专题07 方程思想在勾股定理中的应用八大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以方程思想为主线，系统整合勾股定理应用的八大题型，通过“题型-方法-变式”三层架构实现从知识理解到问题解决的迁移，培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直角三角形边长关系|1典例+3变式|比例设参/和差设元→勾股列方程→求解回代|从基础数量关系到综合边长计算，构建方程应用入门逻辑| |公共高与垂直平分线|各1典例+3变式|公共高平方等量/中垂线性质转化→直角三角形建方程|结合几何性质实现等量转化，深化方程建模能力| |实际应用模型|各1典例+3变式|抽象直角三角形→抓不变量（长度）→设未知数列方程|联系生活情境，培养用数学语言表达现实问题的能力| |翻折与等腰三角形|各1典例+3变式|折叠全等/三线合一→构造直角三角形→勾股方程求解|通过图形变换强化几何直观，提升复杂问题转化能力| |动点存在性|1典例+3变式|动点参数表示线段→分类讨论直角/等腰情形→方程求解|综合动态几何与分类思想，发展逻辑推理与创新意识|

专题07 方程思想在勾股定理中的应用八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 直角三角形三边和差、比例关系求边长 题型02 公共高（公共边平方相等）列方程求线段 题型03 线段垂直平分线结合勾股方程 题型04 实际应用模型：不变量模型（竹竿、梯子、秋千等问题） 题型05 实际应用模型：动点选址、路程相等拦截问题 题型06 翻折问题中的方程思想 题型07 等腰三角形中的勾股方程（作高构造直角三角形） 题型08 几何动点与直角三角形存在性（培优选做） ▌题型01 直角三角形三边和差、比例关系求边长 1. 遇到边长比例，设比例参数；遇到边长和、差，设一条边为，其余边利用和差关系表示。 2. 代入勾股定理列方程； 3. 解出未知数后代回，计算边长、周长或者面积。 【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a：b＝3：4，c＝10，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则a的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B． 【分析】由a与b的比值，设a＝3k，b＝4k，再由c的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出a的长． 【详解】解：由a：b＝3：4，设a＝3k，b＝4k， 在Rt△ABC中，a＝3k，b＝4k，c＝10， 根据勾股定理得：a2+b2＝c2，即9k2+16k2＝100， 解得：k＝2或k＝﹣2（舍去）， 则a＝3k＝6． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及比例的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【变式1-1】直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（　　） A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm 【答案】D． 【分析】根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长． 【详解】解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm， 根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝202， 整理得：x2＝16， 解得：x＝4， ∴两直角边分别为12cm，16cm， 则这个直角三角形的周长为12+16+20＝48cm． 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC+1，求Rt△ABC的面积． 【答案】30． 【分析】根据题意表示出AB，BC的长，再利用勾股定理得出AB的长． 【详解】解：设AB＝x，则BC＝x﹣1， 在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2， 故x2＝52+（x﹣1）2， 解得：x＝13， 即AB＝13． ∴BC＝12， ∴SRt△ABCAC•BC5×12＝30． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的边分别为a、b、c， （1）若a：b＝3：4，c＝15，求a，b的值． （2）若c﹣a＝4，b＝16，求a的值． 【答案】（1）∴a＝27，b＝36； （2）a＝30． 【分析】（1）设a＝3x，则b＝4x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论． （2）根据勾股定理可得a，b，c的数量关系，再把已知条件代入即可求出a的值． 【详解】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b＝3：4， ∴设a＝3x，则b＝4x． ∵a2+b2＝c2，即（3x）2+（4x）2＝152， 解得x＝9， ∴a＝3x＝27，b＝4x＝36； （2）∵△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c， ∴a2+b2＝c2， ∵c﹣a＝4，b＝16， ∴a2+256＝（a+4）2， 解得：a＝30． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． ▌题型02 公共高（公共边平方相等）列方程求线段 1. 向三角形的底边作垂线，同一条高归属于两个不同直角三角形； 2. 利用高的平方作为等量关系：建立等式； 3. 设底边其中一段为，另一段用底边总长减去进行表达。 【典例2】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝7，BD⊥AC，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】设CD＝x，则AD＝7﹣x，在Rt△ABD和Rt△CBD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设CD＝x，则AD＝7﹣x， ∵BD⊥AC， ∴∠BDA＝∠BDC＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CBD中，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2， 即52﹣（7﹣x）2＝42﹣x2， 解得：x， 即CD的长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 【变式1-1】如图，四边形ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝4，CD＝2，点F为BC边上一点，且CF＝1，连接AF，DG⊥AF垂足为E，交BC于点G，则BG的长为 　 ． 【答案】； 【分析】连接AG，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形DMBC为矩形，由勾股定理求出AD，AF，DF的长，设EF＝x，则AE＝5﹣x，得出，求出EF＝1，证明Rt△AEG≌Rt△ABG（HL），由全等三角形的性质得出EG＝BG，设BG＝y，则EG＝3﹣y，由勾股定理得出12+y2＝（3﹣y）2，解方程求出y，则可得出答案． 