3.3 专题特训九 巧用勾股定理解决最短路径问题&综合与实践3 探寻“勾股数”-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

0八的长为8或10 E (第3题) 4.10如图，将长方体的侧面展开，连接AB,则AB的长即 为蚂蚁爬行的最短路程.：AB=√(3+1+3+1)+6= 10(cm),∴.蚂蚁爬行的最短路程为10cm (第4题) 5.26如图，将蚂蚁走过的所有面展开，连接AC,则AC 的长即为蚂蚁需要走的最短路程.根据题意，得展开图为 长方形，其长为22十2=24（米），宽为10米，∠B=90°， ∴.AC=√24+10=26（米）.∴.一只蚂蚁从点A处到 点C处需要走的最短路程是26米。 D (第5题) 专题特训九巧用勾股定理解决最短 路径问题 1.2四边形ABCD是长方形，∴.∠C=90°，CD= AB=3cm,BC=AD=5cm.①当点Q与点D重合时，如 图①.由折叠，可知AD=A'D=5cm.在Rt△A'CD中，由 勾股定理，得A'C=√AD-CD=4cm.②当点P与 点B重合时，如图②.由折叠，可知AB=A'B=3cm, ∴.A'C=BC-A'B=5-3=2(cm).综上所述，点A'在边 BC上可移动的最大距离为4一2=2(cm). B A' B(P) 4 P D(Q) D ① ② (第1题) 2.(1)如图，木柜的部分表面展开图是长方形ACC,A,或 D 长方形ABC,D..蚂蚁能够最快到达目的地的可能路 径为AC,或AC,'.(2)AC=(4+4)2+52=89(dm), AC,2=4+(4+5)2=97(dm2).:AC,>AC,2, ∴.AC,>AC1..蚂蚁爬过的路径AC的长最短. D B C (第2题) 方法归纳 求几何体表面的最短路径问题的一般方法 解决这类求几何体表面的最短路径问题，一般是运 用转化的思想，将空间几何问题转化为平面几何问题， 则待求的最短路径的长即为平面内两，点之间的距离.根 据条件构造直角三角形，运用勾股定理求得线段的长即 可解决问题 3号如图，延长AC到点F,使得AC=CF,连接DP, BF,EF.:∠ACB=90°，∴.直线BC是线段AF的垂直 平分线.∴.AB=BF,AD=DF.∴.AD十DE=DF+ DE≥EF.根据垂线段最短，得EF长的最小值就是△ABF 的边AB上的高.过点F作FG⊥AB于点G.AB=5, ∠ACB=90°，AC=3,∴.BC=WAB2-AC2=4,AF= 2AC=6Sam=AF·BC=AB·FG.FG= AFBC_6X4-4:AD+DE的最小值是得 AB 5 51 D (第3题) 4.如图，作点A关于河岸CD的对称点A',连接BA'交 CD于点P,过点A'作A'B'⊥BF,交BF的延长线于点 B,连接AP.点A,A'关于CD对称，∴.A'E=AE= 2km,A'P=AP.∴.AP+PB=A'P+PB=A'B.∴.将马 赶到点P处饮水，牧马人所走的路程最短.在Rt△A'B'B 中，易得BB'=2+3=5(km),A'B′=EF=12km, ∴.A'B2=A'B2+BB2=122+5=169(km)..A'B= 13km.∴.牧马人需要走的最短路程为13km. A B D (第4题) 41 综合与实践3探寻“勾股数” 1.11,60,61通过观察，得第①组勾股数分别为2×1+ 1=3,2×12+2×1=4,2×12+2×1+1=5:第②组勾股数 分别为2×2+1=5,2×22+2×2=12,2×22+2×2+1= 13;第③组勾股数分别为2×3+1=7,2×32+2×3=24， 2×32+2×3+1=25;第④组勾股数分别为2×4+1=9， 2×4+2×4=40,2×4+2×4+1=41,∴.第⑤组勾股数 分别为2×5+1=11,2×52+2×5=60,2×52+2×5+1= 61,即11,60,61. 2.(1)a2+b2=(2mm)2+(m2-n2）=4m2n2+m 2m2n2+n=m1+2m2n2+n,c2=(m2+n2)2=m+ 2m2n2十n,.a2+b2=c2.m,n是正整数，且m>n, ∴.2m,m2一n2,m2十n2均是正整数.∴.a,b,c是勾股 数.(2)68,285,293（答案不唯一.由(1），可得若 2mm=68,则mm=34.当m=17,n=2时，m2一n2=172 22=285,m2+n2=17+22=293,.68,285,293是一组 含有68的勾股数. 3.(1)24.(2)由题意，得a=k(m2-n2),b=2kmm,c= k(m2十n2)或a=2km,b=k(m2一n2),c=k(m2+n2). 当a=k(m2-n2),b=2k,c=k(m2+n2)时，a2+b= k2[(m2一n2)2+(2)2]=k2(m2+n2)2=c2.同理，当 a=2kmm,b=k(m2-n2),c=k(m2+n2)时，a2+b2=c2 也成立.(3)由题表可知，当最短边长为(21一1)×1= 20(m)时，其余两边长的最小值分别为21m,29m.∴.一个 直角三角形三条边的长之和最小为20+21+29=70(m). :图案是由四个全等的直角三角形组成，∴.需要种70X 4=280(株)花， 第3章拔尖自主测评 1.A82+152=289=172,∴.A符合题意.√3，W5不 是整数，∴.B不符合题意，√2不是整数，∴C不符合题 意..22+122≠142，.∴.D不符合题意 2.C如图，连接AC.S1=2,S2=4,S1=11,∠ADC= ∠ABC=90°，∴.AC2=AB2+BC2=S2+S3=4+S3, AC2=AD2+CD2=S,+S1=13.∴.4+S3=13..S3= BC2=9.∴.BC=3(负值舍去). B D C (第2题) 3.C如图，连接CE,则易知∠CEB=90°.由题意，得 BE=1cm,EC=2cm在Rt△BEC中，由勾股定理，得 BC=√BE+ECz=√1+2=√5(cm).又，AB= 2cm,CD=1cm,∴.按此手势解锁一次手机的路径长为 AB+BC+CD=2+√5+1=(3+5)cm B⊙⊙ E①-⊙①C A①⊙①D (第3题) 4.C如图，过点B作BE⊥AC于点E,则∠DEB=90° BC=BD=2,∴DE=CE.:'D为AC的中点，.AD= DC.设DE=CE=x,则AD=DC=2x,∴.AE=AD+ DE=3x,AC=2AD=4x.在Rt△ABE中，根据勾股定理， 得BE=AB2一AE,在Rt△DBE中，根据勾股定理，得 BE2=BD2-DE2,.'.AB2-AE2=BD2-DE2,2- (3)=g-.2=AC=(4)P=16r2=24 AB2+BC=16+4=20,.AC>AB2+BC2..易知 △ABC为钝角三角形 C (第4题) 5.D如图①，：AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC=90° .AB=20,AD=12,.∴.BD2=AB2一AD2=256. .BD=16.又.AC=13,.CD2=AC2-AD2=25. ∴.CD=5..BC=BD+CD=21.∴.△ABC的面积为 之×21X12=126如图@，同圈，可得BC=BD-(D- 1三△ABC的面积为号×1×12=6，综上所述， △ABC的面积为126或66. C D ① ② (第5题) 6.A由题意，可知CF=2.5m,BE=0.7m,∠ADC= 90°，∴.BD=1.8m.设AC的长为xm,则AB=AC xm..AD=AB-BD=(x-1.8)m.在Rt△ADC中， AD2+CD2=AC2,∴.(x-1.8)2+32=x2,解得x=3.4, 即绳索AC的长是3.4m. 7.2.4:长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚 线的水平距离为1.8m,∴.梯子的顶端距离地面的高度 h=√32-1.82=2.4(m). 8.一√2由题意，得OA=OB=√1+1=2，∴.点A 所表示的数为一2. 9.10,将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠， 42拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 专题特训九巧用勾股定理解决最短路径问题 类型一运动路程的最值问题 1.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片，使点A落在 边BC上的点A'处，当点A'在边BC上移动时，折痕的端点P,Q也随之移动. 若限定点P,Q分别在边AB,AD上移动，则点A'在边BC上可移动的最大距 Q D 离为 cm. (第1题) 2.*如图，一个长方体木柜放在墙角处（与墙面和地面之间均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿 着木柜表面爬到柜角C1处， (1)请画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径， (2)当AB=4dm,BC=4dm,CC,=5dm时，蚂蚁爬过的哪种路径的长最短？ D (第2题) 类型二直线上动点与同侧两点距离之和的最小值问题 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,AB=5.如果D,E分别为BC,AB上的 B D 动点，那么AD十DE的最小值是 (第3题) 4.如图，牧马人在点B处放马，晚上回营，需要将马赶到河岸CD去饮水一次，再回到营地，点A处 已知点A到河岸的距离AE=2km,点B到河岸的距离BF=3km,EF=12km,求牧马人需要 走的最短路程是多少： (第4题) 70 >“答案与解析”见D41 第3章勾股定理 综合与实践3探寻“勾股数” 1.舒境数学文化[2025扬州中考]我国清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾 股数的“罗士琳法则”.该法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了我国传统数学在 数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40， 41;….根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 2.如果满足等式a2+b2=c2的a,b,c是三个正整数，我们称a,b,c为勾股数. (1)已知m,n,k是正整数，且m>n,a=2mm,b=m2-n2,c=m2+n2.求证：a,b,c是勾股数， (2)请写出任意一组含有68的勾股数： 3.舒境数学文化[2025广东中考]《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾 股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c(c为斜边长)都是 正整数，则a,b,c为一组勾股数.下表中的每一组数都是勾股数 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,10 10, ,26 14,48,50 18,80,82 22,120,122 (1)请补全表中的勾股数. (2)根据表中数据呈现的规律，用含m,n,k(m,n,k均为正整数，且m>n)的代数式分别表示 α，b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明. (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形 组成.种花要求：仅在三角形的边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间 的距离均为1m.如果每个三角形的最短边上都种21株花，那么这块绿地最少需要种多少株花？ (第3题) >“答案与解析”见D42