，可得，不等式化为，即，可得或，解得或，所以不等式的解集为.故选：D． 6．（24-25高一上·浙江期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】将不等式变形可得， 因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于， 所以，即的取值范围为.故选：D. 7.（24-25高一上·海南海口·月考）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减，因为， 所以，即，故选：C. 8.（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 9.（2025高一上·山东枣庄）已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为偶函数在区间单调递增，所以在上单调递减， 不等式，即，即或，解得或， 即满足的x取值范围为.故选：B 10.（25-26高二辽宁）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 11.（25-26安徽合肥期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 12．（25-26高一下·江西九江·期中）若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由上的偶函数满足，得， 不等式，化为或， 而函数在区间上单调递减，则或， 解得或，所以原不等式的解集为. 13.（26-27高一上·全国）已知，则________. 【详解】设，则为奇函数，则，所以. 所以，所以. 14.（24-25高一上·四川巴中）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D【详解】设，， 则，所以函数为奇函数，则，即.故选：D. 15.（25-26高一海南）若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B【详解】解法一：由于,可得关于点对称，故， 16．（25-26高一上·湖北期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是-8 B．减函数且最大值是-8 C．增函数且最小值是8 D．增函数且最大值是8 【答案】C【详解】因为是偶函数，图象关于轴对称，且在单调递减， 所以在单调递增，对，，因为在最小值是， 所以，又，所以， 即在单调递增，且最小值是.故选：C. 17．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以，所以，所以． 18．（24-25高一上·湖北随州）已知，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】根据题意可知,令，可知为奇函数， 所以，所以，‘又，所以.故选：A 19．（25-26高一下·广东期末）已知奇函数在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】已知奇函数在上单调递减， 对于A，，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，，，，D错误． 20．（25-26高二下·辽宁期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 21．（25-26高一上·云南期末）设偶函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为偶函数在上为增函数，所以在上为减函数， 又，所以，所以当或时，当或时， 不等式，即或，解得或，即不等式的解集为. 故选：B 22.（25-26高一上-福建泉州期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1)；【详解】（1）是定义在上的奇函数，，则，又，则. . (2)在上单调递增.   证明如下：任取且，，，且，，，所以，即，  所以在上单调递增. （3）在上是奇函数且单调递增，由得  ， ，解得：  ， 不等式的解集为. 【题型5 函数图象的识别与判断】 1.（25-26高一上·四川成都·期末）函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【解答过程】由解析式知，函数的定义域为R，且， 所以为偶函数，排除A、C，又恒成立，排除D.故选：B. 2.（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象大致是（ ） A．B．C． D． 【解答过程】的定义域为， ，故函数为奇函数，图象关于原点中心对称，故排除CD，又，排除B，选A. 3．（2026·河北沧州·一模）已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为是定义在区间上的偶函数，补充函数的图象如下图所示： 对于不等式， 若，则，可得或或，解得或或， 此时；若，则，可得，解得，此时. 显然满足不等式.综上所述，不等式的解集为. 4.（2026·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且.由图象可知，要使，当时，，得； 当时，，得；当，不等式不成立； 综上，不等式的解集为.故选：A. 5.（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由题意，函数是定义在上的偶函数，可得， 又由当时，函数为单调递减函数，所以，所以，故选：A. 6.（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由题设，即，当时，， 由图可知，时，时， 当时，，根据奇函数的对称性，有时，时， 所以，不等式的解集为.故选：D. 7.（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合.故选：D 【题型6 抽象函数的奇偶性】 1.（多选）（2025·山东菏泽·一模）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 【答案】ABD【详解】对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确； 对于A：又的定义域为R，所以，故A正确. 对于C：不妨取，则满足，且，故C错误. 对于D：令，则；令，则， 故，故D正确.故选:ABD 2.（24-25高一上广东深圳）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B【详解】因为，，故令时，则，令时，，令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 3.已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B【详解】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即，所以是偶函数，故选：B． 4.（25-26高一上-浙江宁波）已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇，C错.选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇，D错. 5．已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B【详解】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即，所以是偶函数，故选：B． 6．（多选）（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ACD【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则，因为函数的定义域为， 令可得，则，故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为，所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数，当时，，即， 因此，故D正确. 7．（多选）（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数的定义域为，满足，当时，，且，则（ ） A． B．是偶函数 C．在单调递增 D．的解集为 【答案】AC【详解】令，得，所以，A正确. 令，得，，所以， 所以为非奇非偶函数，B错误. 设，则，因为当时，，所以， 又因为， 所以，所以在单调递增 ，C正确. 令，得， 令，得， 所以是的一个解，所以的解集不是，D错误. 【题型7 函数性质的综合】 1．（24-25高一上·广东梅州·期末）函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为为上的偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减. 所以或，即或. 所以所求不等式的解集为：.故选：C 2.（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)解关于的不等式 【解答过程】（1）令，得，解得． ，； （2）因为函数的定义域为R，， 令，则有，，即，∴函数为奇函数； （3）因为，所以， 又因为， 即由，则， 即， 又因为为增函数，所以，解得，故x的取值范围为． 3.（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 【解答过程】（1）函数为奇函数，理由如下：因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. （2）证明：取，规定，则 ， 因为，所以， 所以，即，由，所以函数在上单调递减. （3）因为函数在上单调递减，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递减，由，所以函数在上单调递减， 所以不等式即， 因为函数是奇函数，所以，又函数在上单调递减， 所以不等式的解集等价于或， 解得或，所以关于m的不等式的解集为：. 4.（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式． 【解答过程】（1）因为函数定义在上的奇函数，所以，， 所以，，所以，，满足题意；所以； （2）是上的增函数，证明如下： 设，则， 因为，所以，从而，而， 所以，即，所以是上的增函数； （3）由题意是上的递增的奇函数， 由得， 所以，解得，所以不等式的解集为． 5.（24-25高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 【解答过程】（1）在上是奇函数，证明如下： 结合题意：令，则，解得，若，则， 令，则，所以，故在上是奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下：任取，且， 令，则，因为在上是奇函数，所以， 所以，因为当时，， 由，所以，所以，所以，即， 所以在上的单调递增. 6．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的奇函数， (1)用定义证明在上单调递增；(2)解关于的不等式. 【答案】(1)对于任意的，且，则， ∵，∴，，∴， ∴，即，∴函数在上是增函数. （2）因为且定义域关于原点对称，所以是奇函数， 则，即，所以，解得，则不等式的解集为． 7．（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值；(2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，．当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数，所以当时，．所以 （3）因为当时，，反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增．因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．由题意，得不等式即，所以． 解得，即实数的取值范围是． 8．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，．(2) 【详解】（1）因为，则， 由函数为奇函数得，即，解得．又，则， 即，． （2）由（1）知．，且， ．因为，所以，，．又，，所以，即， 所以在区间上是增函数．所以，即， 则有解得，即不等式的解集为． 9．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以，因为，则，解得，故. (2)函数在上单调递增，证明如下： 任取，且，因为， 则 由，则 即，故函数在上单调递增. （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，由可得，得，即，即， 可得或，解得或或.因此，不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $