第3章 勾股定理 高频考点突破（拔尖攻略）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

第3章 勾股定理 P]高频考点突破 考点 勾股数与构成直角三角形的 条件 典例1下列各组数中，属于勾股数的是( A.1,√2，√3 B.3,4,5 C.6,7,8 D.0.3,0.4,0.5 分析 根据勾股数的定义判断即可， 解答：A中1，√2，√5不都是正整数，∴.1，√2， √3不是勾股数，不符合题意.B中32+42 52,且3,4,5都是正整数，.3,4,5是勾股 数，符合题意.C中62+7≠82，∴.6,7,8不 是勾股数，不符合题意.D中0.3,0.4,0.5都 不是正整数，.0.3,0.4,0.5不是勾股数， 不符合题意.故选B. 小结 本题考查勾股数的定义，满足a2十b2=c2的 三个正整数a,b,c,称为勾股数. 典例2观察下列几组勾股数：3,4,5；5,12， 13;7,24,25;9,40,41;….按此规律，当直角 三角形的较短直角边的长是11时，较长直 角边的长是 ;当直角三角形的较短 直角边的长是2n十1(n为正整数)时，较长 直角边的长是 分析 设直角三角形中较短直角边、较长直角边 和斜边的长分别为a,b,c,则根据题意，可得 c=b十1，a2=b十c,再根据规律解答即可. 解答：设直角三角形中较短直角边、较长直角 边和斜边的长分别为a,b,c,则由几组勾股 数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，可得 c=b十1，a2=b十c.当直角三角形的较短直 聚焦高频考点，各个击破 角边的长是11时，112=121，.较长直角边 的长是60.当直角三角形的较短直角边的长 是21十1(n为正整数)时，(2n+1)2=4n2+ 4n+1,.较长直角边的长为2n2+2m. 小结 解答这类问题的关键在于正确找出一组勾 股数中3个数之间的关系. 对应练习 1.毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式 中，用2m2十2n十1(n为任意正整数)表 示勾股数中最大的一个数，则另外两个数 中较小数的表达式为 () A.n B.2n2 C.2n+1 D.2n2+2n 2.以3,4,5为边长的三角形是直角三角形， 称3,4,5为勾股数，记为(3,4,5)，可以看 作(2一1,2×2,22+1)；8,6,10也为勾股 数，记为(8,6,10)，可以看作(3一1,2× 3,32十1).同理，可以得到第3组勾股数 为(15,8,17). (1)请你根据上述勾股数组的规律，写出 第5组勾股数， (2)若设一组勾股数中间的数为2m(n≥ 2,且n为整数)，根据上述规律，请直接写 出这组勾股数， 17 数学（苏科版）八年级上 考点二用勾股定理求边长与面积 典例3如图①所示为一个由3个白色的直 角三角形和7个蓝色的正方形构成的“勾股 树”.若所有正方形的面积之和是12cm2,则 正方形A的面积是 (典例3图①) 分析 根据勾股定理和正方形的面积公式可知， 一个直角三角形周围的3个正方形中，两个小 正方形的面积之和等于大正方形的面积，借此 即可解决问题. 解答：如图②，记正方形A,B,C,D,E,F,G 的面积分别为SA,SB,Sc,SD,SE,Sr,SG 根据勾股定理和正方形的面积公式可知， SD+SE=SC,SF+SG=SB,SB+SC=SA. .所有正方形的面积之和是12cm, .SA十SB+Sc+SD+SE十SF+SG= 12cm2. ∴.SA+SA+Sc+SB=12cm2,即3SA= 12cm2. ∴.SA=4cm2,即正方形A的面积是4cm2. (典例3图②) 小结 本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解 题的关键， 18 对应练习 3.一题多解如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=8,BC=6,AD为∠CAB的平 分线，求CD的长 (第3题) 考点三勾股定理与无理数 典例4在如图①所示的数轴上找出√20对 应的点. -10123456 (典例4图①) 分析 借助勾股定理，构造一边长为√20的直角 三角形，再利用画孤截取的方式，得出数轴上 √20对应的点. 解答：如图②，点O,A在数轴上所表示的数 分别为0,4.作Rt△OAB,使∠OAB=90°， AB=2.由勾股定理，得OB=√OA+AB= √20.