1.5 第4课时 直角三角形的性质定理&专题特训四 等腰三角形中的分类讨论-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

第1章三角形 第4课时直角三角形的性质定理 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，有下列判断： ①∠DCB=∠A;②∠DCB=∠ACE;③∠ACD=∠BCE:④∠BCE=∠BEC.其中，正确的 个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 C (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AD=AB,E,F分别是BD,AC的中点.若AC=8,则 EF的长为 3.如图，在△ABC中，AD是高，E,F分别是AB,AC的中点.若AB=10cm,AC=8cm,则四边形 AEDF的周长为 cm. 4.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC=BF,E是CF的中点.求证： (1)DE⊥CF. (2)∠B=2∠BCF. D (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.易错题如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,BC=6,线段DE的两个端点D,E分别 在边AC,BC上滑动，且DE=4.若M,N分别是DE,AB的中点，则MN长的最小值为() A.2 B.3 C.3.5 D.4 D M/ (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，F是AB的中点，AD与FE,BE分别交于点 G,H,∠CBE=∠BAD.有下列结论：①FD=FE;②AH=2CD;③S△ABC=4S△ADF;④连接 HC,则∠EHC=45°.其中，正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6,AF⊥BC于点F,BE⊥AC于点E,且D是AB的中点， △DEF的周长是13，则AB= 35 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中点，E,F分别是AC,BC延长线上 的点，且CE-CF-号AB,则∠EMF的度数为 9.如图，在锐角三角形ABC中，CF⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为F,E,连接EF,M, N分别是BC,EF的中点，连接MN,EM,FM. (第8题) (1)求证：MN⊥EF (2)若∠A=80°，求∠EMF的度数， M (第9题) 10.(1)如图①，P是∠AOB内部的任意一点，PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,D是OP 的中点，连接DM,DN.求证：∠MDN=2∠MON. (2)如图②，P是∠AOB外部的任意一点，PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是M,N,D是OP 的中点，连接DM,DN,则∠MDN与∠MON有何数量关系？请说明理由. M ① ② (第10题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.将两块斜边长为2的三角尺(Rt△ABC与Rt△ABD)按如图所示的方式摆 放，其斜边完全重合，且CA=CB,∠ABD=60°.E为AB的中点，连接EC, ED,CD,则△ECD的面积等于 12.舒向探究题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上（不与点 (第11题) A,C重合)，DE⊥AB于点E,连接BD,F为BD的中点，连接EF,CF,CE (1)若BD=10,求EF的长， (2)写出图中的所有等腰三角形 (3)试猜想∠A与∠CEF的关系并证明. (第12题) 36 >“答案与解析”见D22 第1章三角形 专题特训四 等腰三角形中的分类讨论 类型一当底和腰不确定时引起的分类讨论 1.在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上，连接AD,DE,使得△ADE是等腰三角 形.若∠B=40°，∠BAD=20°，则∠EDC的度数为 () A.10°或40° B.10°或20 C.20°或40° D.10或20°或40° 2.定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”.若等腰三 角形ABC是“三倍三角形”，且其中一边长为3，则△ABC的周长为 类型二当顶角和底角不确定时引起的分类讨论 3.如果某个等腰三角形的两个内角的度数之比为1：4，那么这个三角形三个内角的度数分别为 多少？ 类型三当三角形的形状不确定时引起的分类讨论 4.等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为60°，则等腰三角形的底角度数为 5.已知△ABC的高AD,BE所在的直线交于点F,若BF=AC,求∠ABC的度数. 类型四由点的位置不确定引起的分类讨论 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为 等腰三角形，则符合条件的点P共有 () A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 B C C B (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，∠ABC=40°.若动点D在直线BC上，则当△ABD为等腰三角形时， ∠ADB的度数为 ●“答案与解析”见D24 37易错警示 不能运用等边三角形的性质解题 解答以等边三角形为背景的问题时，不能灵活运用 等边三角形的性质，忽视蕴含在其中的相等角、相等边， 而导致解题思路受限」 8.15如图，分别作边AB,CD,E℉的延长线和反向延长 线，使它们交于点G,H,P.:六边形ABCDEF的六个角 的度数都是120°，∴.六边形ABCDEF的每一个外角的度 数都是60°..易得△APF,△BGC,△DHE,△GHP都 是等边三角形.∴.PA=AF=PF,BG=GC=BC=3cm, DH=DE=EH=2 cm,PG=GH=PH..GH=3+3+ 2=8(cm)..AF=PA=PF=PG-AB-BG=8-1- 3=4(cm)..EF=PH-PF-EH=8-4-2=2(cm). ∴.这个六边形的周长是1十3+3+2+2十4=15(cm). A G C D (第8题) 9.(1)△ABC是等边三角形，∴.∠A=∠B= ∠ACB=60°.DE∥AB,∴.∠B=∠EDC=60°，∠A ∠CED=60°.：EF⊥DE,∴.∠DEF=90°.∴.∠F=30. (2):∠F+∠FEC=∠ECD=60°，∴.∠F=∠FEC 30°.∴.CE=CF.∠EDC=∠ECD=∠DEC=60, ∴.△CED为等边三角形.∴.CE=CD=2..CF=2 .DF=CD十CF=2+2=4. 10.(1):'△ABC是等边三角形，∴.∠ABQ=∠CAP 60°，AB=CA.又点P,Q同时出发，且运动速度相同， (AB=CA, ∴.AP=BQ.在△ABQ和△CAP中，3∠ABQ=∠CAP, BQ=AP, ∴.△ABQ≌△CAP(SAS.(2)不变.由(1)，知 △ABQ≌△CAP(SAS)..∠BAQ=∠ACP..·∠QMC= ∠ACP+∠MAC,,'.∠QMC=∠BAQ+∠MAC= ∠BAC=60°.(3)不变.由(1)，易得△ABQ≌△CAP (SAS)..∠BAQ=∠ACP.,∠QMC=∠BAQ+ ∠APM,∴.∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC= 180°-60°=120°. 第4课时直角三角形的性质定理 1.C'CD是高，∴.∠CDB=90°.∴.∠B+∠DCB= 90°.∠ACB=90°，.∠A+∠B=90°.∴.∠DCB= D ∠A.故①正确.∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中 线，.AE=CE=2AB.∠A=∠ACE.:∠A- ∠DCB,∴.∠DCB=∠ACE.故②正确.∴.∠DCB+ ∠ECD=∠ACE+∠ECD.∴.∠BCE=∠ACD.故③正 确.∠BEC=∠A十∠ACE=2∠A,∠BCE=∠BCD+ ∠ECD=∠A十∠ECD.又：'∠A≠∠ECD,∴.∠BCE≠ ∠BEC.故④错误.∴.正确的有3个. 2.4如图，连接AE.AD=AB,E是BD的中点， .AE⊥BD..△ACE是直角三角形.F是AC的中 点，AC=8EF=2AC=4 B E D (第2题) 3.18.AD是△ABC的高，.∴.∠ADB=∠ADC=90°. :在Rt△ADB中，E是AB的中点，∴.DE=2AB.同理 可得，DF=2AC,:四边形A5DF的周长=AE+DE+ AF+DF=AB+AC=18 cm. 4.(1)如图，连接DF.:'AD是△ABC的边BC上的高， ·∠ADB=90,:F是AB的中点，DF=号AB= BF.DC=BF,.DC=DF.E是CF的中点， .DE⊥CF.(2)DC=DF,.∠DCF=∠DFC. ∴.∠FDB=∠DFC+∠DCF=2∠DCF.:DF=BF, ∴.∠FDB=∠B.∴.∠B=2∠BCF D (第4题) 5.B如图，连接CM,CN.:∠ACB=90°，AB=10, DE=4,M,N分别是DE,AB的中点.∴CN=号AB 5.CM=DE=2.当点C,M,N在同-条直线上时，MN 的长取最小值，.MN长的最小值为5一2=3. A E >B (第5题) 22 易错警示 不能利用三角形的三边关系求最小值 求动线段问题中的两中，点所连线段的最小值，往往 寻找另一点与这两个中点构成三角形，进而利用三角形 的三边关系确定所求线段的最小值 6.D在△ABC中，AD和BE是高，∴.∠ADB= ∠AEB=∠CEB=90°.，F是AB的中点，∴.FD= 2AB,FE=号AB..FD=FE.故①正确：∠CBE= ∠BAD,∠CBE+∠ACB=90°，∠BAD+∠ABC=90°， ∴.∠ABC=∠ACB.∴.AB=AC.AD⊥BC,∴.易得 BC=2CD,∠BAD=∠CAD=∠CBE.'∠ABE=45°， ∠AEB=90°，.△ABE是等腰直角三角形.∴.AE=BE. (∠AEH=∠BEC, 在△AEH和△BEC中，AE=BE, .'.△AEH≌ ∠EAH=∠EBC, △BEC(ASA).∴.AH=BC=2CD.故②正确.△AEH≌ △BEC,.EH=EC.,∠CEB=90°，.△CEH是等腰 直角三角形.∴.∠EHC=45°.故④正确.，F是AB的中 点，BD=CD,∴.SAA=2 S AABD=4S△Ar.故③正确.综 上所述，正确的有4个 7.10:AB=AC,AF⊥BC,·.BF=CF=2BC- 2X6=3.:BELAC,AFLC,:∠AFB=∠AEB= ∠CEB=90.:D是AB的中点，DE=DF=2AB. :∠CEB=90,BF=CP,EF=号BC=BF=3. :△DEF的周长是13，DE=DF=号×(13-3)=5. ∴.AB=2DE=2×5=10. 8.45°如图，连接CM.∠ACB=90°，M是AB的中 点，CM=号AB,AM=BM=号AB.:CE=CF- 2AB,CE=CF=MC.·∠1=∠E,∠2=∠F :∠1+∠E=∠4，∠2+∠F=∠3.&∠1=7∠4， ∠2-7∠3.∠1+∠2=2（∠4+∠3）=3×90- 45°，即∠EMF=45°. M (第8题) D 9.(1).CF⊥AB,BE⊥AC,∴.∠CFB=∠CEB=90°. :M是C的中点BM=FBM=BC,CM=BM= BC.FM=EM.:N是EF的中点MNLEF. 1 (2)∠A=80°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A= 100°.'BM=FM,CM=EM,∴.∠ABC=∠BFM, ∠ACB=∠CEM.∴.∠BFM+∠CEM=100°.∴.∠FMB+ ∠EMC=36O°-（∠ABC+∠ACB+∠BFM+∠CEM)= 160°.∴.∠EMF=180°-（∠FMB+∠EMC)=20°. 10.(1):PM⊥OA,.∠OMP=90°.：D是OP的中 点，DM=专OP=D0.·∠DM0=∠D0M ∴.∠MDP=2∠MOP.同理，可得∠NDP=2∠NOP. ∴.∠MDN=∠MDP+∠NDP=2(∠MOP+∠NOP)= 2∠MON.(2)∠MDN=2∠MON.理由：'PM⊥OA, :∠OMP=90.:D是OP的中点，DM=20P- DO.∴.∠DMO=∠DOM.∴.∠MDP=2∠MOP.同理， 可得∠NDP=2∠NOP.∴.∠MDN=∠NDP- ∠MDP=2(∠NOP-∠MOP)=2∠MON. 1.年如图，过点C作CF⊥DE于点F,则∠CFE- 90°.在Rt△ABC中，CA=CB,E为AB的中点，AB=2, CE-AB=1,-CELAB.·∠CEA=90.在R△MBD 中，E为AB的中点，AB=2,DE=号AB=BE=1. ∠ABD=60°，∴.△DEB为等边三角形.∴.∠DEB= 60°..∠CED=180°-90°-60°=30°.：∠CFE=90°， (第11题) 12.(1)DE⊥AB,∴.∠DEB=90°.F为BD的中 点.EF=2BD-5.(2)△DEF,△BEF,△DCF, △BCF,△CEF是等腰三角形.(3)∠A=∠CEF. :∠DEB=90°，∠ACB=90°，F为BD的中点，∴FE= FB=FC.∴.∠CEF=∠ECF,∠FEB=∠FBE,∠FCB= ∠FBC..