【详解】解：连接AG，过点D作DM⊥AB于点M，则四边形DMBC为矩形， ∴DM＝BC＝4， ∴AD2， ∵CF＝1，BC＝AB＝4， ∴BF＝3， ∴AF5， ∵DC＝2， ∴DF， 设EF＝x，则AE＝5﹣x， ∵AD2﹣AE2＝DF2﹣EF2， ∴， ∴x＝1， ∴EF＝1， ∴AE＝4， ∴AE＝AB， 在Rt△AEG和Rt△ABG中， ， ∴Rt△AEG≌Rt△ABG（HL）， ∴EG＝BG， 设BG＝y，则EG＝3﹣y， ∵EF2+EG2＝FG2， ∴12+y2＝（3﹣y）2， ∴y， ∴BG， 故答案为：； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1-2】已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2． （1）求∠A的度数； （2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长． 【答案】（1）∠A＝90°； （2）AE＝1.4． 【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数； （2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值． 【详解】解：（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴CE＝BE． ∵BE2﹣AE2＝AC2， ∴AE2+AC2＝CE2． ∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°； （2）在Rt△BDE中，BE5． 所以CE＝BE＝5． 设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2， 所以AC2＝25﹣x2． ∵BD＝4， ∴BC＝2BD＝8． 在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2， 即64＝（5+x）2+25﹣x2， 解得x＝1.4． 即AE＝1.4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． 【答案】(1) 证明：根据题意，设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． (2)12 【分析】（1）利用直角三角形的面积，梯形的面积等于各个三角形的面积和，列式解答即可． （2）设，则，根据勾股定理，得，即，解方程即可． 本题考查了勾股定理的证明与应用，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴． ▌题型03 线段垂直平分线结合勾股方程 1. 垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等，完成线段等量转化； 2. 将相等线段写成含代数式，放入直角三角形列勾股方程； 3. 部分题目没有直接给出直角，需要借助勾股逆定理判定直角。 【典例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长． 【答案】． 【分析】先证明AE＝BE，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接AE． ∵DE为AB的垂直平分线， ∴AE＝BE． 在△ABC中， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝4． 设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得x2+32＝（4﹣x）2， 解得． ∴CE的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1-1】如图，在△ABC中，AC，BC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则AB＝（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A． 【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到AB＝2DE，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，得到AB＝2CD，根据勾股定理列式计算得到得到答案． 【详解】解：连接DE， ∵AD⊥BC，点E是AB的中点， ∴AB＝2DE， ∵DF⊥CE，点F是线段CE的中点， ∴DE＝DC， ∴AB＝2CD， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣DC2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，即（2CD）2﹣（13﹣CD）2＝（）2﹣DC2， 解得，CD＝5， ∴AB＝2CD＝10， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 【变式1-2】如图，某试验基地有一块四边形试验田，基地管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求这块试验田的面积； (2)基地现计划在上建立一个观测点，要求点在的垂直平分线上，请你计算出点到点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理得到，再利用勾股定理逆定理可得，然后根据求解： （2）由垂直平分线的性质可得，设，则，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：，，， ， 又，，， ，即， ， 答：这块试验田的面积为； （2）解：连接， 在的垂直平分线上， ， 设，则， 由（1）知， ，即， 解得， 答：点到点的距离为． 【变式1-3】如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明，，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可； （2）连接，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 设，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ． ▌题型04 实际应用模型：不变量模型（竹竿、梯子、秋千等问题） 1. 将实际实物抽象构造直角三角形； 2. 抓住不变量：梯子长度、竹竿总长、绳索长度保持不变； 3. 设高度、深度等未知量，依据勾股定理列出方程求解。 【典例4】在一条笔直的道路旁，有一根灯杆．为方便顶部安装路灯，在灯杆顶部挂了一条绳子（如图）．已知绳子的长度比灯杆高度多2米，若将绳子的下端拉到距离灯杆底部6米的地面点，绳子恰好触及地面，则灯杆的高度是（    ） A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】B 【分析】设灯杆为x米，则绳子的长为米，再利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图： 设灯杆为x米，则绳子的长为米， 在直角中，米，， ∴， 解得， ∴灯杆为8米． 【变式1-1】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（    ）尺． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得，，由勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 尺， 故选：B． 【变式1-2】如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解题关键． 秋千在运动过程中，长度固定不变，可得．两次的高度分别为和，因此．设，则，直角三角形的三边满足勾股定理，解出即可． 【详解】解：设， ∵绳索长度不变， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在直角三角形中，，代入得， ， 解得，， 故答案为：． 【变式1-3】如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变） 【答案】63cm． 【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长． 【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥DN于点E，延长AA′交CE于F，则∠AFC＝90°． 设A′F＝xcm，则AF＝（55+x）cm， 由题可得，AC＝AB+BC＝65+35＝100（cm），A′C＝65cm． ∵Rt△A′CF中，CF2＝652﹣x2， Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2， ∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2， 解得x＝25， ∴A'F＝25（cm）， ∴CF60（cm）． 又∵EF＝AD＝3cm， ∴CE＝60+3＝63（cm）， ∴点C离地面的距离为63cm． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． ▌题型05 实际应用模型：动点选址、路程相等拦截问题 1. 时间相等、速度相等可以推出路程相等，得到一组相等线段； 2. 在直线上设动点对应的线段长为； 3. 两个直角三角形斜边相等作为等量，列方程求动点的位置。 【典例5】如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 【答案】m． 【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC＝AC，设BC＝AC＝xm，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等， ∴BC＝AC， 设BC＝AC＝xm， 则OC＝（8﹣x）m， 在Rt△BOC中， ∵OB2+OC2＝BC2， ∴32+（8﹣x）2＝x2， 解得x． ∴机器人行走的路程BC为m． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握． 【变式1-1】铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离． 【答案】E站应建在距A站15km处． 【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，将BC＝10代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到E站距离相等， ∴CE＝DE， 在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2， ∴AD2+AE2＝BE2+BC2． 设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km， 将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152， 解得x＝15， ∴E站应建在距A站15km处． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握． 【变式1-2】如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点的距离米，且米．    (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处时，若，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴米 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 【变式1-3】长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）21.6米； （2）8米． 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 所以，CD＝20（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）， 答：风筝的高度CE为21.6米； （2）由题意得，CM＝12米， ∴DM＝8米， ∴BM17（米）， ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． ▌题型06 翻折问题中的方程思想 1. 折叠本质是全等变换，折叠前后对应边相等、对应角相等，标记好全部相等的线段； 2. 把待求的线段设为x，其余相关线段利用和差、折叠等量，写成含x的代数式； 3. 在折叠后新生成的直角三角形当中，使用勾股定理建立方程求解； 4. 背景为长方形、正方形纸片时，只使用常识：四个角为直角、对边 / 四边相等； 5. 解完方程检验线段长度＞0，舍去不符合图形位置的解。在直线上设动点对应的线段长为； 【典例6】如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，一元一次方程，掌握相关知识点是解题的关键． 设的长度为x，根据折叠和，可证为直角三角形，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：设的长度为x， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，可得， 即，解得， 的长度为． 故选：A． 【变式1-1】如图，长方形沿直线折叠，使点C落在同一平面内的点C′处，与交于点E．，则（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的判定和性质，根据折叠得到，，平行线的性质，等角对等边，推出，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故选D． 【变式1-2】如图，在长方形纸片中，，，点为线段延长线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上时，则的长为（   ） A．8 B．10 C．14 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵在长方形纸片中，，， ∴， ∵把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上 ∴， 在中， ∴ ， 设，则， 在中， ∴ 解得：， 即的长为， 故选：D． 【变式1-3】如图，点E和点F分别在正方形纸片ABCD的边CD和AD上，连接AE，BF，沿BF所在直线折叠该纸片，点A恰好落在线段AE上点G处．若正方形纸片边长12，DE＝5，则GE的长为（　　） A． B． C．4 D．3 【答案】A. 【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长． 【详解】解：设BF与AE的交点为H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°， 由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG， ∴BF⊥AE，AH＝GH， ∴∠BAH+∠ABH＝90°， 又∵∠FAH+∠BAH＝90°， ∴∠ABH＝∠FAH， ∴△ABF≌△DAE（ASA）， ∴AF＝DE＝5， ∴BF13， ∵S△ABFAB•AFBF•AH， ∴12×5＝13AH， ∴AH， ∴AG＝2AH， ∵AE＝BF＝13， ∴GE＝AE﹣AG＝13． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． ▌题型07 等腰三角形中的勾股方程（作高构造直角三角形） 1.等腰三角形作底边上的高，利用三线合一拆出两个全等直角三角形； 2.可以设腰长或者底边的一半为，借助周长、面积表示其余线段； 3.在构造得到的直角三角形中使用勾股定理建立方程。 【典例7】如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝　 　． 【答案】． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BDE，根据等式的性质得到∠CAE＝∠DEB，求得AC＝EC，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝BD＝4， ∴∠BAE＝∠BDE， ∵CB⊥BD， ∴∠DBE＝∠CAB＝90°， ∴∠DEB＝90°﹣∠D，∠CAE＝90°﹣∠BAD， ∴∠CAE＝∠DEB， ∵∠AEC＝∠DEB， ∴∠CAE＝∠CEA， ∴AC＝EC， ∵BE＝1， ∴BC＝AC+1， ∵AC2+AB2＝BC2， ∴AC2+42＝（AC+1）2， ∴AC， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得AC＝CE是解题的关键． 【变式1-1】如图，在中，，线段的垂直平分线交于点O，则的长度为 ．    【答案】 【分析】连接，延长交于H，根据得，可得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，延长交于H，    ∵线段的垂直平分线交于点O， ∴, ∵， , 在和中，， ， ∴， ∴平分， ∵ ∴， ∴， 在中，, 解得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1-2】如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC长． 【答案】（1）见详解； （2）． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12， ∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2， ∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：∵AB＝AC， ∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5， ∵∠ADC＝90°， ∴AC2＝AD2+CD2， ∴（AD+5）2＝AD2+122， ∴AD， ∴AC5． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 关性质及定理是解题的关键． 【变式1-3】如图所示在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，动点P从点A出发沿射线AC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t s，连接BP，当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【答案】t＝6或5或． 【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出AP的长度，继而可求得t值． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm， ∴， 依题意，AP＝t cm， ①当AB＝BP时， ∵∠ACB＝90°， ∴AC＝PC＝3cm， ∴， ②当AB＝AP时，AP＝5cm， ∴t＝5； ③当BP＝AP时，如图所示， ∴PC＝t﹣AC＝（t﹣3）cm， 在Rt△PBC中，PB2＝BC2+PC2＝42+（t﹣3）2， ∴42+（t﹣3）2＝t2， 解得：， 综上所述，t＝6或5或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． ▌题型08 几何动点与直角三角形存在性（培优选做） 1. 设动点移动距离为，图形内所有相关线段都用含式子表示； 2. 根据条件：距离相等、构成直角三角形列方程； 3. 区分动点是在线段上还是射线上，要分类讨论； 4. 求出解后检验，舍去不在运动范围内的解。 【典例8】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．回答： （1）AC= ； （2）当t=2时，CD= ； （3）求当t为何值时，使得BD恰好把Rt△ABC的周长平均分？说明理由； （4）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？说明理由． 【答案】（1）AC=10；（2）CD=4, 理由见解析；（3）t=3，使得BD恰好把Rt△ABC的周长平均分，理由见解析；（4）t=3，3.6，2.5，△CBD是等腰三角形，理由见解析． 【分析】（1）利用勾股定理列式求出AC； （2）当t=2时，根据点D运动速度即可求解； （3）根据BD恰好把Rt△ABC的周长平均分得到关于t的方程，故可求解； （4）根据等腰三角形的定义，可分①CD＝BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝BE，从而得到CD＝AD；②CD＝BC时，CD＝6；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF． 【详解】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝， 故答案为：10； （2）t＝2时，CD＝2×2＝4， 故答案为：4； （3）∵BD恰好把Rt△ABC的周长平均分， ∴BC+CD=AB+AD 故6+2t=8+10-2t 解得t=3 ∴当t=3时，使得BD恰好把Rt△ABC的周长平均分 （4）若使△CBD是等腰三角形可分以下情况： ①当CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E， 则CE＝BE， ∵DEAB ∴DE是△ABC的中位线 ∴CD＝AD＝AC＝×10＝5， t＝5÷2＝2.5； ②当CD＝BC时，CD＝6，t＝6÷2＝3； ③当BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F， ∴AB•BC＝BF•AC，CF＝DF， ∴8×6＝10×BF， ∴BF＝4.8， ∴CF＝＝3.6， ∴CD＝7.2， ∴t＝7.2÷2＝3.6， 综上所述，t＝2.5或3或3.6秒时，△CBD是等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的面积，分类讨论是解决本题的关键． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 【变式1-2】如图，在中，，，，，动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒． (1)点到达点时，________秒；到时，________秒； (2)当时，求的值； (3)当点在边上（不包括点，），点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值． 【答案】(1)3，7 (2)或6 (3)或5 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，根据题意依次计算即可． （2）分点P在上和点P在上，两种情况，建立等式计算即可． （3）分别根据点或点在的角平分线上两种情况，根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案， 【详解】（1）解：动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，且，， ∴点到达点时，秒,；到时，, 故答案为：3，7； （2）解：∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止， ∴ 当点P在上时， ∴ ∵ ∴ ∴； 当点P在上时，， ∵ ∴ ∴， ∴或6； （3）解：点或点到边和边的距离相等时，点或点在的角平分线上， 当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点Q作于点G， 得，，， ∵，，且， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点作于点H， 此时，，， ∵，，且， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，分类思想，熟练掌握勾股定理，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【变式1-3】如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1) 解：∵在中，，， ∴，是直角三角形； (2)或或 (3)或 【分析】（1）利用勾股定理逆定理求证即可； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； 【详解】（1）略 （2）解：①若点在上，则，， ∴； ②若点在上，则，， （i）当时，； （ii）当时，作于， 则， ∴，， ∴，解得． 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形． （3）解：∵的周长为cm，． ①当时，点在上，点在上， 则，，， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好运动到点； ②当时，点在上，点在上， 由①得，此时，不符合题意； ③当时，点、都在上，，，不符合题意； ④当时，点在上，点在上， 则，， ， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好回到点． 综上所述，当为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 方程思想在勾股定理中的应用八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 直角三角形三边和差、比例关系求边长 题型02 公共高（公共边平方相等）列方程求线段 题型03 线段垂直平分线结合勾股方程 题型04 实际应用模型：不变量模型（竹竿、梯子、秋千等问题） 题型05 实际应用模型：动点选址、路程相等拦截问题 题型06 翻折问题中的方程思想 题型07 等腰三角形中的勾股方程（作高构造直角三角形） 题型08 几何动点与直角三角形存在性（培优选做） ▌题型01 直角三角形三边和差、比例关系求边长 【典例1【答案】B． 【变式1-1】【答案】D． 【变式1-2】 【答案】30． 【分析】根据题意表示出AB，BC的长，再利用勾股定理得出AB的长． 【详解】解：设AB＝x，则BC＝x﹣1， 在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2， 故x2＝52+（x﹣1）2， 解得：x＝13， 即AB＝13． ∴BC＝12， ∴SRt△ABCAC•BC5×12＝30． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【变式1-3】 【答案】（1）∴a＝27，b＝36； （2）a＝30． 【分析】（1）设a＝3x，则b＝4x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论． （2）根据勾股定理可得a，b，c的数量关系，再把已知条件代入即可求出a的值． 【详解】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b＝3：4， ∴设a＝3x，则b＝4x． ∵a2+b2＝c2，即（3x）2+（4x）2＝152， 解得x＝9， ∴a＝3x＝27，b＝4x＝36； （2）∵△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c， ∴a2+b2＝c2， ∵c﹣a＝4，b＝16， ∴a2+256＝（a+4）2， 解得：a＝30． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． ▌题型02 公共高（公共边平方相等）列方程求线段 【典例2】【答案】B． 【变式1-1】【答案】； 【变式1-2】 【答案】（1）∠A＝90°； （2）AE＝1.4． 【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数； （2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值． 【详解】解：（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴CE＝BE． ∵BE2﹣AE2＝AC2， ∴AE2+AC2＝CE2． ∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°； （2）在Rt△BDE中，BE5． 所以CE＝BE＝5． 设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2， 所以AC2＝25﹣x2． ∵BD＝4， ∴BC＝2BD＝8． 在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2， 即64＝（5+x）2+25﹣x2， 解得x＝1.4． 即AE＝1.4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法． 【变式1-3】 【答案】(1) 证明：根据题意，设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 故 整理，得． (2)12 【分析】（1）利用直角三角形的面积，梯形的面积等于各个三角形的面积和，列式解答即可． （2）设，则，根据勾股定理，得，即，解方程即可． 本题考查了勾股定理的证明与应用，解方程，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴． ▌题型03 线段垂直平分线结合勾股方程 【典例3】 【答案】． 【分析】先证明AE＝BE，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接AE． ∵DE为AB的垂直平分线， ∴AE＝BE． 在△ABC中， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝4． 设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得x2+32＝（4﹣x）2， 解得． ∴CE的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【变式1-1】【答案】A． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理得到，再利用勾股定理逆定理可得，然后根据求解： （2）由垂直平分线的性质可得，设，则，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：，，， ， 又，，， ，即， ， 答：这块试验田的面积为； （2）解：连接， 在的垂直平分线上， ， 设，则， 由（1）知， ，即， 解得， 答：点到点的距离为． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质证明，，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可； （2）连接，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 设，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ． ▌题型04 实际应用模型：不变量模型（竹竿、梯子、秋千等问题） 【典例4】【答案】B 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【答案】63cm． 【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长． 【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥DN于点E，延长AA′交CE于F，则∠AFC＝90°． 设A′F＝xcm，则AF＝（55+x）cm， 由题可得，AC＝AB+BC＝65+35＝100（cm），A′C＝65cm． ∵Rt△A′CF中，CF2＝652﹣x2， Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2， ∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2， 解得x＝25， ∴A'F＝25（cm）， ∴CF60（cm）． 又∵EF＝AD＝3cm， ∴CE＝60+3＝63（cm）， ∴点C离地面的距离为63cm． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． ▌题型05 实际应用模型：动点选址、路程相等拦截问题 【典例5】 【答案】m． 【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC＝AC，设BC＝AC＝xm，根据勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等， ∴BC＝AC， 设BC＝AC＝xm， 则OC＝（8﹣x）m， 在Rt△BOC中， ∵OB2+OC2＝BC2， ∴32+（8﹣x）2＝x2， 解得x． ∴机器人行走的路程BC为m． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握． 【变式1-1】 【答案】E站应建在距A站15km处． 【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，将BC＝10代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到E站距离相等， ∴CE＝DE， 在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2， ∴AD2+AE2＝BE2+BC2． 设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km， 将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152， 解得x＝15， ∴E站应建在距A站15km处． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握． 【变式1-2】    【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则米， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴米 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 【变式1-3】 【答案】（1）21.6米； （2）8米． 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400， 所以，CD＝20（负值舍去）， 所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米）， 答：风筝的高度CE为21.6米； （2）由题意得，CM＝12米， ∴DM＝8米， ∴BM17（米）， ∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米）， ∴他应该往回收线8米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． ▌题型06 翻折问题中的方程思想 【典例6】【答案】A 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】A. ▌题型07 等腰三角形中的勾股方程（作高构造直角三角形） 【典例7】【答案】． 【变式1-1】【答案】 【变式1-2】 【答案】（1）见详解； （2）． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12， ∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2， ∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°， ∴CD⊥AB； （2）解：∵AB＝AC， ∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5， ∵∠ADC＝90°， ∴AC2＝AD2+CD2， ∴（AD+5）2＝AD2+122， ∴AD， ∴AC5． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 关性质及定理是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】t＝6或5或． 【分析】当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出AP的长度，继而可求得t值． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm， ∴， 依题意，AP＝t cm， ①当AB＝BP时， ∵∠ACB＝90°， ∴AC＝PC＝3cm， ∴， ②当AB＝AP时，AP＝5cm， ∴t＝5； ③当BP＝AP时，如图所示， ∴PC＝t﹣AC＝（t﹣3）cm， 在Rt△PBC中，PB2＝BC2+PC2＝42+（t﹣3）2， ∴42+（t﹣3）2＝t2， 解得：， 综上所述，t＝6或5或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． ▌题型08 几何动点与直角三角形存在性（培优选做） 【典例8】 【答案】（1）AC=10；（2）CD=4, 理由见解析；（3）t=3，使得BD恰好把Rt△ABC的周长平均分，理由见解析；（4）t=3，3.6，2.5，△CBD是等腰三角形，理由见解析． 