第3章 勾股定理 拔尖自主测评-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

综合与实践3探寻“勾股数” 1.11,60,61通过观察，得第①组勾股数分别为2×1+ 1=3,2×12+2×1=4,2×12+2×1+1=5:第②组勾股数 分别为2×2+1=5,2×22+2×2=12,2×22+2×2+1= 13;第③组勾股数分别为2×3+1=7,2×32+2×3=24， 2×32+2×3+1=25;第④组勾股数分别为2×4+1=9， 2×4+2×4=40,2×4+2×4+1=41,∴.第⑤组勾股数 分别为2×5+1=11,2×52+2×5=60,2×52+2×5+1= 61,即11,60,61. 2.(1)a2+b2=(2mm)2+(m2-n2）=4m2n2+m 2m2n2+n=m1+2m2n2+n,c2=(m2+n2)2=m+ 2m2n2十n,.a2+b2=c2.m,n是正整数，且m>n, ∴.2m,m2一n2,m2十n2均是正整数.∴.a,b,c是勾股 数.(2)68,285,293（答案不唯一.由(1），可得若 2mm=68,则mm=34.当m=17,n=2时，m2一n2=172 22=285,m2+n2=17+22=293,.68,285,293是一组 含有68的勾股数. 3.(1)24.(2)由题意，得a=k(m2-n2),b=2kmm,c= k(m2十n2)或a=2km,b=k(m2一n2),c=k(m2+n2). 当a=k(m2-n2),b=2k,c=k(m2+n2)时，a2+b= k2[(m2一n2)2+(2)2]=k2(m2+n2)2=c2.同理，当 a=2kmm,b=k(m2-n2),c=k(m2+n2)时，a2+b2=c2 也成立.(3)由题表可知，当最短边长为(21一1)×1= 20(m)时，其余两边长的最小值分别为21m,29m.∴.一个 直角三角形三条边的长之和最小为20+21+29=70(m). :图案是由四个全等的直角三角形组成，∴.需要种70X 4=280(株)花， 第3章拔尖自主测评 1.A82+152=289=172,∴.A符合题意.√3，W5不 是整数，∴.B不符合题意，√2不是整数，∴C不符合题 意..22+122≠142，.∴.D不符合题意 2.C如图，连接AC.S1=2,S2=4,S1=11,∠ADC= ∠ABC=90°，∴.AC2=AB2+BC2=S2+S3=4+S3, AC2=AD2+CD2=S,+S1=13.∴.4+S3=13..S3= BC2=9.∴.BC=3(负值舍去). B D C (第2题) 3.C如图，连接CE,则易知∠CEB=90°.由题意，得 BE=1cm,EC=2cm在Rt△BEC中，由勾股定理，得 BC=√BE+ECz=√1+2=√5(cm).又，AB= 2cm,CD=1cm,∴.按此手势解锁一次手机的路径长为 AB+BC+CD=2+√5+1=(3+5)cm B⊙⊙ E①-⊙①C A①⊙①D (第3题) 4.C如图，过点B作BE⊥AC于点E,则∠DEB=90° BC=BD=2,∴DE=CE.:'D为AC的中点，.AD= DC.设DE=CE=x,则AD=DC=2x,∴.AE=AD+ DE=3x,AC=2AD=4x.在Rt△ABE中，根据勾股定理， 得BE=AB2一AE,在Rt△DBE中，根据勾股定理，得 BE2=BD2-DE2,.'.AB2-AE2=BD2-DE2,2- (3)=g-.2=AC=(4)P=16r2=24 AB2+BC=16+4=20,.AC>AB2+BC2..易知 △ABC为钝角三角形 C (第4题) 5.D如图①，：AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90° .AB=20,AD=12,.∴.BD2=AB2一AD2=256. .BD=16.又.AC=13,.CD2=AC2-AD2=25. ∴.CD=5..BC=BD+CD=21.∴.△ABC的面积为 之×21X12=126如图@，同圈，可得BC=BD-(D- 1三△ABC的面积为号×1×12=6，综上所述， △ABC的面积为126或66. C D ① ② (第5题) 6.A由题意，可知CF=2.5m,BE=0.7m,∠ADC= 90°，∴.BD=1.8m.设AC的长为xm,则AB=AC xm..AD=AB-BD=(x-1.8)m.在Rt△ADC中， AD2+CD2=AC2,∴.(x-1.8)2+32=x2,解得x=3.4, 即绳索AC的长是3.4m. 7.2.4:长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚 线的水平距离为1.8m,∴.梯子的顶端距离地面的高度 h=√32-1.82=2.4(m). 8.一√2由题意，得OA=OB=√1+1=2，∴.点A 所表示的数为一2. 