1.5 专题特训五 构造等腰三角形的常用方法&综合与实践1 光的传播与最短路径-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

∠ADB=∠ABC=40°.如图②，当AD=BD时，∠DAB= ∠DBA=40°，∴.∠ADB=180°-2×40°=100°.如图③， 当BD=AB,且△ABD是锐角三角形时，∠ADB= ∠BAD=(180-∠ABC)=70.如图①，当AB=BD, 且△ABD是角三角形时，∠BAD=∠ADB=∠ANBC- 20°.综上所述，∠ADB的度数为20或40°或70°或100°. D C B B ③ ④ (第7题) 专题特训五构造等腰三角形的常用方法 1.(1)等腰.AE∥BC,.∠DAE=∠B,∠EAC ∠C.AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠EAC.∴.∠B= ∠C.∴.AB=AC..△ABC是等腰三角形.(2)3. :BC平分∠ABD,.∠ABC=∠CBD.AC∥BD, ∴.∠C=∠CBD.∴.∠C=∠ABC.∴.AB=AC.AC= 3,AB=3.(3)12.BE平分∠ABC,∴.∠ABE ∠EB.:DE∥BC,∴.∠DEB=∠EBC.∴.∠DEB= ∠ABE.∴.DB=DE..DE=7,AD=5,∴.AB=AD+ DB=AD+DE=12.(4)30.:BF平分∠ABC ∴.∠ABF=∠FBC.:DE∥BC,∴.∠FBC=∠DFB. ∴.∠ABF=∠DFB.∴.DB=DF.同理可得，CE=EF. :AB=12,AC=18,∴.C△ADE=AD+DE+AE=AD+ DF+EF+AE=AD+DB+CE+AE=AB+AC=12+ 18=30.(5)5m.:BP平分∠ABC,∴.∠ABP ∠PBC.PD∥AB,.∠ABP=∠BPD..∠PBC ∠BPD.∴.DP=DB.同理可得，EP=EC.:'BC=5cm, CAPDE PD+DE+EP=BD+DE+EC=BC=5 cm. 2.:BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD.ED∥BC ∴.∠EDB=∠CBD.∴.∠ABD=∠EDB.∴.BE=ED 同理可得，FC=FD.'EF=ED-FD,EB=ED,FC= FD,∴.EF=EB一FC 3.(1)AD=CE.:△ABC是等边三角形，∴.∠ABC= ∠ACB=60°，AB=AC=BC.·D为AC的中点， ∴.∠DBC=30°，AD=DC.:BD=DE,.∠E= ∠DBC=30°.：∠ACB=∠E+∠CDE,∴.∠CDE= D 30=∠E.∴.CD=CE.AD=DC,.AD=CE (2)AD=CE.如图①，过点D作DF∥BC,交AB于点F, 则∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF=∠ACB=60°.，.易得 △AFD是等边三角形..AD=DF=AF.∴.∠BFD= ∠DE=180°-60°=120°.DFBC,BD=DE,∴.∠FDB= ∠FDB=∠E, ∠DBE=∠E.在△BFD和△DCE中，∠BFD=∠DCE, BD=DE, .△BFD≌△DCE(AAS).∴.DF=EC..AD=CE. (3)若点D在线段AC的延长线上，(2)中的结论仍成立. 如图②，过点D作DP∥BC,交AB的延长线于点P. △ABC是等边三角形，∴.∠A=∠ABC=∠ACB= 60.:'DP∥BC,∴.∠ABC=∠P=∠ACB=∠ADP= 60°.∴.易得△APD是等边三角形.∴.AP=PD=AD. .∠DCE=∠ACB=∠P.DB=DE,.∠DBC= ∠DEC.DP∥BC,.∠PDB=∠CBD..∠PDB= ∠PDB=∠CED, ∠DEC.在△BPD和△DCE中， ∠P=∠DCE, DB-ED, ∴.△BPD≌△DCE(AAS).∴.PD=CE..AD=CE. P D ① ② (第3题) 4.(1):点P,Q运动的速度相同，且同时出发，∴.PB= CQ...AP+AQ=AP+CQ+AC=AP+PB+AC= AB+AC..AB=AC,∴.AP+AQ=2AB.(2)如图 ①，过点P作PF∥AC,交BC于点F.:AB=AC, ∴.∠B=∠ACB.:'PF∥AC,∴.∠ACB=∠PFB, ∠PFD=∠QCD.∴.∠PFB=∠B.∴.PB=PF.由(1)知 PB=CQ.,.PF=CQ.在△PFD和△QCD中， ∠PFD=∠QCD, ∠PDF=∠QDC,∴.△PFD≌△QCD(AAS).∴.PD= PF=QC, QD.(3)在点P,Q运动的过程中，线段DE的长度不 变如图②，过点P作PF∥AC,交BC于点F.由(2)，知 PF-=PB,△PFD≌△QCD.∴DF-DC.∴FD=2FC. PF PB,PE LBC,BE-EF.:EF-7 BF. DE-EF+FD-B+(BF+FC)- 6 25BC=号×10=5.在点P,Q运动的过程中，线段DE 的长度不变，DE=5. ② (第4题) 5.(1)∠AGF..∠GFC=∠BAC+∠AGF,∠GFC= 2∠BAC,∴.∠BAC+∠AGF=2∠BAC..∠BAC= ∠AGF.(2)AG=CE.'∠GFC=2∠BAC,∠GFC= ∠FGE,∠FGE=2∠BEG,.'.∠BAC=∠BEG.在△BAC ∠B=∠B, 和△BEG中，了∠BAC=∠BEG,∴.△BAC≌△BEG AC-EG, (AAS)..'BC=BG,AB=EB..'AB-BG=EB-BC, 即AG=CE.(3)如图，延长FG交CB的延长线于点M, 过点M作MNAC交AB的延长线于点N.∴.∠MGN= ∠AGF=∠BAC,∠N=∠BAC.∴.∠N=∠MGN. .'.MG=MN..·∠FGE=2∠BEG=∠BEG+∠GME, ∴.∠BEG=∠GME.∴.MG=GE.AC=GE,∴.MN= ∠NBM=∠ABC, AC.在△NBM和△ABC中，∠N=∠BAC, MN=CA, ∴.△NBM≌△ABC(AAS).∴.BM=BC.设BH=x. HC=2,CE=3,.BM=BC=x+2,EH=5. ∴.MH=BM+BH=2x+2.'MG=GE,GH⊥BC, .MH-EH.. 3 ÷BC=BH+HC-号+2-2 7 (第5题) 综合与实践1光的传播与最短路径 1.(1):l是点B,B的对称轴，点C,C在l上∴.BC= CB',CB=CB..∴.AC十CB=AC+CB'=AB'.在△AC'B 中，AB'<AC'+C'B',∴.AC+CB<AC'+C'B. D (2)如图，点E,F即为所求 (第1题) 2.如图，分别作点A关于FE,FD的对称点A',A”,连接 A'A",分别交FE,FD于点B,C,∴AB=A'B,AC=A"℃ ∴.△ABC的周长=AB+BC+AC=A'B+BC+A"C= A'A.两点之间线段最短，∴.此时△ABC的周长最小， 为A'A"的长.·点A关于FE,FD的对称点为A',A", ∴.∠A'FB=∠AFB,∠A"FC=∠AFC,A'F=AF= A"F.:∠BFC=30°，.∠A'FA"=∠A'FB+∠AFB+ ∠AFC+∠A"FC=2(∠AFB+∠AFC)=60°..△A'FA" 是等边三角形..A'F=A"F=AF=A'A”.当FA⊥DE 时，FA最短.'△DEF的面积为50000m,DE=200m, .Sar=zDE·AF..AF=500m.此时A'A"= 500m,即以A,B,C为顶点的三角形的周长的最小值为 500m. R A4= A” EAD (第2题) 第1章拔尖自主测评 1.DAB=5,BC=6,AC=7,∴.根据“SSS”可画出唯 一的△ABC.故A不符合题意.：AB=5,BC=6,∠B= 45,∴.根据“SAS”可画出唯一的△ABC.故B不符合题 意.AB=5,∠A=50°，∠C=70°，∴.根据“AAS”可画出 唯一的△ABC.故C不符合题意.AB=3,AC=4, ∠C=45°，∴.能画出两种不同的△ABC.故D符合题意. AB=AD, 2.B在△ABC和△ADC中，{CB=CD,∴.△ABC≌ AC=AC, △ADC(SSS).∴.∠ACB=∠ACD.:∠B=128°， ∴.∠BAC+∠ACD=∠BAC+∠ACB=180°-∠B= 180°-128°=52°. 3.B∠A=70°，.∠B+∠ACB=180°-70°=110°. D为BC的中点，ED⊥BC,.ED是BC的垂直平分 线.∴EB=EC.∴.∠ECB=∠B.CF平分∠ACE, ∴.∠ACF=∠ECF.∴.易得∠FCD=∠ECB+∠ECF= 55°.∴.∠F=90°-55=35. 4.C:ABCD,.∠A=∠D.AB=CD,.当添加拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 专题特训五 构造等腰三角形的常用方法 类型一利用“平行线十角平分线”构造等腰三角形 1.(1)如图①，AEBC,AE平分∠DAC,则△ABC的形状是 三角形 (2)如图②，BC平分∠ABD,ACBD,AC=3,则AB的长为 (3)如图③，在△ABC中，BE平分∠ABC,DE∥BC交AB于点D.若DE=7,AD=5,则AB 的长为 (4)如图④，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC,分别交 AB,AC于点D,E.若AB=12,AC=18,则△ADE的周长为 (5)如图⑤，在△ABC中，BC=5cm,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB, PE∥AC,则△PDE的周长是 ③ ⑤ (第1题) 2.如图，在△ABC中，G是BC延长线上一点，∠ABC的平分线与∠ACG的平分线交于点D,过点 D作BC的平行线，交AB于点E,交AC于点F.求证：EF=EB一FC. C G (第2题) 类型二过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 3.△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD=DE. (1)如图①，若点D是AC的中点，线段AD与CE的数量关系是 (2)如图②，若点D不是AC的中点，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论. (3)若点D在线段AC的延长线上，(2)中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明：如果不成 立，请说明理由. B 7 ② 备用图 (第3题) 38 第1章三角形 4.如图①，△ABC中，AB=AC,BC=10,点P从点B出发沿线段BA运动到点A停止，同时点Q 从点C出发沿AC的延长线运动，并与点P同时停止.已知点P,Q运动的速度相同，连接PQ 与线段BC相交于点D(点P不与点A,B重合). (1)求证：AP+AQ=2AB. (2)求证：PD=QD (3)如图②，过点P作PE⊥BC于点E,在点P,Q运动的过程中，线段DE的长度是否变化？ 如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由. ① (第4题) 类型三、利用倍角关系构造新等腰三角形 5.如图，在△ABC中，G是边AB上一点，E是BC延长线上一点，GE交AC于点D,F是AD上一 点，连接GF,∠GFC=2∠BAC,∠FGE=2∠BEG,AC=GE,GH⊥BC于点H. (1)写出图中与∠BAC相等的角： (2)若∠GFC=∠FGE,在图中找出与AG相等的线段并证明. (3)若HC=2,CE=3,求BC的长. 备用图 (第5题) >“答案与解析”见D25 39 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 综合与实践1光的传播与最短路径 1.【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中的“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个 有趣的数学问题一将军饮马.如图①，将军从山脚下的点A处出发，到一条笔直的河边（饮马 后再回到点B处，他时常想，怎么走才能使每天从点A处回到点B处所走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：“如图②，作点B关于l的对称点B',连接AB'与l交于点C,点C就是饮马的地方，此时按 路线ACCB走的路程之和就是最短的.” 小慧：“你能详细解释原因吗？” 小亮：“如图②，在l上另取一点C',连接AC',BC',B'C,只要证明AC+CB<AC'+CB即可.” 【解决问题】 (1)写出小亮的证明过程， (2)如图③，将军牵马从军营点P处出发，先到河边OM饮马，再到草地边缘ON牧马，最后回 到点P处，试在OM和ON上分别找点E,F,使得将军走过的路程最短（辅助线用虚线，最短路 径用实线，不写作法) B ① ② ③ (第1题) 2.【用数学的眼光观察】在综合与实践课上，有这样一个问题：如图①，牧民每天从生活区的边缘点 A处出发，先到草地边的点B处牧马，再到河边点C处饮马，然后回到点A处.如何确定点A, B,C的位置，可使从点A处出发、到，点B处牧马、再到点C处饮马、最后回到点A处所走的路 径最短？ 【用数学的思维思考】将该问题抽象成数学问题，把生活区、草地与河围成的区域看成一个三角 形，则问题可以转化成：在一个三角形的三边上分别确定三个点，使得以这三个点为顶点的三角 形的周长最小.如图②，△DEF为锐角三角形，测得∠F=30°，DE=200m,△DEF的面积为 50000m,求以A,B,C为顶点的三角形的周长的最小值. 草地B 河 A 生活区 ① ⊙ (第2题) 40 >“答案与解析”见D26