∠EFD=2∠EBF,∠CFD=2∠FBC ·∠CEF-号X(180-∠CFE)=号×180-∠EFD 23 ∠CFD)=2×(180-2∠EBF-2∠FBC)=90 ∠EBF-∠FBC..∠A=90°一∠ABC=90°一∠EBF ∠FBC,∴.∠A=∠CEF 专题特训四等腰三角形中的分类讨论 1.AAB=AC,∴.∠B=∠C=40°.∠BAC= 180°-∠B-∠C=100°.∠BAD=20°，∴.∠CAD= ∠BAC一∠BAD=80°.分三种情况讨论：①当AD=AE 时，∠ADE=∠AED=180-,∠CAD=50..∠EDC ∠AED-∠C=10°.②当AD=DE时，∠DAE= ∠DEA=80°.∴.∠EDC=∠AED-∠C=40°.③当 AE=DE时，∠EAD=∠ADE=80°..∠AED=180° ∠EAD-∠ADE=20°.：'∠C=40°，∴.∠AED<∠C,不 成立.综上所述，当△ADE是等腰三角形时，∠EDC的度 数为10°或40°. 2.12或8①当底边长是3时，若两腰长的和是3的三 倍，即为9，满足三角形的三边关系，则△ABC的周长是 9十3=12；若一腰长与底边长的和是另一腰长的三倍，则易 得腰长是1.5，不满足三角形的三边关系.②当腰长是3 时，若两腰长的和是底边长的三倍，则底边长是2，满足三 角形的三边关系，△ABC的周长是3十3+2=8；若一腰长 与底边长的和是另一腰长的三倍，则易得底边长是6，不满 足三角形的三边关系.综上所述，△ABC的周长为12或8. 3.分两种情况讨论：①当底角和顶角的度数之比为1：4 时，设底角的度数为x,则顶角的度数为4x.根据题意，得 x+x+4x=180°，解得x=30°..4x=4×30°=120°. ∴.这个三角形三个内角的度数分别为120°，30°，30°.②当 顶角和底角的度数之比为1：4时，设顶角的度数为y,则 底角的度数为4y.根据题意，得y十4y+4y=180°，解得 y=20°.∴.4y=4X20°=80°.∴.这个三角形三个内角的度 数分别为20°，80°，80°.综上所述，这个三角形三个内角的 度数分别为120°，30°，30°或20°，80°，80°. 4.75°或15°在等腰三角形ABC中，AB=AC,BD为腰 AC上的高，∠ABD=60°.①当△ABC为锐角三角形，BD 在△ABC的内部时，如图①.：BD为腰AC上的高， ∴.∠ADB=90°..∴∠BAD=90°-60°=30°..AB= AC,∠AB=∠ACB=号X(180-30)=752②当 △ABC为钝角三角形，BD在△ABC的外部时，如图②， :BD为腰AC上的高，∴.∠ADB=90°∴.∠BAD= 90°-60°=30°.AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB= ∠BAD=15”,③当△ABC为直角三角形时，不符合题 1 D 意.综上所述，等腰三角形的底角度数为75或15°. 0 ① ② (第4题) 5.①如图①，若△ABC为锐角三角形，：'AD⊥BC, BE⊥AC,∴.∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°.'.∠C十 ∠CBE=90°，∠C+∠CAD=90°..∠CBE=∠CAD.在 ∠BDF=∠ADC, △BDF和△ADC中，〈∠DBF=∠DAC,,.△BDF≌ BF=AC, △ADC(AAS..BD=AD..∠ABD=45°，即 ∠ABC=45°.②如图②，若△ABC为钝角三角形，当 ∠ABC为钝角时，同理，可证△BDF≌△ADC(AAS). ∴.BD=AD.∴.∠ABD=45°..∠ABC=135°.当 ∠BAC或∠ACB为钝角时，同理，可得∠ABC=45°.③若 △ABC为直角三角形，当∠ACB或∠BAC为直角时，易 得∠ABC=45°.当∠ABC为直角时，不符合题意.综上所 述，∠ABC的度数为45°或135° (第5题) 6.B如图，①若PA=PB,作AB的垂直平分线交直线 AC于点P,交直线BC于点P2.此时若连接AP2,则 AP2=BP2.:'AB=2BC,∠ACB=90°，则易得∠ABC= 60°，∴.△ABP2是等边三角形.∴.AB=AP2=BP2.②若 AB=AP,以，点A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC于 点P3,P,交直线BC于点P2.③若BA=BP,以点B为 圆心，BA为半径画圆，交直线BC于点Ps,P2,交直线AC 于点P。.综上所述，符合条件的点P共有6个 P C、P P。 B P (第6题) 7.20°或40°或70°或100°如图①，当AD=AB时， 24 ∠ADB=∠ABC=40°.如图②，当AD=BD时，∠DAB= ∠DBA=40°，∴.