9.10,将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠， 42 .∠EBD=∠DBC,AD∥BC,∠A=90°.∴∠EDB=0.7,BF=y十0.7，CF=y-0.7.:AF⊥BC,∴.易得 ∠DBC..∠EBD=∠EDB.∴.ED=EB.又：∠A= AB2-BF2=AC2-CF2=AF2..42-(y+0.7)2=32 90°，AE=3cm,AB=4cm,∴.BE=W√AE2+AB= (y-0.7)2..y=2.5..BC=5.32+4=5, Vg+平=5(cm.DE=5cm5se=号DE· ∴.AC2+AB2=BC2.∴·△ABC为直角三角形 15.(1).AB=AC,AD LBC,.BD=CD.BC=10, AB=号×5X4=10(cm). ∴.BD=5.在Rt△ABD中，AB=13,BD=5,∴.AD= 12.在Rt△BDF中，∠CBE=45°，.∠DFB=45°= 10.45°如图，取格点F,连接BF,CF,则易得∠EBF ∠DBF.∴.DF=BD=5..AF=AD-DF=12-5=7. ∠ABD.:BC=CF=√22+1下=W5,BF=√32+1= (2)在BF上取一点H,使BH=EF,连接CF,CH.由(1)， √10，(W5)2+(W5)2=(√10)2，∴.△BCF是等腰直角三 知∠DFB=∠DBF=45.:∠DFB=∠AFE,∴.∠DBF= 角形.∴.∠CBF=∠EBF十∠CBE=45°.∴.∠ABD+ BH=FE, ∠CBE=45°. ∠AFE.在△CHB和△AEF中， ∠CBH=∠AFE, BC=FA, ∴.△CHB≌△AEF.,.CH=AE,∠CHB=∠AEF ∴.∠CEF=∠CHE..CE=CH.BD=CD,FD⊥ BC,.CF=BF..∠CFD=∠BFD=45°.∴.∠CFB= (第10题) 90°，即CF⊥EH.∴.EF=FH.在Rt△CFH中，由勾股定 n. 理，得CF2+FH=CH,∴.BF2+EF2=AE2. 设AB=AC=x,则AD=AB-BD=x-2. CD⊥AB,∴.∠ADC=90°.在Rt△ACD中，由勾股定 16(D气.(2)画法不唯-，如图①所示.：AB-瓜a, 理，得CD+AD2=AC2,即5+(x-2)2=x2,解得x= BC=5a,AC=VI7a,.S△Ax=2a·4a-2·a· 翠AB的长为牌 1 2a-2·2a·2a-2·a·4u=3a.(3)如图②，先建 12.48设在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D. 立一个长方形网格（每个小长方形的长为，宽为m),再在 .BD CD,2AC 2CD 32..AC 16-CD. :CD2+AD2=AC,即CD2+82=(16-CD)2,∴.CD= 网格中画出△ABC(画法不唯一.AB=√(2m)2十(2n)= 6.·.BC=2CD=12.∴三角形的面积为2×12×8=48 √/4m2+4n2,AC=√m2+(4n)z=√m2+16n2,BC= √/(3m)2+(2n)7=√9m2+4n2,.S△Ac=3m·4n 13.设AB=x米，则AD=(x+2.4)米，AE=(x-1.6)米. 1 1 :DE⊥AB,∴.∠AED=90°..在Rt△ADE中，根据勾 ·m·4n-2·3m2m-2 ·2m·2=5mm. 股定理，得AE2+DE2=AD2,即(x-1.6)2+102=(x十 6n 2.4)2,解得x=12.1,即AB=12.1米..这栋居民楼AB 的高度为12.1米. 6m 14.(1)连接CE.设AE=x,则BE=4一x.DE是BC 的垂直平分线，∴.CE=BE=4-x.∠BAC=90°，AC= 3AE+AC=CE,即r+8=4-x.= ① ② (第16题) (2)设BD=y,则易知CD=y.:DF= 第4章 平面直角坐标系 4.1点的位置与坐标表示 1)对应的点可能是P. 2.B-2<0,a2十1>0，.点P所在的象限是第二 第1课时认识平面直角坐标系 象限 3.四(a-2)2+1b+3=0,∴.a-2=0,b+3=0. 1.C由题意，得m>0,.一m<0.n-1<n,点P的 ∴.a=2,b=一3.∴.点A的坐标为(2，-3)..点A在第 横坐标小于0，且纵坐标小于点E的纵坐标，∴.（一m,n 四象限. D43拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 第3章拔尖自主测评 ◎满分：100分◎时间：60分钟 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.下列各组数中，属于勾股数的是 A.8,15,17 B.√3，√4,5 C.1,12 D.2,12,14 2.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四 个正方形，其面积分别记为S1,S2,S3,S4.若S1=2,S2=4,S4=11,则BC的长为 () A.1 B.2 C.3 D.4 B⊙⊙ C ①⊙①c R A①⊙①D F E (第2题) (第3题) (第4题) (第6题) 3.如图所示为小英爸爸设置的手机手势密码图.已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为 1cm,手指沿A-BCD的顺序解锁，则按此手势解锁一次手机的路径长为 () A.5 cm B.(3+√3)cm C.(3+√5)cm D.6cm 4.如图，在△ABC中，D为AC的中点，已知BC=BD=2,AB=4,则△ABC是 () A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 5.在△ABC中，AB=20,AC=13,高AD=12,则△ABC的面积为 A.66 B.126 C.54或44 D.126或66 6.如图，当秋千AB静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.7m,将它往前推3m至C处时（即 水平距离CD=3m),踏板离地的垂直高度CF=2.5m,它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是 () A.3.4m B.5m C.4m D.5.5m 二、填空题（每小题4分，共24分）》 7.[2025连云港中考]如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的水平距离为1.8m, 则梯子的顶端距离地面的高度h为 m. *1.8m* -2A-101 (第7题) (第8题) (第9题) 8.如图，以数轴上1个单位长度为边长作正方形，已知OA=OB,则数轴上点A所表示的数为 9.如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C处，BC'交AD于点E.若AB= 4cm,AE=3cm,则重叠部分（即△BDE)的面积是 cm2. 72 第3章勾股定理 10.如图，在由边长均为1的小正方形组成的网格中，A,B,C,D,E均是格点，则∠ABD十∠CBE 的度数为 B (第10题) (第11题) 11.如图，在△ABC中，AB=AC,过点C作CD⊥AB于点D.若CD=5,BD=2,则AB的长为 12.若等腰三角形的底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为 三、解答题（共52分） 13.(10分)在城市建筑测量中，经常会用到几何知识.如图，小明家附近有一栋居民楼AB,在一次 高空作业时，工作人员将一根绳子的一端固定在楼顶A处，然后在地面上拉着绳子移动，当他 移动到距离该居民楼10米的点C处时（即DE=BC=10米），拉直的绳子的另一端恰好位于他 的头顶D处，已知该工作人员的身高CD=1.6米，绳长AD比楼高AB多2.4米，DE⊥AB于 点E,CD=BE,图中所有的点都在同一平面内.请你根据以上信息，求出这栋居民楼AB的 高度 D (第13题) 14.(12分)如图，在△ABC中，AB=4,AC=3,DE是BC的垂直平分线，交BC于点D,交AB于 点E,AF⊥BC于点F (1)若∠BAC=90°，求AE的长. (2)若DF=0.7,求证：△ABC为直角三角形. D F (第14题) 73 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 15.(14分)在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,∠CBE=45°，BE分别交AC,AD于点E,F. (1)如图①，若AB=13,BC=10,求AF的长. (2)如图②，若AF=BC,求证：BF2+EF2=AE2. ① (第15题) 16.(16分)【问题背景】 在△ABC中，AB,BC,AC三边的长分别为2，√I3,√I7,求这个三角形的面积.小辉同学在解 答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角 形ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示.这样不需要求△ABC的 高，只借用网格就能计算出它的面积. (1)△ABC的面积为 。 【思维拓展】 (2)若△ABC三边的长分别为√5a,√⑧a,√17a(a>0),请利用图②的正方形网格（每个小正方 形的边长为a)画出相应的△ABC,并求出它的面积. 【探究创新】 (3)若△ABC三边的长分别为√m2+16n2,√9m2+4n2,√4m2+4n2(m>0,n>0,且m≠n), 试运用构图法求出这个三角形的面积 ① ② (第16题) 74 >“答案与解析”见D42