以点O为圆心，OB长为半径画弧，交 数轴于点P,则P即为所求的点 0 A -10123456 (典例4图②) 小结 本题考查灵活运用勾股定理和构造直角三 角形在数轴上找到无理数对应的点的能力. 对应练习 4.如图，点M在数轴上表示的数为() 2 M -2-1012 3 (第4题) A.2.2 B.√5C.√5 D.7 5.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正 方形的边长都为1，线段AB的端点A,B 都在格点（小正方形的顶点）上 (1)求AB的长， (2)以AB为一边画一个等腰三角形 ABC,使点C在格点上，且另外两边的长 都是无理数. (3)请直接写出符合(2)中条件的等腰三 角形ABC的顶点C的个数. (第5题) 考点四运用勾股定理解决最值问题 典例5如图，在Rt△ABC中， ∠B=90°，CD平分∠BCA.若 BC=8,CD=√73，E为边 AC上一动点，则线段DE长 (典例5图) 的最小值为 第3章勾股定理 分析 当DE⊥AC时，线段DE的长取得最小 值，利用勾股定理求得BD=3,再由角平分线的 性质定理即可求解」 解答：由垂线段最短可知，当DE⊥AC时， 线段DE的长取得最小值， ,∠B=90°，BC=8,CD=√73， .BD=√CD2-BC2=3. .'CD平分∠BCA,∠B=90°，即DB⊥ BC,DE⊥AC, ∴.DE=BD=3,即线段DE长的最小值 为3. 小结 本题考查角平分线的性质定理、垂线段最 短、勾股定理等知识，掌握其相关知识点是解题 的关键 对应练习 6.如图，△ABC是等边三角形，AB=2,AD 是BC边上的高，E是AC的中点，P是 AD上一动点，则PE十PC的最小值是 () B D (第6题) A.1 B.√2 C.√3D.√5 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， BC=2,AC=3.直线BE∥AC,D是BE 上一动点，刚AD十CD的最小值是 B (第7题) 19 数学（苏科版）八年级上 考点五勾股定理的逆定理 典例6如图，在由边长均为1的小正方形组 成的网格中，每个小正方形的顶点称为格 点.点A,B,C,D,M,N均在格点上，则点 A,B,C,D中能与点M,N相互连成一个直 角三角形的是 B (典例6图) A.点A B.点B C.点C D.点D 分析 根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判 断即可解答， 解答：连接相关线段.，·AM=1=1, MN2=12+12=2,AN2=12+22=5, ∴.AM2+MN2≠AN2.∴.△AMN不是直 角三角形.故A不符合题意..MB=12十 22=5,BN2=12+22=5,∴.MN2+MB2≠ BN2..△BMN不是直角三角形.故B不 符合题意..'CN2=12+22=5,MC2=3= 9,∴.MN2+CN≠MC2.∴.△CMN不是 直角三角形.故C不符合题意..MD 12+32=10,DN2=22+2=8,∴.MN2+ DN2=MD2.∴.△DMN是直角三角形.故 D符合题意.故选D. 小结 本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股 定理的逆定理是解题的关键， 典例7如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足 为D,BD=1,AD=2,CD=4. 20 (1)求证：∠BAC=90°. (2)P为BC上一点，连接AP.若△ABP为 等腰三角形，求BP的长。 B D (典例7图) 分析 (1)在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用勾 股定理可求AB和AC2,而BC=CD+BD 5,易求AC2十AB2=BC2,从而可知△ABC是 直角三角形.(2)分三种情况：①BP=AB; ②BP=AP;③AP=AB,分别求出BP的长 即可 解答：(1)，：AD⊥BC,.∠ADB= ∠ADC=90°..AD=2,BD=1,CD=4, ∴.AB2=AD2+BD2=5,AC2=CD2十 AD2=20..'BC=CD+BD=5,.'BC2= 25..AC2+AB2=25=BC2.∴.△ABC是 直角三角形，且∠BAC=90°. (2)分三种情况：①当BP=AB时，由(1)， 知AB=√5.∴.BP=5.②当BP=AP 时，设DP的长为x.∠ADP=90°， .AP2=AD2+DP2=4+x2..BP= DP+BD=x+1,..AP=x+1..(x+ 1)2=4十x2,解得x=1.5.∴.BP=2.5. ③当AP=AB时，.AD⊥BP,∴.BP= 2BD=2.综上所述，BP的长为√5或2.5或2. 小结 本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理以及 等腰三角形的性质，判断三角形是否为直角三角 形时，若已知三角形的三边长，只要利用勾股定 理的逆定理加以判断即可. 对应练习 8.如图，在四边形ABCD中，P AB =4 cm,BC 3 cm, CD=12cm,DA=13cm,且 ∠ABC=90°，则四边形 ABCD的面积为 ( (第8题) A.6 cm2 B.30 cm2 C.24 cm2 D.36 cm2 9.小明同学在长度是7cm,15cm,20cm, 24cm,25cm的5根木棒中选择3根拼成 1个三角形，一共能拼成 个不同 的直角三角形 10.如图，等腰三角形ABC的底边BC= 13cm,D是腰AB上一点，且CD= 12 cm,BD=5 cm. (1)求证：△BDC是直角三角形， (2)求△ABC的周长， B (第10题) 考点六勾股定理的实际应用 典例8如图，一艘轮船从A港沿南偏西48 方向航行100km到达B岛，再从B岛沿 BM方向航行125km到达C岛，A港到航 第3章勾股定理 线BM的距离AD是60km. (1)若轮船的速度为25km/h,求轮船从 C岛沿CA返回A港所需的时间. (2)C岛在A港的什么方向上？ (典例8图) 分析 (1)根据勾股定理可以依次求得BD,AC 的长，进而求出从C岛返回A港所需的时间. (2)由勾股定理的逆定理，知∠BAC=90°，并 根据方向角的定义确定C岛在A港的什么 方向. 解答：(1)由题意，得∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ABD中，，AD=60km,AB= 100 km,AD2+BD2=AB2, .'BD=80 km. ∴.CD=BC-BD=125-80=45(km). 在Rt△ACD中，.·AC2=CD2+AD2, ∴.AC=75km. .75÷25=3(h), ∴.轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间 为3h. (2).'AB2+AC2=1002+752=15625(km2), BC2=1252=15625(km2), ∴.AB2+AC2=BC2. .△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°. .∠NAC=180°-90°-48°=42°. ∴.C岛在A港的北偏西42方向上 小结 本题考查运用勾股定理解决实际问题的 能力. 21 数学（苏科版）八年级上 对应练习， 11.新情境生活实际生活中的旋转楼梯随 处可见.如图①，工厂储油罐外有一段供 操作人员使用的旋转楼梯.储油罐底面 因的半径，为：米，高为12米旋转楼 梯正中间有一段长为0.8米的平台，储 油罐的侧面展开图如图②所示，则从旋 转楼梯底部A到顶部B的扶手长度至 少为 米（旋转楼梯的宽度忽略 不计). 王超 6米 DC 6米 ⑦ ③ (第11题) 12.如图，AB为一棵大树，在大树距地面10m 的点D处有两只猴子，它们同时发现地 面上的点C处有一筐水果，一只猴子从 点D处向上爬到树顶点A处，利用拉在 树顶点A处的滑绳AC滑到点C处，另 一只猴子从点D处滑到地面点B处，再 由点B处跑到点C处.已知AB⊥BC, 两只猴子所经过的路程都是15m,求 树高， B C (第12题) 22 考点七与勾股定理相关的新定义问题 典例9定义：如图，点M,N把线段AB分 成AM,MN,NB三段.若以AM,MN,NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称M, N是线段AB的勾股分割点. (1)已知点M,N把线段AB分割成AM, MN,NB三段.若AM=2,MN=4,NB= √I2,则M,N是线段AB的勾股分割点吗？ 请说明理由 (2)已知M,N是线段AB的勾股分割点， 且在以AM,MN,NB为边的三角形中，AM 为直角边.若AB=12,AM=5,求NB的长. A M N (典例9图) 分析 (1)根据勾股定理的逆定理即可判断. (2)设NB=x,则MN=12-AM-NB=7-x. 