浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学第一次月考阶段练习

浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学 第一次月考阶段练习答题卡 ( 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） ) 姓名：______________班级：______________ 准考证号 ( 注意事项 1 、 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2 、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3 、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4 、 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] ) ( 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记 ！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 ) 第I卷（选择题）（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（请用2B铅笔填涂） 1、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）（请用2B铅笔填涂） 9、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12、 13、 14、 四、解答题（本大题共5小题，共77分） （13分）15、 （15分）16、 （15分）17、 （17分）18、 （17分）19、 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学第一次月考阶段练习 考试范围：必修第二册9.1-10.3、选择性必修第一册1.1-2.4 考生须知： 1.本卷考试分值为150分，考试时间为120分钟， 2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息， 3.请将答案正确填写在答题卡上。 第I卷（选择题）（共58分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（25-26高一下·河北承德·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 2．（25-26高二下·甘肃·期末）已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二上·贵州毕节·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广东广州·期末）已知事件A，B，C满足，，，下列结论正确的是（    ） A．B，C互为对立事件 B．若，则 C．若A，B互斥，则 D．若A，B相互独立，则 5．（25-26高一下·安徽淮北·期末）某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2026年暑期社会实践的情况，通过按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．已知样本中的人数为20，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．估计该样本数据的平均数为74 D．估计全校社会实践时间在60分钟及以上的学生有180人 6．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 7．（26-27高二上·陕西·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.01 B．已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为32 8．（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．（26-27高二上·山东烟台·开学考试）给出以下命题，其中正确的命题是（     ） A．若，则异面直线与所成角的余弦值为 B．若平面与平面的法向量分别是与，则 C．已知A，B，C三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面 D．若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底 10．（25-26高三上·河北沧州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 11．（25-26高二上·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，直线，则 C．若是圆上的一个动点，且，则 D．若为坐标原点，动点满足，则的轨迹与曲线围成的区域面积是 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（25-26高二上·北京·期中）若，则______；在方向上的投影数量为______. 13．（26-27高二上·重庆沙坪坝·开学考试）过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知在矩形ABCD中，，如图，将沿着BE向上进行翻折，使得点A与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包含边界），则动点S的轨迹长度是_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（26-27高三上·浙江·开学考试）如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点．    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 16．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 17．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线l的方程（一般式表示）； (2)若点在直线l上，且，求的取值范围； (3)求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 18．（25-26高二上·浙江温州·阶段检测）已知圆过点，，圆心在直线：上. (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程； (3)若为圆上的动点，求的最小值. 19．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）如图1，在中，于点A，，四边形是平行四边形．将三角形PAB沿折起至的位置，如图2所示，连接，． (1)证明：； (2)设三棱锥的外接球球心为，证明：当时，； (3)若是的中点，连接，，记二面角为，二面角为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学第一次月考阶段练习 （参考答案及评分标准） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C D C C C BC BCD 题号 11 答案 AD 1．C（5分） 【难度】0.82 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误；选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误；选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确；选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 2．C（5分） 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、向量垂直的坐标表示、直线的倾斜角 【分析】根据题意，求得直线的一个方向向量为，结合向量垂直的坐标表示，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，直线的一个方向向量为， 又由直线的方向向量为，设， 当时，可得，此时，所以，即充分性成立； 反之：若，可得，所以，解得，所以必要性成立， 综上可得，“”是“”的充要条件. 3．C（5分） 【难度】0.65 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、用空间基底表示向量、空间向量加减运算的几何表示 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用，，表示出即可. 【详解】由 .故选：C 4．C（5分） 【难度】0.72 【知识点】互斥事件的概率加法公式、确定所给事件的对立关系、独立事件的乘法公式 【分析】根据对立事件定义、集合包含关系、互斥事件概率公式、相互独立事件的概率公式逐项判断各选项正误. 