∠ADB=180°-2×40°=100°.如图③， 当BD=AB,且△ABD是锐角三角形时，∠ADB= ∠BAD=(180-∠ABC)=70.如图①，当AB=BD, 且△ABD是角三角形时，∠BAD=∠ADB=∠ANBC- 20°.综上所述，∠ADB的度数为20或40°或70°或100°. D C B B ③ ④ (第7题) 专题特训五构造等腰三角形的常用方法 1.(1)等腰.AE∥BC,.∠DAE=∠B,∠EAC ∠C.AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠EAC.∴.∠B= ∠C.∴.AB=AC..△ABC是等腰三角形.(2)3. :BC平分∠ABD,.∠ABC=∠CBD.AC∥BD, ∴.∠C=∠CBD.∴.∠C=∠ABC.∴.AB=AC.AC= 3,AB=3.(3)12.BE平分∠ABC,∴.∠ABE ∠EB.:DE∥BC,∴.∠DEB=∠EBC.∴.∠DEB= ∠ABE.∴.DB=DE..DE=7,AD=5,∴.AB=AD+ DB=AD+DE=12.(4)30.:BF平分∠ABC ∴.∠ABF=∠FBC.:DE∥BC,∴.∠FBC=∠DFB. ∴.∠ABF=∠DFB.∴.DB=DF.同理可得，CE=EF. :AB=12,AC=18,∴.C△ADE=AD+DE+AE=AD+ DF+EF+AE=AD+DB+CE+AE=AB+AC=12+ 18=30.(5)5m.:BP平分∠ABC,∴.∠ABP ∠PBC.PD∥AB,.∠ABP=∠BPD..∠PBC ∠BPD.∴.DP=DB.同理可得，EP=EC.:'BC=5cm, CAPDE PD+DE+EP=BD+DE+EC=BC=5 cm. 2.:BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD.ED∥BC ∴.∠EDB=∠CBD.∴.∠ABD=∠EDB.∴.BE=ED 同理可得，FC=FD.'EF=ED-FD,EB=ED,FC= FD,∴.EF=EB一FC 3.(1)AD=CE.:△ABC是等边三角形，∴.∠ABC= ∠ACB=60°，AB=AC=BC.·D为AC的中点， ∴.∠DBC=30°，AD=DC.:BD=DE,.∠E= ∠DBC=30°.：∠ACB=∠E+∠CDE,∴.∠CDE= D 30=∠E.∴.CD=CE.AD=DC,.AD=CE (2)AD=CE.如图①，过点D作DF∥BC,交AB于点F, 则∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF=∠ACB=60°.，.易得 △AFD是等边三角形..AD=DF=AF.∴.∠BFD= ∠DE=180°-60°=120°.DFBC,BD=DE,∴.∠FDB= ∠FDB=∠E, ∠DBE=∠E.在△BFD和△DCE中，∠BFD=∠DCE, BD=DE, .△BFD≌△DCE(AAS).∴.DF=EC..AD=CE. (3)若点D在线段AC的延长线上，(2)中的结论仍成立. 如图②，过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P. △ABC是等边三角形，∴.∠A=∠ABC=∠ACB= 60.:'DP∥BC,∴.∠ABC=∠P=∠ACB=∠ADP= 60°.∴.易得△APD是等边三角形.∴.AP=PD=AD. .∠DCE=∠ACB=∠P.DB=DE,.∠DBC= ∠DEC.DP∥BC,.∠PDB=∠CBD..∠PDB= ∠PDB=∠CED, ∠DEC.在△BPD和△DCE中， ∠P=∠DCE, DB-ED, ∴.△BPD≌△DCE(AAS).∴.PD=CE..AD=CE. P D ① ② (第3题) 4.(1):点P,Q运动的速度相同，且同时出发，∴.PB= CQ...AP+AQ=AP+CQ+AC=AP+PB+AC= AB+AC..AB=AC,∴.AP+AQ=2AB.(2)如图 ①，过点P作PF∥AC,交BC于点F.:AB=AC, ∴.∠B=∠ACB.:'PF∥AC,∴.∠ACB=∠PFB, ∠PFD=∠QCD.∴.∠PFB=∠B.∴.PB=PF.由(1)知 PB=CQ.,.PF=CQ.在△PFD和△QCD中， ∠PFD=∠QCD, ∠PDF=∠QDC,∴.△PFD≌△QCD(AAS).∴.PD= PF=QC, QD.(3)在点P,Q运动的过程中，线段DE的长度不 变如图②，过点P作PF∥AC,交BC于点F.由(2)，知 PF-=PB,△PFD≌△QCD.∴DF-DC.∴FD=2FC. PF PB,PE LBC,BE-EF.:EF-7 BF. DE-EF+FD-B+(BF+FC)- 6