分两种情况讨论：①当MN为斜边时，MN2= AM+NB2;②当NB为斜边时，NB2=AM+ MN2,分别列出方程即可解决问题. 解答：(1)是.理由：，AM2+NB2=22+ (/12)2=16,MN2=42=16,∴.AM2+ NB2=MN2..以AM,MN,NB为边的三 角形是一个直角三角形.∴.M,N是线段 AB的勾股分割点， (2)设NB=x,则MN=12-AM-NB= 7-x.①当MN为斜边时，MN2=AM2+ NB,即7)=25十，解得x=号， ②当NB为斜边时，NB2=AM+MN2,即 x2=25十(7-x)2,解得x= 识综上所述， 12.37 NB的长为气或7： 小结 本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是 理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解 对应练习 13.新考向新定义题定义：若以三角形的一 个顶点为端点的线段，将这个三角形分 为两个三角形，其中一个是直角三角形， 另一个是等腰三角形，则称这个三角形 是等直三角形，这条线段叫作这个三角 形的等直分割线段.例如：如图①，在 △ABC中，AD⊥BC于点D,且AD= DC,则△ABC是等直三角形，AD是 △ABC的一条等直分割线段. (1)定义理解：直角三角形一定 等直三角形（填“是”或“不是”）. (2)定义应用：如图②，在△ABC中， ∠C=90°，AD是△ABC的等直分割线 段，AC=4,BC=8,求AD的长 (3)应用提升：在△ABC中，AB=2, ∠B=30°，AD是△ABC的等直分割线 段，则AC的长为 (① (第13题) 第3章勾股定理 考点八学科内综合题 典例10如图①，在△ABC中，CD⊥AB于 点D,且BD:CD:AD=1:3：4. (1)求证：△ABC是等腰三角形： (2)如图②，S△Ax=30,动点M从点B出 发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA 向终点A运动.设点M运动的时间为ts.若 E是边AC的中点，在点M运动的过程中， △MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由。 ② (典例10图) 分析 (1)BD=k,CD=3k,AD=4k CD LAB AC=AB=5k △ABC是等腰三角形 (2) △ABC的面积为30 动点M BD,AD,,点M在BD 点M在点D 点M在 CD,AC的长上（不存在） 处（不存在） DA上 DE=DM ED=EM MD=ME=t-2 求得t=7,点M在点A处，t=10 过点E作EF⊥AD于点F BM=t,BF=6 EF的长为3EF2+MF2=EM2MF=6-t 建立关于t的方程 求得对应的t值 解决问題 解答：(1)设BD=k,AD=4k,CD=3k(k> 23 数学（苏科版）八年级上 0).在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2,即 AC2=(3k)2+(4k)2,.AC=5k..AB= BD+AD=5k,∴.AB=AC.∴.△ABC是 等腰三角形. (2)能.由(1)，得BD=k,CD=3k,AD= 4k.:S=AB·CD=X5kX3h 30,而k>0,∴.k=2,则BD=2,AD=8, CD=6,AC=10.当点M在BD上，即0≤≤ t<2时，△MDE为钝角三角形，且DM≠ DE,∴.此时△MDE不是等腰三角形.当 t=2时，点M运动到点D处，此时不构成三 角形.当点M在DA上，即2<t≤10时， BM=t,DM=BM-BD=t-2..CD AB,.∠CDA=90°.，E为AC的中点， ·DE=AE=2AC=5.分3种情况讨论： ①若DE=DM,则5=t-2,∴.t=7.②若 ED=EM,则点M运动到点A处，.t= 10.③若MD=ME=t一2，如图③，过点E 作EF⊥AD于点F..DE= AE,EF⊥AD,.AF= DF=gAD=4.在R△AEF B D AF (典例10图③)》 中，EF2=AE2-AF2, ∴.EF=√52-4=3..BM=t,BF BD+DF=6,∴.MF=6-t.在Rt△EMF 中，EF2+MF2=EM2,∴.32+(6-t)2= -2.1=智综上所述，AMDE能成 为等腰三角形，1的值为7或10或8】 小结 本题属于三角形综合题，考查勾股定理、等 腰三角形的判定与性质、解方程等知识，熟练掌 握分类讨论思想和方程思想是解题的关键. 