【详解】选项 A ：互为对立事件的充要条件为两事件交集为空集且并集为样本空间， 仅无法推出B与C互为对立事件，故A错误； 选项B ：若，则，因此，故B错误； 选项C ：若A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式， 可得，故 C正确； 选项D：若A与B相互独立，则A与也相互独立，， 因此，故D错误. 5．D（5分） 【难度】0.77 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数 【分析】根据频率分布直方图的性质计算可得A；根据频率、频数与总数的关系可得B；借助平均数定义计算可得C；根据样本中的数据可估算全校数据，计算即可得D． 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，由样本中的人数为人，结合频率分布直方图得，解得，故B正确； 对于C，平均数为，故C正确； 对于D，因为全校社会实践时间在分钟以上的频率为， 所以全校社会实践时间在分钟以上的学生约为，故D不正确． 6．C（5分） 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 7．C（5分） 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时乘除同一数对方差的影响、总体百分位数的估计、简单随机抽样的概率 【分析】对于A，根据简单随机抽样的概率公式计算即可；对于B，根据平均数和方差的计算公式计算即可；对于C，根据百分位数的计算公式计算即可；对于D，根据方差及标准差的性质计算即可. 【详解】对于A，个体被抽到的概率为，A错误. 对于B，由题意知，整理得，解得. 所以方差为，B错误. 对于C，从小到大排序：12，14，15，17，19，23，27，30，共8个数据. 因为，所以第70百分位数即为第6个数字，即23，C正确. 对于D，由题意知的标准差，方差. 所以的方差为，标准差为，D错误. 8．C（5分） 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、直线过定点问题 【分析】由题意可得点为单位圆上的点，再利用点到直线距离公式计算可求出距离最大值，即可得A、B；利用点到直线距离公式结合圆的半径计算即可得C、D. 【详解】易知点的轨迹为单位圆； 对于A，B，圆心O到直线的距离为， 则，当时等号成立， 所以或5取不到，因此A，B均错误； 对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离， 即，解得，所以C正确，D错误. 9．BC（每个选项3分，共6分） 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、异面直线夹角的向量求法、空间向量基底概念及辨析、判定空间向量共面 【分析】利用异面直线夹角范围、法向量数量积、四点共面向量推论、空间基底条件进行逐项判断即可. 【详解】对于A：异面直线夹角的范围为，故夹角的余弦值不可能为负数，故A错误； 对于B：因为，则，故B正确； 对于C：根据空间向量共面定理的推论，因为，且、、三点不共线，所以、、、四点共面，故C正确； 对于D：因为，所以、、共面，不能成为基底，故D错误. 10．BCD（每个选项2分，共6分） 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、轨迹问题——圆 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短、三角代换法、平面向量数量积的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】设点，因为， 所以，整理得， 所以圆C的方程为，故A错误． 因为，所以． 因为， 所以，故B正确． 设A关于直线的对称点为， 则解得 因为，所以， 所以当，C，M三点共线时，有最小值． 因为， 所以，故C正确． 设，， 因为，， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为，故D正确． 11．AD（每个选项3分，共6分） 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、求平面轨迹方程 【分析】根据定义可判断项；取特殊点，结合定义可判断项；根据定义可确定点的轨迹，再结合曲线方程画出图象，求对应面积即可. 【详解】根据定义知，故正确； 设直线上的点，则根据定义知， 因为，所以，故错误； 在圆上取点，则根据定义知： ，故错误； 设，则，所以点的轨迹是以原点为中心，以为边长的正方形. 曲线，根据方程易知曲线图象既关于轴对称，又关于轴对称，也关于原点成中心对称， 当且时，化简得，即，表示以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分. 结合对称性质可作出图象，如图所示： 则所求为阴影部分，其面积为，故正确. 12．；（第一个空3分，第二个空2分，共5分） 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据空间向量的夹角公式求解第一空；根据投影数量的定义求解第二空. 【详解】解：因为， 所以， 所以在方向上的投影数量为，故答案为： 13．或（漏写一个得2分，共5分） 【难度】0.7 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【详解】设直线，截距分别为和， 因为截距互为相反数，所以. 若，，又过点，所以，直线为. 若，解得，，所以，直线为. 14．/（5分） 【难度】0.35 【知识点】弧长的有关计算、立体几何中的轨迹问题、线面垂直证明线线垂直 【详解】过点作于点，交于点， 则点在平面上的射影落在线段上. 在中，，，则， 由等面积法得. 翻折的过程中，动点满足， 则动点的轨迹是以点为圆心，为半径的一段圆弧. 易得，，，所以， 则，如图（2），在圆中，，， 所以点的轨迹是，且，则，， 从而点的轨迹长度为. 15．(1)略；(2)1. 【难度】0.72 【知识点】由线面角的大小求值、求线面角、证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）在平面内找到一条平行于的直线，再运用线面平行的判定定理； （2）运用几何法或建立空间直角坐标系将四棱锥的高即的长度求出，再运用四棱锥的体积公式即可. 【详解】(1)如图所示，取中点，连结，．由题意可知，，， 且，．故且，故四边形为平行四边形．...............3分 平面，平面，平面..................................................................................6分 （2）【方法一】取中点O，连结，，，，，     ， 由题意可知，平面，平面， 因此，而，，平面，平面． 故平面，则为直线与平面所成角，......................................................................8分 即，故，而，所以．..................................................................11分 四棱锥的体积；.........................................................................13分 【方法二】由题意可知，平面且， 以点A为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，...................................9分    易知平面的法向量为，，...............................................................................10分 设直线与平面所成角为θ，则，解得，..................................12分 所以．...........................................................................................................13分 16．(1)；(2)；(3). 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求直线交点坐标、轨迹问题——圆 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，.................................................................................................3分 故..........................................................................................................................5分 （2）由（1）可知圆的半径为，.................................................................7分 故圆的标准方程为........................................................................................................9分 （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以，...................11分 因为点在圆上，所以，化简得.....................................14分 故点的轨迹方程为..............................................................................................................15分 17．