1.5 第2课时 等腰三角形的判定-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

(SAS).∴.CD=EC,∠BDC=∠ACE..∠CDE= ∠CED.设∠CDE=∠CED=a.,∠ADB=80°， ∴.∠BDE=100°..∠BDC=∠ACE=100°+a.:在 △ACE中，20°+100°+a+a=180°，.a=30°. ,.∠BDC=130° 0 B C E (第10题) 11.D在△ABC中，AB=AC,∠ABC=a.∴.∠ACB= ∠ABC=a.由三角形内角和定理，得∠BAC=180° (∠ACB+∠ABC)=180°-2a.依题意，有以下三种情况： ①如图①，当点D在线段BC上时，：AC=CD ÷∠CAD=∠CDA=号(180-∠ACB)=90°-)a, :∠CDA=∠AC+∠BAD.90-2a=ata.0= 90°-.进项A不符合题意.@如图@，当点D在 BC的延长线上时，AC=CD,∴.∠CAD=∠CDA. :∠ACB=∠CAD+∠CDA=2∠CAD.∴.∠CAD ∠ACB=7&..∠BAD=∠BAC+∠CAD=180°- 1 2a十2=180°-2，即0=180-号4选项B不符合 题意.③如图③，当点D在CB的延长线上时，∠CAD= ∠BAC+∠BAD=180°-2a+6.·'AC=CD, ∴.∠CDA=∠CAD=180°-2a+0.∠ABC= 3 ∠BAD+∠CDA..a=0+180°-2a+0.0=2a- 90°.选项C不符合题意.选项D中的关系不可能存在， ∴.选项D符合题意. B ① ② ③ (第11题) 12.(1).CD⊥AD,..∠ADC=90°...∠ACD十∠A= 90°.，'CE平分∠BCD,∴.∠BCE=∠DCE.:AB= BC,.∠A=∠ACB..∠ACD+∠A=2∠ACB+ 2∠BCE=90°.∴.∠ACE=∠ACB+∠BCE=45°. (2).FH⊥AC,.∠AHE=∠FHC=90°.由(1)，得 D ∠ACE=45°，.∠HEC=45°=∠ACE..HE=HC. CD⊥AB,.∠EDF=90°.∴.∠AHE=∠EDF :∠AEH=∠FED,∴.∠A=∠F.在△AHE和△FHC ∠A=∠F, 中，∠AHE=∠FHC,∴.△AHE≌△FHC(AAS). HE=HC, .'AE=FC. 第2课时等腰三角形的判定 1.D:∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°- 36=72°，∴.∠BDC=∠C.∴.BD=BC.∴.△BDC为等 腰三角形.，∠BDC=∠A+∠ABD,∠A=36°，∴.∠ABD= 36.∴.∠ABD=∠A..BD=AD.∴.△ABD为等腰三 角形.：∠ABC=180°-∠A-∠C=72°，∴.∠ABC= ∠C.∴.AB=AC.∴△ABC为等腰三角形.∴.题图中的 等腰三角形共有3个. 2.110:∠A=∠BCA,∠ABC=100°，.∠A= ∠BCA=180°-ABC=40,BA=BC.:D为AC的中 点，∴.BD LAC.∴.∠BDC=90°.∠DCB是△DCE的 一个外角，∴.∠DCB=∠CDE+∠E=40°.·CD=CE, ∴.∠CDE=∠E=20°.∴.∠BDE=∠BDC+∠CDE= 110°. 3.(1)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°， ∴.∠ABC=∠ACB=72.BD是∠ABC的平分线， &∠ABD=号∠ABC=36.&∠ABD=∠BAD. .AD=BD.E是AB的中点，∴.DE⊥AB,AE=BE ∴EF是AB的垂直平分线.(2)，EF是AB的垂直平 分线，∴.AF=BF.∴.∠FAB=∠FBA=72°.∴.∠CAF= 72°-36°=36.∴.∠CFA=∠ACB-∠CAF=36. .∠CAF=∠CFA..△ACF为等腰三角形. 4.C当AD=AB时，∠ADB=∠ABD=40°.∴.∠A= 180°-∠ADB-∠ABD=180°-40°-40°=100°.当AD= BD时，∠A=∠ABD=40°.当AB=BD时，∠A= ∠ADB.:∠ABC=40°，∴.∠A=∠ADB= 180°-∠ABC_180°一40°=70.综上所述，∠A的度数为 2 2 40°或70°或100°时，△ABD为等腰三角形 5.A:DE∥BC,∴.∠DFB=∠FBC,∠EFC= ∠FCB.:BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分 线，.∠FBC=∠DBF,∠FCE=∠FCB.∴∠DBF= ∠DFB,∠EFC=∠ECF..△BDF和△CEF都是等腰 三角形，即BD=DF,FE=CE.∴.①正确.∴DE=DF十 FE=BD十CE..②正确.∴.△ADE的周长=AD十 20 AE十DE=AD十AE十BD+CE=AB十AC.'.③正确 现有条件无法证明BF=CF,∴.④不一定正确.综上所 述，一定正确的是①②③. 6.4设运动的时间为xs..AP=(20一3x)cm,AQ= 2xcm.当△APQ是以PQ为底边的等腰三角形时，AP= AQ,∴.20一3x=2x,解得x=4..运动的时间是4s. 7.(1)∠C=3∠B,∠C=75,.∠B=25° ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=80°.AD平分∠BAC ·∠BAD=号∠BAC=40.·∠ADE=∠BAD+ ∠B=65°.AE⊥BC,.∠AED=90..∠DAE= 90°-∠ADE=90°-65°=25°.(2)设∠B=a,则∠C= 3a,∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-4a.:AD平分 ∠BAC,∠BAD=2∠BAC=90°-2a.:DFLAD. ∴.∠ADF=90°.∴.∠AFD=90°-∠BAD=2a. :∠AFD=∠B+∠BDF,六∠BDF=Q=∠B. ∴BF=DF 一微专题·“角平分线十平行→等腰”模型 1.CAB∥CD,∴.∠F=∠BAF.AD∥BC, .∠DAF=∠AGB,∠EBC=∠AEB.:BE平分 ∠ABC,∴.∠EBC=∠ABE.∴.∠ABE=∠AEB. ∴.AB=AE,即△ABE是等腰三角形.：AF⊥BE, AB=AE,∴.∠BAF=∠DAF..∠BAF=∠DAF ∠AGB=∠F=∠CGF.∴.AB=BG,即△ABG是等腰 三角形；AD=DF,即△AFD是等腰三角形；CG=CF, 即△CGF是等腰三角形.∴.共有4个等腰三角形. 2.15,AD是∠BAC的平分线，∴.∠BAD=∠CAD. .DE∥AB,.∠BAD=∠ADE..∠CAD=∠ADE. .AE=DE=7..AC=AE+CE=7+8=15. 3.(1)EG∥AD,.∠G=∠BAD,∠AFG ∠CAD.AD平分∠BAC,.∠BAD=∠CAD ∴∠G=∠AFG.∴.△AFG为等腰三角形. (2):AD平分∠BAC,∠BAC=82°，∴.∠BAD ∠CAD=号∠BAC=4R.:EG∥AD,∠EFC ∠CAD=41°.CE=EF,.∠C=∠EFC=41° ∴.∠B=180°-（∠BAC+∠C)=180°-(82°+ 41)=57°. 第3课时等边三角形 1.DAB=BC=8,∠A=60°，∴.△ABC是等边三角 形.∴.AC=AB=BC=8.∴.AB十BC+AC=8十8+8= 24,即△ABC的周长为24. 2.C△ABC是等边三角形，AB=8,∴.AB=BC= AC=8.BD是∠ABC的平分线，∴.AD=CD= CCE-CD.CE CE=8+4=12,即BE的长为12. 3.60°：△ABC为等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC= 60°..'∠AOB=120°，∠AOD+∠AOB=180°， ∴.∠AOD=60°.又：OD=OA,∴.△AOD为等边三角 形.∴.AO=AD,∠OAD=60°，∠ADO=60°.∠BAO+ ∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°，∴.∠BAO=∠CAD.在 AB=AC, △BAO和△CAD中，∠BAO=∠CAD,∴.△BAO≌ AO=AD, △CAD(SAS).∴.∠AOB=∠ADC=120°..∠BDC= ∠ADC-∠ADO=60°. 4.55°△ABC是等边三角形，∴.AB=BC,∠ABC= 60°.BC=BD,.AB=BD.∴.∠BAD=∠ADB=25 ∴.∠ABD=180°-25°-25°=130°.∴.∠CBD=130° 60=70.∠PCD=∠BDC=号(180°-∠CBD)=55 5.△ABC为等边三角形，∴.AB=CA,∠BAC= ∠ACB=60°.∴.∠EAB=∠DCA=120°.在△EAB和 (AE-CD. △DCA中，∠EAB=∠DCA,∴.△EAB≌△DCA AB=CA, (SAS).∴.BE=AD. 6.D由题可得，CA=CD,BA=BD,∴.CB是AD的垂 直平分线，即CE垂直平分AD.,CA=CD,∴.CE平分 ∠ACD.故A,B不符合题意.DB=AB,∴.△ABD是 等腰三角形.故C不符合题意.AD与AC不一定相等， ∴.△ACD不一定是等边三角形.故D符合题意 7.B如图，连接AC.△ABD是等边三角形，∴.AB= AD,∠BAD=∠ADB=60°..BC=CD,.∠CBD= ∠CDB=2∠DCE,AC垂直平分BD.∴.易得∠EAC= ∠BAD=30°.：AE=EC,.∠ACE=∠EAC=30 1 ∴.∠DEF=∠ACE+∠EAC=6O°.∴.易得△DEF为等 边三角形.∴.∠DFE=60°.：∠CDB=2∠DCE, ∴.∠CDF+∠DCE=∠DFE=60°，即2∠DCE+ ∠DCE=60°..∠DCE=20°. (第7题) 21第1章三角形 第2课时等腰三角形的判定 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.教材P50习题52变式如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中的等腰三角形共有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 (第1题) (第2题) 2.如图，在△ABC中，∠A=∠BCA,∠ABC=100°，D为AC的中点，延长BC至点E,使得CE CD,连接BD和DE,则∠BDE的大小为 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D,E是AB的 中，点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F,连接AF,求证： (1)EF是AB的垂直平分线 (2)△ACF为等腰三角形 (第3题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.如图，点D在射线BC上运动，∠ABC=40°，当△ABD为等腰三角形时，∠A的度数为() A.20或40°或70 B.40°或100 C.40°或70或100° D.100°或70°或40°或20° (第4题) (第5题) (第6题) 5.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于点D,交 AC于点E.有下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD十CE;③△ADE 的周长=AB十AC;④BF=CF.其中，一定正确的是 () A.①②③ B.①②③④ C.①② D.① 6.如图，在△ABC中，AB=20cm,AC=12cm,点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，同 时点Q从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随 之停止运动.当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 31 拔尖特训·数学（苏科版）八年级上 7.在△ABC中，∠C=3∠B,AD平分∠BAC交BC于点D: (1)如图①，若AE⊥BC于点E,∠C=75°，求∠DAE的度数 (2)如图②，若DF⊥AD交AB于点F,求证：BF=DF. E( (第7题) 微专题·“角平分线十平行→等腰”模型 1.[等腰三角形个数的确定]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,BE平分∠ABC,交边 AD于点E,过，点A作AF⊥BE,交DC的延长线于点F,交BC于点G.图中一定是等腰三角 形的有 ( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (第1题) (第2题) 2.[求线段长]如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E.若DE=7, CE=8,则AC的长为 3.[等腰三角形的确定]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG∥AD,交 AC于点F,交BA延长线于点G (1)求证：△AFG为等腰三角形 (2)若CE=EF,∠BAC=82°，求∠B的度数 (第3题) 32 >“答案与解析”见D20