24 对应练习 4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD, BC=AD=4,AB=CD=10,/DCB= 90°，E为边CD上的一点，DE=7,动点 P从点A出发，以每秒1个单位长度的 速度沿着边AB向终点B运动，连接 PE,BE.设点P运动的时间为ts. (1)求BE的长. (2)若△BPE为直角三角形，求t的值 (第14题)数学（苏科版）八年级上 .△AFG≌△AHG(AAS)..SAAFG=S△Ae=3. :AF=3,2FGX3=3.FG=2. 第2章 实数的初步认识 [高频考点突破] ①C由题意，得2m-2十m-4=0,解得m=2. 2474552·一个整数的立方显示为474共#2，其中+井 表示两个故障数位，∴这个数是一个六位数.：78= 474552,773=456533,79=493039,∴.只有78的结果是 474552,符合474##2的形式..正确的结果是474552. ③(1)3a-5的平方根是士2，…∴.3a-5=4,解得a=3. a-2b-7的立方根是-2，∴.a-2b-7=3-2b 7=-8,解得b=2.综上所述，a=3,b=2.(2)2ab十 15=2×3×2+15=27,.∴.927=3. ④5由题意知，x-3=0,y-1=0,解得x=3,y=1. .xy=3.∴.xy的立方根为3， ⑤√a-2+(b-3)2=0,a-2≥0，(b-3)2≥0， ∴.a-2=0,b-3=0,解得a=2,b=3.:a,b,c是△DEF 的三边长，∴.1<c<5.又.△DEF的周长为奇数，∴.c= 2或4. ⑥(1)-√35，√0.15，√10,9/243,0.2020020002… (相邻的两个2之间依次多一个0).(2)一√35， 8-125.(3)3,9-125. ⑦(1)2w2-1.<√2<√4，.1<√2<2..2< √2+1<3.∴.√2+1的整数部分为2，小数部分可以表示为 √2+1-2=√2-1.(2)√T<5<√4，.1<5<2. .3<3十2<4.∴3十2的整数部分是3，小数部分是 √3+2-3=3-1..5+2的小数部分是a,.a=3 1.1<√3<2，.-2<-√3<-1..5<7-√3<6. ∴.7一3的整数部分是5，小数部分是7-√5-5=2-√3 7-√3的小数部分是b,∴.b=2-5.∴.a十b=√5 1+2-3=1. ⑧百万：14.43亿是精确到0.01亿，0.01亿等于1百 万，∴.近似值14.43亿精确到百万位. ⑨m2-21-√2n=17-4√2，.(m2-2n-17)+ √2(4一n)=0.m,n为有理数，∴.m2-21-17=0,4 n=0..∴.m=士5，n=4.当m=5,n=4时，m十n=5+4= 9:当m=-5,n=4时，m十n=-5+4=-1.∴.m十n的 值为9或一1. 48 [综合素养提升] ①C√⑧I=9,.9的算术平方根为3. ②A根据题意可知，2a-4=0,b+1=0,解得a=2, b=-1.∴.ab=-2 ③D由四舍五入法得到的近似值为7.7×10，∴.0.1× 101=1000,即精确到千位. ④B·21×232+44×22-224=[(22-1)×(22+ 1)+44×22-221=(222-1)2+44×22-221=221-2X 222+1+2×222-224=1,∴.M=T=1. ⑤元实数一3,0，π，一√5，√6按从小到大的顺序排序 为-3<-√5<0<6<π，∴.最大的数是元 ⑥V7-3<-√5<-2,2<√7<3,3<√13<4，.能 被墨迹覆盖的数是√万. ⑦一3：点B表示的数为√⑤，点B关于点O的对称 点为D,点D表示的数为一√15.：点C在点A,D之 间，∴.-√15<m<-√5.：-4<-√15<-3，-3< -5<-2,一√5<-3<-5.m为整数，m的 值为-3. ⑧设小正方体的棱长为xcm,则大正方体的棱长为3xcm 由题意，得x3+(3x)3=56×32,即28x3=56×32,.x3= 64.,∴，x=4.∴.3x=12..这两个正方体的棱长分别为4cm 和12cm. ⑨(1)√20≈4.47，.√2000≈4.47×10=44.7. (2)191.8=1.918×100,.√a=√3.68×10000= √36800..a=36800.(3):1.26×10=12.6, ∴./1000m=m.∴.1000m=m,即m=1000m. 第3章勾股定理 [高频考点突破] ①C根据题意，知该类勾股数可分别表示为21十1， 2m2+2和2m2+21+1,其中最大的数为2m2+2m十1，另 外两个数为2m+1和2n2+2m.n为正整数，.2n2+ 2n一(2n十1)=2m2一1>0.∴.2n2+2>2m+1.,∴.较小数 的表达式为2n十1. 2(1)由题意，知第5组勾股数为(62一1,2×6,62+1)，即 (35,12,37).(2)这组勾股数为(n2-1,2,2+1). ③如图，过点D作DE⊥AB于点E.在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=8,BC=6,由勾股定理，得AB= √AC+BC=√82+6=10.'AD为∠CAB的平分 线，∠C=90°，即DC⊥AC,DE⊥AB,∴.DE=DC.解法 -:SAMC-SAAC+SMMX6X8-2X8CD+ 2×10DE,即24=9CD.CD=号.解法二：易证 Rt△ACD≌Rt△AED,∴.AC=AE=8.∴.BE=AB- AE=2.设DE=DC=x,则BD=BC-DC=6一x.在 Rt△BED中，BD=DE2+BE2,则(6-x)2=x2+22,解 得=，即CD= B (第3题) ④C由题图，可得点M在数轴上表示的数为0+ w√/12+22=0+√5=√5」 ⑤(1)由勾股定理，得AB=√1？十22=√5.(2)如图所 示（答案不唯一）.(3)6. (第5题) ⑥C如图，连接BE,与AD交于点P.由题意，可知 AB=AC,AD⊥BC,∴.BD=CD.∴.AD垂直平分BC ∴.PB=PC.∴.PE+PC=PE+PB=BE.∴.此时PE+ PC的值最小，即为BE的长.：△ABC是等边三角形， AB=2,.∠BCE=60°，BC=AC=AB=2..E为AC 的中点，BE⊥AC,CE=2AC=1..∠BEC=90. .BE=√BC-CE=√3.∴.PE十PC的最小值为3. B (第6题) ⑦5∠ACB=90°，BE∥AC,∴.CB⊥BE.延长CB到 点F,使CB=BF,连接DF,AF,则CD=DF.AD+ CD=AD+DF≥AF.∴.AD+CD的最小值为AF的长. 在Rt△ACF中，AC=3,CF=CB+BF=4,∴.AF= √32+4=5..AD+CD的最小值是5. 附：答案与解析 ⑧C如图，连接AC.:'∠ABC=90°，AB=4cm,BC 3cm,∴.AC=√AB2+BC=5cm.:CD=12cm,DA= 13cm,∴.AC2+CD=DA2.∴.△ADC为直角三角形，且 ∠ACD=90.SAID=SAAm-SAx=2AC· CD-2AB·C=号×5X12-3X4X3=0-6 24(cm2)..四边形ABCD的面积为24cm. (第8题) ⑨2由三角形的三边关系可知，能拼成三角形的组合为 ①7cm,15cm,20cm;②7cm,20cm,24cm;③7cm, 20cm,25cm;④7cm,24cm,25cm;⑤15cm,20cm, 24cm;⑥15cm,20cm,25cm;⑦15cm,24cm,25cm; ⑧20cm,24cm,25cm.:7+152=49+225=274≠202， ∴.①不能拼成直角三角形.：72+202=49十400=449≠ 24,∴.②不能拼成直角三角形.：72十20=49+400= 449≠252，∴.③不能拼成直角三角形.：72+24=49+ 576=625=25,∴.④能拼成直角三角形.：152+202= 225+400=625≠24，∴.⑤不能拼成直角三角形.：152+ 202=225+400=625=25,∴.⑥能拼成直角三角形. :152+242=225十576=801≠25，.⑦不能拼成直角三 角形.202+242=400十576=976≠252，.⑧不能拼成 直角三角形.综上所述，一共能拼成2个不同的直角三 角形 ⑩(1).BC=13cm,CD=12cm,BD=5cm,∴.BC= BD十CD2..△BDC为直角三角形，且∠BDC=90. (2)设AB=xcm,则AD=(x-5)cm.:'△ABC是等腰 三角形，∴.AB=AC=xcm:∠BDC=90°，∴.∠AIDC= 90°..AC2=AD2+CD2,即x2=(x-5)2+122,解得 x=169..△ABC的周长=2AB+BC=2×169+13= 10 10 m ①138将CA向左平移，使得点C与点D重合，此时点 A平移至点E处，连接BE,则AE=CD=O.8米，DE= CA,∴.旋转楼梯底部A到顶部B的扶手长度为BD十 CD+AC=BD十CD+DE.由两点之间线段最短可知，当 49 数学（苏科版）八年级上 B,D,E三点共线时，BD十DE有最小值，为BE的长，即 此时扶手长度有最小值：AF==X5.8=5.8(米). .EF=AF-AE=5.8-0.8=5(米).在Rt△BFE中， BF=12米，EF=5米，∴.BE=√BF+EF= √12+5=13（米）.∴.此时BD+CD+DE=BE+CD= 13+0.8=13.8(米).，∴.旋转楼梯底部A到顶部B的扶手 长度至少为13.8米. ②由题意，得BD=10m,∴.BC=15-10=5(m).设 AD=xm,则AB=(10+x)m,AC=(15-x)m.:AB⊥ BC,∴.∠B=90°.在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,即 (10+x)2+52=(15-x)2,解得x=2..AB=10+2= 12(m)..树高为12m. ③(1)是.如图①，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB 的垂直平分线，∴.AD=BD,则△ABD是等腰三角形 ∠C=90°，∴.△ACD是直角三角形.∴.AD是△ABC 的一条等直分割线段.∴.直角三角形一定是等直三角形 (2)在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的等直分割 线段，∴.AD=BD.AC=4,BC=8,∴.CD=8-AD.由 勾股定理，得AD2=AC2+CD..AD2=4+(8 AD)2..AD=5.(3)1或2或2.①当AD⊥BC, AD=CD时，如图②.：∠B=30,.AD=2AB=1. ∴.CD=AD=1..AC=√AD+CD=√2.②当AD1 AB,AD=CD时，如图③.∴.易得∠ADB=60°，∠C ∠CAD.∴.∠C+∠CAD=2∠C=∠ADB=60°. .∠C=30°..∠B=∠C=30°..AC=AB=2.③当 AD=BD,AC⊥BC时，如图④.∠B=30°，.AC= 号AB=1.①当AD=BD,ADLAC时，如图@.∠B= ∠BAD=30°.∴.∠B+∠BAD=∠ADC=60°.∴.∠C 90°-∠ADC=30°..∠B=∠C=30°.∴AC=AB=2. 综上所述，AC的长为1或W2或2. B ① ② D D ④ 50 D C ⑤ (第13题) @(1)CD=10,DE=7,∴.CE=10-7=3.在 Rt△CBE中，BE2=CE2+BC2=25,∴.BE=5. (2)∠EBP≠90°，∴.分两种情况讨论：①当∠BPE 90时，易得AP=DE=7,∴.t=7÷1=7.②当∠BEP= 90时，BE+PE=BP2,.易得5+4+(7-t)2= (10-),解得：=号综上所述，若△B即E为直角三角形， 1的值为7或 [综合素养提升] ①C在Rt△ABC与Rt△ACD中，由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2,AD2=AC2+CD2,..AB2-AD2= BC2-CD2=(BD+CD)2-CD2=52-32=16. ②C如图，过点A作AD LBC,交BC的延长线于点D. 在Rt△ABD与Rt△ACD中，由勾股定理，得AB2一 BD2=AD=AC2-CD,即202-(7+CD)2=152 CD,∴.CD=9..AD=√AC-CD=√15-9= 12,即点A到BC所在直线的距离是12. B D B D (第2题) (第3题) ③D11=(√60)2+(6I)2,.三边长分别为11， √60，√61的三角形是直角三角形.故选项A不符合题意. 如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，且AD= 2Bc.AD=BD=CD=号BC∠1=∠B,2= ∠C.:∠1+∠2+∠B+∠C=180°，∴.∠1+∠2=90°. ∴有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角 形.故选项B不符合题意.：一个三角形的三个内角之比 为1：2：3，∴设一个内角为x,则另两个内角为2x,3x. ∴x十2x十3x=180°，解得x=30°.∴.3x=90°..该三角 形是直角三角形.故选项C不符合题意.：一个三角形的 三边长之比为1：√2：√2，.设三边长分别为y,2y, √2y.y2+(W2y)2=3y2≠（√2y)2,∴.该三角形不是直 角三角形.故选项D符合题意. ④B当筷子竖直放置时，筷子露在杯子外面的长度最长，