(1)；(2)；(3). 【难度】0.65 【知识点】求直线关于点的对称直线、斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】（1）先得到已知直线的斜率，则斜角为，继而得到所求直线倾斜角为，再由点斜式求出直线方程即可； （2）根据几何意义表示与点连线的斜率，结合图象求出范围即可； （3）由点关于对称后为在直线上，再代入求解即可． 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，....................................2分 则l的倾斜角为，可知l的斜率，..............................................................................4分 所以l的方程为，即；..................................................................................................6分 （2）表示与点连线的斜率，...............................................................................7分 又是直线l在部分上的动点，如下图示：    则，直线AB的斜率不存在，则，即的取值范围为..............11分 （3）点关于对称后为在直线上， 则，即， 所以直线l关于点对称的直线方程为...................................................................................15分 18．(1)；(2)；(3). 【难度】0.4 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求点关于直线的对称点、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）由题意可求线段的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程； （2）由恰好平分圆的圆周，经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线即为； （3）设， 得到，问题转换成到距离的最小值，即可求解. 【详解】（1）    由，，得直线的斜率为，线段中点， 所以，直线的方程为，即， 联立，解得，即，...................................................................................................2分 所以半径，..................................................................................................3分 所以圆的方程为；.........................................................................................................4分 （2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，.................................................................................5分 设点关于直线的对称点， 则直线与直线垂直，且线段的中点在上， 即，解得，所以，....................................................................................8分 所以直线即为直线，且， 直线方程为，即；.........................................................................................10分 （3）设， 则，...................12分 其中表示到距离的平方， 将代入，即在的内部， 由圆心到的距离为，圆的半径为， 所以到距离的最小值为，............................................................................................15分 所以的最小值为，...........................................................................16分 所以的最小值..................................................................................................................17分 19．（1）略；（2）略；(3)是定值，该定值为. 【难度】0.47 【知识点】多面体与球体内切外接问题、空间位置关系的向量证明、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）根据线线垂直的性质，线面垂直的判定和性质即可证明； （2）根据垂直关系先建立空间直角坐标系，再根据直角三角形外接圆的性质得到对应外接球球心的坐标，从而求出求出的坐标，进而即可证明； （3）根据垂直关系先建立空间直角坐标系，然后分别求出平面和平面的法向量和，从而求出，的表达式，进而即可判断是否为定值． 【详解】(1)由题意得题图1中，所以题图2中，............................................................1分 又，平面，，所以平面，..............................................3分 又平面，所以．.................................................................................................................4分 (2)由（1）中得，，则当时，两两垂直， 则以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，则，，，.............................................................6分 易知的外接圆的圆心为的中点，而的外接圆的圆心为的中点， 分别过两个圆心作外接圆所在平面的垂线，则交点为， 根据已知条件，得点，.......................................................................................................................8分 故，，则，............................................................................9分 又四点不共线，（可省略）所以．.....................................................................................10分 （3） 由，以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，则，，，，其中， 所以，，，.......................................................12分 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，，即，........................13分 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，，即，.................14分 易得平面和平面的一个法向量为， 故，则；...................................15分 ，则． 故．.................................................................................................................................17分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $