重难题型卷(三)勾股定理及应用-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学练考试卷（苏科版·新教材）江苏专版

真题圈数学 同步调研卷 八年级上15S 狗 8.重难题型卷（三） 勾股定理及应用 尽 题型一 面积问题 语H H期 1.(月考·2023-2024苏州立达中学)如图，分别以Rt△ABC的 三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边AB=4,则图中阴 影部分的面积为() A.4 B.8 C.10 D.12 A B 製 第1题图 第2题图 第3题图 2.数学文化我国数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦 图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图变化得到的，它是 由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD, 正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若 S1+S2十S3=21,则S2的值是() % A.9.5 B.9 C.7.5 D.7 3.(期中·2024-2025南京鼓楼区)如图，把一个直立的火柴盒放 倒，AB=5cm,BC=2cm,则△ACD的面积为 题型二解三角形 4.(期中·2023-2024无锡惠山区)在△ABC中，AB=20,AC= 15,BC=7,点A到BC的距离是 5.(期中·2024-2025南京鼓楼区)如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=4,CD是△ABC的中线，E是CD的中点，连接AE, BE,若AE⊥BE,垂足为E,则BC的值为 些0 明删 B 题) 第5题图 第6题图 副 6.(月考·2023-2024南京求真中学改编)在直角三角形中有一 个非常著名的定理：勾股定理“直角三角形两条直角边的平方 和等于斜边的平方.”如图，在△ABC中，∠CAB=45°，AC 5,AB=4,在BC的右侧作Rt△BCD,连接AD,若∠BCD= 90°，CD=CB,则AD2的值为 7.(期中·2023-2024南京鼓楼区)如图，在△ABC中，AB=AC, BC=13,点D为AB上一点，且满足CD=12,BD=5. (1)判断△BCD的形状，并说明理由. (2)求AC的长. D 第7题图 题型三折叠问题 8.(期末·2024-2025苏州四区联考)如图，在Rt△ACB中， BC=3,AB=5,∠BCA=90°，在AC上取一点E,连接BE,将 △ABE沿BE翻折得到△A'BE,使得点A'落在直线BC上， 则AE的长度为() A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 B G ---D CH- ---c-B B O E 第8题图 第9题图 第10题图 9.(期中·2024-2025南京外国语改编)如图，把一张长方形纸片 ABCD沿EF折叠，点C与点A重合，点D落在点G处.若长 方形的长BC为8，宽AB为4，则阴影部分的面积为 10.(期中·2024-2025南京鼓楼区)如图，在△ABC中，∠ACB= 135,AC=2,BC=号，D,E分别是AB,BC边上的点.把 △ABC沿直线DE折叠，若点B落在AC边上的点B'处，则 CE的取值范围是 25 11.探究性试题（期中·2023-2024无锡惠山区）在长方形纸片 ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的 直线折叠，使点D落在点F处 (1)如图①，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则 ∠DAE的度数为 (2)如图②，若点F落在边BC上，且AB=6,AD=10,求CE 的长 (3)如图③，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点 G,且AB=6,AD=10,求CG的长. E B ② ③ 盗印必穷 第11题图 爱学子 拒绝盗印 题型四实际应用 12.(期中·2024-2025南京求真中学改编)如图，一支 长为15cm的铅笔放在一个透明的长方体笔筒 中，已知笔筒的三边长度依次为3cm,4cm, 12cm,那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的 范围是() A.2cm≤x≤5cm B.2cm≤x≤3cm 4 C.4cm≤x≤5cm D.9cm≤x≤12cm 第12题图 13.数学文化（期中·2023-2024无锡惠山区改编）《九章算术》 是古代数学代表作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn,门槛 的意思)一尺，不合二寸.问：门广几何？”题目大意是：如图① ②（图②为图①的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距 离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10 寸)，则AB的长是 寸 2寸 D B 0 ① ② 第13题图 14.数学建模几何（中考·2024淮安市）某公园广场的地面由形 状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠的拼接） 而成，铺设方式如图①.图②是其中一块地砖的示意图，AB= EF,CD=GH,BC=FG,BC∥FG,AB∥CD∥GH∥EF,部 分尺寸如图所示（单位：dm).结合图①、图②信息，可求得BC 的长度是 dm. A 10 ② 第14题图 15.（期中·2024-2025南京外国语改编)如图，公路上A,B两点 相距50km,C,D为两村庄，DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点 B,已知DA=30km,CB=20km,现在要在公路AB上建一 个土特产品市场E,使得C,D两村庄到市场E的距离相等， 则市场E应建在距A点多少千米处？并判断此时△DEC的 形状，请说明理由. 第15题图 16.(期中·2023-2024苏州振华中学)如图，有一辆环卫车沿公 路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与 直线AB上两点A,B的距离分别为200m和150m,AB= 250m,环卫车周围130m以内为受噪声影响区域： (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min,求环卫车 的行驶速度. 第16题图 题型五动点问题 17.(期中·2024-2025无锡惠山区)如图，在△ABC中，AB=5, BC-号，S=21,D是BC的中点，动直线1经过点D, AE⊥l,BF⊥l,垂足分别为E,F,则AE十BF的最大值 为() A.8 C1? D.9 3 B 第17题图 第18题图 18.(模考·2023连云港外国语改编)如图，在△ABC中，AB= BC=6,AO=BO,P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°， 则当△PAB为直角三角形时，AP2的值为 -26 19.探究性试题（期中·2024-2025常州武进区）如图，在△ABC 中，AB=AC,CD⊥AB于点D,且BD=4,AD=6. (1)计算CD的长. (2)动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点 A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点 C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点M运 动的时间为t(秒)， ①若△DMN的边与BC平行，求t的值； ②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE 能否成为等腰三角形？若能，直接写出t的值；若不能，请说 明理由 C 备用图 备用图 印必 第19题图 关爱学子 拒绝盗印8.重难题型卷（三）勾股定理及应用 1.B【解析】如图，在Rt△AHC中， AC=AH2+HC,AH=HC, ∴.AC=2A=2HC, 同理可得BC=2CF=2BF, AB2=2AE=2BE2 在Rt△ABC中， AB2=AC+BC,AB=4, ∴.S阴影=SAAHC十S△BrC十S△ABB =2HC·AH+2CF·BF+ 第1题答图 合AE·BE -AH+CR+2AE* -(AC+BC+AB)-(AB+AB) =}X2AB=2AR=名×4=8 故选B. 2.D【解析】设全等的直角三角形的两条直角边分别为a,b且a> b,由题意可知S1=(a十b)2,S2=a2+b,S3=(a一b)2. 因为S+S2+S3=21, 即(a+b)2+a2+b+(a-b)2=21,所以3(a2+b)=21, 所以3S2=21,所以S2=7.故选D 3号cmr【解析】由题意得ACLCD,AC=CD,∠B=90 .AB=5 cm,BC-2 cm, ∴.AC=√AB+BC=√52+2=√29(cm), .CD=√29cm, :Saw=AC.cD-V西XV西-号(am). 故答案为婴cm。 4.12【解析】如图，过点A作AD⊥BC 交BC的延长线于点D. 在Rt△ABD与Rt△ACD中， 由勾股定理得，AB-BD=AD= AC-CD, 即202-(7+CD)2=152-CD, -------- .CD=9, B C D .AD=AC-CD=152-92=122, 第4题答图 ∴.AD=12,即点A到BC的距离是12. 故答案为12. 5.28【解析】AE⊥BE,.∠AEB=90°. ,CD是△ABC的中线，AB=4, .DE是△ABE斜边AB上的中线， DE=AD=号AB=2. ,∠DAC=90°，E是CD的中点， .AE-DE-CE=2, .CD=4,∴.AC=√CD-AD=√42-2z=2√3， ∴.BC2=AB2+AC=42+(23)2=28, 故答案为28. 6.66【解析】如图，过点C作CE⊥AC,且使CE=AC, 连接AE,BE :∠BCD=90°，CE⊥AC, ∴.∠BCD=∠ACE=90°， .∠BCE=∠ACD CE=CA, 在△ECB和△ACD中，∠ECB=∠ACD, CB=CD, 真题圈数学八年级上15S ∴.△ECB≌△ACD(SAS), ∴.BE=AD. .CE=AC=5,∠ACE=90°， ∴.∠EAC=45°， 由勾股定理可得 AE=CE+AC=50. ∠CAB=45°，∴.∠EAB=90°， .BE=AB+AE=42+50=66, .AD=66. 第6题答图 故答案为66. 7.【解】(1)△BCD为直角三角形.理由： 在△BCD中，CD+BD=122+52=169, BC2=132=169,.CD+BD=BC,∴.∠CDB=90°， 即△BCD为直角三角形. (2).△BCD为直角三角形，且∠CDB=90°， .∠ADC=180°-∠CDB=90°. 在Rt△ACD中，∠ADC=90°，则AD+DC=AC. 设AC=x,则AD=AB-BD=x-5,则(x-5)2+122=x, ∴.x=16.9,即AC=16.9. 8.C【解析】在Rt△ACB中，由勾股定理可得 AC=√AB2-BC=√52-32=4， 设AE=x,则CE=4一x, 由折叠的性质可得A'B=AB=5,A'E=AE=x, ∴.CA'=BA'-BC=5-3=2. CA'2CE2=AE2, ∴.22+(4-x)2=x2,.x=2.5.故选C 9.号【解析】设DE=EG=x,则AE=8-z, 在Rt△AEG中，AG+EG=AE, .16+x2=(8-x)2,解得x=3,.DE=3. 如图，过点G作GM⊥AD于 点M, 则2AG·GE=2AE.GM A .AG=4,AE=AD-DE=5, GE=DE=3, GM= 5 F “Sm=GM,DE-S 第9题答图 故答案为号。 103<CE≤号【解析I血图，过点A作AFLBC交BC的延长 线于点F,则∠F=90°. :∠ACB=135,AC=E,BC=号， .∠FCA=180°-∠ACB=45°， .∠FAC=∠FCA=45°，∴.AF=CF, .AC=√AF+CF=√2CF=√2，∴.AF=CF=1. 如图①，当点B与点C重合时，CE的值最大， :点B与点B关于直线DE对称， .点C与点B关于直线DE对称，∴.DE垂直平分BC, cE-Bc-合×号-吾 A(B') D -:=-B C(B) B C/E ① ② 第10题答图 答案与解析 如图②，当点B与点A重合时，CE的值最小， :点A与点B关于直线DE对称，∴.DE垂直平分AB, ·AE=BE=3-CE, 5 ,AF2十EF2=AE,EF=1十CE, 1P+(1+CE=(停-CE),解得CE-8 :CE的取值范围是名<C≤各， 故答案为8<CE≤吾， 11.【解】(1)18 (2)'四边形ABCD是长方形， ∴.∠B=∠C=90°，BC=AD=10,CD=AB=6. 由折叠的性质得AF=AD=10,EF=ED, .BF=AF2-AB2=102-62=82,.BF=8, ∴.CF=BC-BF=10-8=2. 设CE=x,则EF=ED=6-x, 在Rt△CEF中，由勾股定理得22十x2=(6一x)2, 解得x=号，即CE的长为号. (3)连接EG,如图所示， 点E是CD的中点， D .DE=CE. 由折叠的性质得AF=AD=10, ∠AFE=∠D=90°，FE=DE, .∠EFG=90°=∠C,CE=FE 在Rt△CEG和Rt△FEG中， EG=EG, CE=FE, .'.Rt△CEG≌Rt△FEG(HL), 第11题答图 .CG=FG. 设CG=FG=y, AG=AF+FG=10+y,BG=BC-CG=10-y, 在Rt△ABG中，由勾股定理得62+(10一y)2=(10+y)2, 解得y品，即cG的长为品 12.B【解析】由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在 笔筒外的部分长度x最大，最大值为15-12=3(cm), 由勾股定理得底面长方形对角线的长为5cm, 由勾股定理，得长方体的体对角线长的平方为52十12=132， 故长方体的体对角线长为13cm, 当铅笔沿着长方体的体对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分 长度x最小，最小值为15-13=2(cm), ∴.这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是2cm≤x≤ 3cm.故选B. 13.101【解析】如图所示，过点D作DE⊥AB于点E, 由题意，得OA=OB=AD=BC. 2寸 1尺 EO 第13题答图 设OA=OB=AD=BC=r寸， 则AB=2r寸，DE=10寸，OE=号CD=1寸， 所以AE=(r一1)寸. 在Rt△ADE中，AE+DE=AD, 即(r-1)2+102=, 解得r=50.5,所以2r=101, 所以AB=101寸. 故答案为101. 14.5.8【解析】如图，过点C作CM⊥AB,交AB的延长线于点 M,设AB=adm,CD=bdm H D G 3 B -10 第14题答图 由题图可知，GF=BC=AB+CD,DN=7一3=4(dm),四边形 CDNM是长方形，则MN=CD=bdm,∠BMC=90°， BM=10-AB-MN=[10-(a+6)]dm. ,C形+Bf=BC,∴.42+[10-(a+b)]2=(a+b)2, .a十b=5.8,∴.BC=5.8dm.故答案为5.8. 15.【解】市场E应建在距A点20km处，此时△DE℃是等腰直角 三角形.理由：设AE=x,则BE=50-x, 在Rt△ADE中，DE=302+x2, 在Rt△CBE中，CE=202+(50-x)2, 故302+x2=202+(50-x)2, 解得x=20,即AE=20km. “.AE=20km=CB,AD=30km=BE=50-20=30(km), ∠A=∠B=90°，∴.△ADE≌△BEC(SAS), ∴.DE=CE,∠AED=∠BCE. ∠BCE+∠BEC=90°，∴.∠AED+∠BEC=90°， .∠DEC=90°，.△DEC是等腰直角三角形. 16.【解】(1)学校C会受噪声影响，理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB于点D. :AC=200m,BC=150m, B AB=250m, E .∴.AC+BC=AB. D .△ABC是直角三角形， 且∠ACB=90° .SAC=?AC·BC=2CD·AB. 第16题答图 ∴.AC·BC=CD·AB,即200×150=250XCD, 解得CD=120m .·环卫车周围130以内为受噪声影响区域， ∴.学校C会受噪声影响. (2)当EC=130m,FC=130m时，正好影响学校C, ,ED=EC-CD=1302-1202=50,.ED=50m .EF=2ED=100m. ,环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min, ,∴.环卫车的行驶速度为100÷2=50(m/min). 答：环卫车的行驶速度为50m/min. 17.B【解析】如图，连接AD,记AC与 直线L交于点M.过点A作AH⊥ BC于点H,过点C作CN⊥AE,交 H N AE的延长线于点N,CK⊥直线l于 点K,则EN=CK. 第17题答图 :BF⊥L, ∴.∠BFD=∠CKD=90° ,D是BC的中点，.BD=CD. ∠BFD=∠CKD, 在△BDF和△CDK中，3∠BDF=∠CDK, BD-CD, .△BDF≌△CDK(AAS),∴.BF=CK=EN, .∴.AE+BF=AE+EN=AN, 由图可知AN≤AC,∴.AE+BF≤AC, .AE十BF的最大值为线段AC的长 SwNe-AH BC-21,BCAH-4, 2 在Rt△ABH中，AB=5,AH=4,由勾股定理得BH= AB-AF-3.CH-BC-BH--- 在R△AHC中，由勾股定理得AC=√AF+CF-名， :AE+BF的最大值为号.故选B 18.9或27或63【解析1①当点P在AB下方时， I.当∠APB=90时，如图①，，AO=BO,∴.PO=BO. :∠AOC=60,.∠BOP=60°，∴.△BOP为等边三角形， .BP=B0=号AB=3. 由勾股定理可得AP2=AB-BP2=62-32=27. Ⅱ.当∠ABP=90时，如图②，，∠BOP=∠AOC=60°， ·∠BP0-30,B0=2PO 又B0=2AB=3,.PO=AB=6, .由勾股定理可得BP=PO-BO=62-32=27, 在Rt△ABP中，AP2=AB2+BP2=62+27=63. ②当点P在AB上方时，如图③，，AO=BO,∠APB=90°， .PO=AO. :∠AOC=60°，∴.△AOP为等边三角形， ∴.AP=AO=3,∴.AP2=9. 综上，当△PAB为直角三角形时，AP的值为9或27或63. 故答案为9或27或63. 0 ⑦ ② B O\ ③ 第18题答图 19.【解】(1)：CD⊥AB,.∠ADC=90°，.CD+AD=AC. .AD=6,AC=AB=10, .由勾股定理得CD=√AC一AD=8. (2)①BD=4,AD=6,∴.AC=AB=10. CD⊥AB,.∠ADC=90, ∴.CD=√/AC2-AD=√I02-62=8. :AB=AC,∴.∠ACB=∠B. 若△DMN的边与BC平行，当MN∥BC时，∠ANM= ∠ACB,∠AMN=∠B,,∴.∠ANM=∠AMN, ∴.AM=AN,即10-t=t,.t=5; 当DN∥BC时，同理得AN=AD=6,.t=6. 综上所述，若△DMN的边与BC平行时，t的值为5或6. ②△MDE能成为等腰三角形.：的值为9或10或碧。 分析：·BD=4,AD=6,CD=8,AC=10,点E是边AC的中 点，∴.DE=AE=CE=5. 当点M在BD上，即0≤t<4时，△MDE为钝角三角形，但 DM≠DE;当t=4时，点M运动到点D,构不成三角形；当点M 真题圈数学八年级上15$ 在DA上，即4<≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能. 若DE=DM,则t-4=5,∴.t=9. 若ED=EM,则点M运动到点A, A ∴.t=10. 若MD=ME=t-4, 如图，过点E作EF⊥AD于点F, 'DE=AE,EF⊥AD, .'AF=DF=3. B 在Rt△AEF中，EF2=AE2-AF2= 第19题答图 52-32=16,.EF=4(负值已舍去). .BM=t,BF-BD+DF=4+3=7,..MF=t-7. 在Rt△EMF中，EF+MF=EM, +-)=-=9 综上所述，符合要求的：的值为9或10或碧。 9.期中学情调研（一） 题号12345678 答案AC C DA CBC 1.A2.C3.C 4.D【解析】：△ABC≌△ABC', ∴.∠BAC=∠BAC'=80°，∠C=∠C=68°. AC∥BC,∴.∠CAC=∠C=68°， .∠BAC=∠BAC-∠CAC=80°-68=12°.故选D. 5.A【解析】在△ABC中，∠B=60°，∠C=35°， .∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=85° 由作图方法可知MN垂直平分AC,.AD=CD, ∴.∠DAC=∠C=35°， ∴.∠BAD=∠BAC-∠DAC=50°.故选A 6.C【解析】如图，由题意得AD=6m,BD=CE=2m,BC=DE =6m,∠ABC=90°，∴.AB=AD-BD=4m D 第6题答图 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=√AB+BC=√52m .7.2<√52<7.3.故选C. 7.B【解析】如图，过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EF⊥ BC于点F. B 第7题答图 .AB=AC,.'.BH=HC. ,∠ACE=90°，.∠ACH+∠ECF=90° ∠CAH+∠ACH=90°，∴.∠ECF=∠CAH. ∠AHC=∠CFE=90°， 在△ACH与△CEF中，∠CAH=∠ECF, LAC=CE, ·△ACH2ACEF(AAS),·EF=CH=号BC-3, ·△BCE的面积=号BC·EF=号×6X3=9故选B