【分析】（1）利用勾股定理列式求出AC； （2）当t=2时，根据点D运动速度即可求解； （3）根据BD恰好把Rt△ABC的周长平均分得到关于t的方程，故可求解； （4）根据等腰三角形的定义，可分①CD＝BD时，过点D作DE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝BE，从而得到CD＝AD；②CD＝BC时，CD＝6；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF． 【详解】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝， 故答案为：10； （2）t＝2时，CD＝2×2＝4， 故答案为：4； （3）∵BD恰好把Rt△ABC的周长平均分， ∴BC+CD=AB+AD 故6+2t=8+10-2t 解得t=3 ∴当t=3时，使得BD恰好把Rt△ABC的周长平均分 （4）若使△CBD是等腰三角形可分以下情况： ①当CD＝BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E， 则CE＝BE， ∵DEAB ∴DE是△ABC的中位线 ∴CD＝AD＝AC＝×10＝5， t＝5÷2＝2.5； ②当CD＝BC时，CD＝6，t＝6÷2＝3； ③当BD＝BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F， ∴AB•BC＝BF•AC，CF＝DF， ∴8×6＝10×BF， ∴BF＝4.8， ∴CF＝＝3.6， ∴CD＝7.2， ∴t＝7.2÷2＝3.6， 综上所述，t＝2.5或3或3.6秒时，△CBD是等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的面积，分类讨论是解决本题的关键． 【变式1-1】 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 【变式1-2】 【答案】(1)3，7 (2)或6 (3)或5 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，根据题意依次计算即可． （2）分点P在上和点P在上，两种情况，建立等式计算即可． （3）分别根据点或点在的角平分线上两种情况，根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案， 【详解】（1）解：动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，且，， ∴点到达点时，秒,；到时，, 故答案为：3，7； （2）解：∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止， ∴ 当点P在上时， ∴ ∵ ∴ ∴； 当点P在上时，， ∵ ∴ ∴， ∴或6； （3）解：点或点到边和边的距离相等时，点或点在的角平分线上， 当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点Q作于点G， 得，，， ∵，，且， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点到边和边的距离相等， 如下图所示，过点作于点H， 此时，，， ∵，，且， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴或． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，分类思想，熟练掌握勾股定理，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1) 解：∵在中，，， ∴，是直角三角形； (2)或或 (3)或 【分析】（1）利用勾股定理逆定理求证即可； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； 【详解】（1）略 （2）解：①若点在上，则，， ∴； ②若点在上，则，， （i）当时，； （ii）当时，作于， 则， ∴，， ∴，解得． 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形． （3）解：∵的周长为cm，． ①当时，点在上，点在上， 则，，， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好运动到点； ②当时，点在上，点在上， 由①得，此时，不符合题意； ③当时，点、都在上，，，不符合题意； ④当时，点在上，点在上， 则，， ， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好回到点． 综上所述，当为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 方程思想在勾股定理中的应用八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 直角三角形三边和差、比例关系求边长 题型02 公共高（公共边平方相等）列方程求线段 题型03 线段垂直平分线结合勾股方程 题型04 实际应用模型：不变量模型（竹竿、梯子、秋千等问题） 题型05 实际应用模型：动点选址、路程相等拦截问题 题型06 翻折问题中的方程思想 题型07 等腰三角形中的勾股方程（作高构造直角三角形） 题型08 几何动点与直角三角形存在性（培优选做） ▌题型01 直角三角形三边和差、比例关系求边长 1. 遇到边长比例，设比例参数；遇到边长和、差，设一条边为，其余边利用和差关系表示。 2. 代入勾股定理列方程； 3. 解出未知数后代回，计算边长、周长或者面积。 【典例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a：b＝3：4，c＝10，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则a的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【变式1-1】直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（　　） A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC+1，求Rt△ABC的面积． 【变式1-3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的边分别为a、b、c， （1）若a：b＝3：4，c＝15，求a，b的值． （2）若c﹣a＝4，b＝16，求a的值． ▌题型02 公共高（公共边平方相等）列方程求线段 1. 向三角形的底边作垂线，同一条高归属于两个不同直角三角形； 2. 利用高的平方作为等量关系：建立等式； 3. 设底边其中一段为，另一段用底边总长减去进行表达。 【典例2】如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝7，BD⊥AC，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，四边形ABCD，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝BC＝4，CD＝2，点F为BC边上一点，且CF＝1，连接AF，DG⊥AF垂足为E，交BC于点G，则BG的长为 　 ． 【变式1-2】已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2． （1）求∠A的度数； （2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如①），可以推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，求的值． ▌题型03 线段垂直平分线结合勾股方程 1. 垂直平分线上任意一点到线段两端点距离相等，完成线段等量转化； 2. 将相等线段写成含代数式，放入直角三角形列勾股方程； 3. 部分题目没有直接给出直角，需要借助勾股逆定理判定直角。 【典例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长． 【变式1-1】如图，在△ABC中，AC，BC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则AB＝（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1-2】如图，某试验基地有一块四边形试验田，基地管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，． (1)求这块试验田的面积； (2)基地现计划在上建立一个观测点，要求点在的垂直平分线上，请你计算出点到点的距离． 【变式1-3】如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． ▌题型04 实际应用模型：不变量模型（竹竿、梯子、秋千等问题） 1. 将实际实物抽象构造直角三角形； 2. 抓住不变量：梯子长度、竹竿总长、绳索长度保持不变； 3. 设高度、深度等未知量，依据勾股定理列出方程求解。 【典例4】在一条笔直的道路旁，有一根灯杆．为方便顶部安装路灯，在灯杆顶部挂了一条绳子（如图）．已知绳子的长度比灯杆高度多2米，若将绳子的下端拉到距离灯杆底部6米的地面点，绳子恰好触及地面，则灯杆的高度是（    ） A．7米 B．8米 C．9米 D．10米 【变式1-1】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（    ）尺． A．3 B．4 C．5 D．7 【变式1-2】如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，绳索的长度为___________． 【变式1-3】如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变） ▌题型05 实际应用模型：动点选址、路程相等拦截问题 1. 时间相等、速度相等可以推出路程相等，得到一组相等线段； 2. 在直线上设动点对应的线段长为； 3. 两个直角三角形斜边相等作为等量，列方程求动点的位置。 【典例5】如图，∠AOB＝90°，OA＝8m，OB＝3m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 【变式1-1】铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离． 【变式1-2】如图，一架无人机悬停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点的距离米，且米．    (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处时，若，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【变式1-3】长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ ▌题型06 翻折问题中的方程思想 1. 折叠本质是全等变换，折叠前后对应边相等、对应角相等，标记好全部相等的线段； 2. 把待求的线段设为x，其余相关线段利用和差、折叠等量，写成含x的代数式； 3. 在折叠后新生成的直角三角形当中，使用勾股定理建立方程求解； 4. 背景为长方形、正方形纸片时，只使用常识：四个角为直角、对边 / 四边相等； 5. 解完方程检验线段长度＞0，舍去不符合图形位置的解。在直线上设动点对应的线段长为； 【典例6】如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】如图，长方形沿直线折叠，使点C落在同一平面内的点C′处，与交于点E．，则（    ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【变式1-2】如图，在长方形纸片中，，，点为线段延长线上的一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点恰好落在直线上时，则的长为（   ） A．8 B．10 C．14 D．12 【变式1-3】如图，点E和点F分别在正方形纸片ABCD的边CD和AD上，连接AE，BF，沿BF所在直线折叠该纸片，点A恰好落在线段AE上点G处．若正方形纸片边长12，DE＝5，则GE的长为（　　） A． B． C．4 D．3 ▌题型07 等腰三角形中的勾股方程（作高构造直角三角形） 1.等腰三角形作底边上的高，利用三线合一拆出两个全等直角三角形； 2.可以设腰长或者底边的一半为，借助周长、面积表示其余线段； 3.在构造得到的直角三角形中使用勾股定理建立方程。 【典例7】如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，△ABD是等腰三角形，AB＝BD＝4，CB⊥BD，交AD于E，BE＝1，则AC＝　 　． 【变式1-1】如图，在中，，线段的垂直平分线交于点O，则的长度为 ．    【变式1-2】如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12． （1）求证：CD⊥AB； （2）求AC长． 【变式1-3】如图所示在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，动点P从点A出发沿射线AC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t s，连接BP，当△ABP为等腰三角形时，求t的值． ▌题型08 几何动点与直角三角形存在性（培优选做） 1. 设动点移动距离为，图形内所有相关线段都用含式子表示； 2. 根据条件：距离相等、构成直角三角形列方程； 3. 区分动点是在线段上还是射线上，要分类讨论； 4. 求出解后检验，舍去不在运动范围内的解。 【典例8】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．回答： （1）AC= ； （2）当t=2时，CD= ； （3）求当t为何值时，使得BD恰好把Rt△ABC的周长平均分？说明理由； （4）求当t为何值时，△CBD是等腰三角形？说明理由． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)若点运动到的中点时，的值为_______； (2)若，求的长； (3)当为直角三角形时，求的值． 【变式1-2】如图，在中，，，，，动点从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿运动到点停止，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点停止，若设点运动的时间是秒． (1)点到达点时，________秒；到时，________秒； (2)当时，求的值； (3)当点在边上（不包括点，），点或点到边和边的距离相等时，直接写出的值． 【变式1-3】如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $