1.4 第1课时 线段垂直平分线的性质-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训· 数学（苏科版）八年级上 1.4线段垂直平分线与角平分线 第1课时线段垂直平分线的性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，P是△ABC内一点，连接AP,CP,过点P的直线分别交AB,BC于点M,N,点M在AP 的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上.若AB十BC=9,则△BMN的周长为() A.9 B.12 C.15 D.18 B/D (第1题) (第3题) (第4题) 2.有下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB,PA=PB;②若PA=PB, EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;③若PA=PB,则P必是线段AB的垂直平分线上的 点；④若EA=EB,则过点E的直线垂直平分线段AB.其中，正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，△ABC的边AB,BC的垂直平分线交于点P.若PA+PB=10,则PC的长为 4.如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E.△ABC与△ABD的周长 分别为24cm和18cm,则线段AE的长为 cm. 5.如图，AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C,BE=DE.求证：OE垂直平分BD. (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，腰长为6，EF垂直平分AB,P为直线EF上一动 点，则BP十CP的最小值为 () A.10 B.6 C.4 D.2 (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接CD.若AC=2AD 4,△ADC的周长是16，则CD的长为 () A.4 B.5 C.6 D.4.5 8.转化与化归思想)如图，AB=CD,线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E,连 24 第1章三角形 接BE,DE.若∠ABE=65°，则∠CDE的度数为 9.如图，点A,D分别在BE,CE的垂直平分线上，A,E,D三点在同一条直线上， 如果AD=5cm,BC=7cm,那么四边形ABCD的周长为 cm (第9题) 10.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1交BC于点D,边AC的垂直平分线l2交BC于点 E,l1与l2相交于点O,△ADE的周长为6cm (1)求BC的长. (2)连接OA,OB,OC.若△OBC的周长为16cm,求OA的长. (第10题) 11.钝角三角形ABC如图所示. (1)尺规作图：作AC的垂直平分线，与边BC,AC分别交于点D,E(不写作法，保留作图痕迹). (2)在(1)的条件下，作出△ABC的边AC上的高BH(可用三角尺作图)，连接AD,猜想 ∠ADE和∠CBH之间的关系，并证明你的结论. (第11题) 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 12.*已知有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.如图①，A,B是直线1同侧的两个定点.若 要在直线L上确定一点P,使PA十PB的值最小，我们可以作点A关于直线l的对称点A',连 接A'B交直线L于点P,则此时PA十PB的值最小. (1)如图②，∠AOB=30°，P是∠AOB内的一点，OP=10,Q,R分别是OA,OB上的动点.求 △PQR周长的最小值！ (2)如图③，∠AOB=20°，点M,N分别在边OA,OB上，且OM=ON=2,点P,Q分别在 OB,OA上，连接MP,PQ,QN.求MP+PQ+QN的最小值. OM A ① ③ (第12题) ●“答案与解析”见D15 256=8-(61-16.∴1=1（含去）或：只综上所述t的值 为1或子或9 3.2或6AE=4cm,F为AE的中点，∴.AF=EF= 2cm.:DE⊥AB,DH⊥AC,∴.∠DEF=∠DHG=90°， 即△DEF和△DHG均为直角三角形.在Rt△DEF和 R△DHG中，DF=DG, DE=DH, ∴.Rt△DEF≌Rt△DHG (HL).∴.EF=HG=2cm.在Rt△ADE和Rt△ADH中， AD=AD:Rt△ADE≌R△ADH(H.·AE= DE=DH, AH=4cm.如图，当点G,在AH上时，AG=AH一 HG,=2cm;当点G2在AH的延长线上时，AG2=AH+ HG2=6cm.综上所述，AG的长为2cm或6cm. D (第3题) 44 如图，在AB上取点F',使得AF'=AF,过点C作 CH⊥AB,垂足为H.:AD平分∠CAB,∴.∠CAD= ∠BAD.又AE=AE,∴.△AEF≌△AEF'(SAS). EF-EF'ZACB-90SAM-AB CH- AC .CHAC-装：F+CE=EF+ AB EC,∴.当C,E,F'三点共线，且点F与点H重合时， EF+CE的值最小，最小值为器 B (第4题) 5.(1)BC=AP+CD.理由：∠ACB=90°，BE⊥AD, ∴.∠ACD=90°，∠D+∠DAC=90°，∠D+∠DBE= 90°.∴.∠DAC=∠DBE.在△ACD和△BCP中， ∠DAC=∠PBC, AC=BC, ∴.△ACD≌△BCP(ASA)..CD= ∠ACD=∠BCP, CP.BC=AC=CP AP,.BC=AP+CD. (2)AP=BC+CD.理由：：∠ACB=90°，BE⊥AD, .∴.∠BCP=90°，∠P+∠PAE=90°，∠P+∠PBC=90 ,'.∠PAE=∠PBC.同(1)可证△ACD≌△BCP(ASA). .CD=CP..AP=AC+CP,.'.AP=BC+CD D 6.(1)90.:∠BAC=∠DAE,即∠BAD+∠DAC= ∠DAC十∠CAE,∴.∠BAD=∠CAE.在△BAD和 AB=AC, △CAE中，∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE AD-AE. (SAS).∴.∠B=∠ACE.∠BAC=90°，∴.∠B+ ∠ACB=90°.∴.∠DCE=∠ACE+∠ACB=90° (2)①a+B=180°.∠BAC=∠DAE,即∠BAD+ ∠DAC=∠DAC+∠CAE,∴.∠BAD=∠CAE.在 AB=AC, △BAD和△CAE中，∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌ AD-AE, △CAE(SAS).∴.∠B=∠ACE.'∠BAC=a,∴.∠B+ ∠ACB=180°-a.∴.∠DCE=∠ACE+∠ACB=180° a=B.∴.a十B=180°.②补充图形如图所示，a=R. ∠DAE=∠BAC=a,即∠BAD+∠BAE=∠BAE+ ∠CAE,.∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE(SAS). AD=AE, ∴.∠ADB=∠AEC.'∠ADE+∠AED+a=180°， ∠CDE+∠CED+B=180°，∠CED=∠AEC+∠AED, ∴.a=B. D (第6题) 1.4线段垂直平分线与角平分线 第1课时线段垂直平分线的性质 1.A:点M在AP的垂直平分线上，点N在PC的垂 直平分线上，∴.AM=PM,PN=CN.∴.△BMN的周长 BM+PM+PN+BN=BM+AM+CN+BN=AB+ BC=9. 2.C根据线段垂直平分线的性质定理及逆定理，①若直 线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB,PA=PB, 符合性质定理，是正确的；②若PA=PB,EA=EB,则直 线PE垂直平分线段AB,符合逆定理，是正确的；③若 PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符 合逆定理，是正确的；④若EA=EB,则过点E的直线垂 直平分线段AB,不符合逆定理，是错误的.综上所述，正确 的有3个. 3.5点P在线段AB的垂直平分线上，∴.PA=PB. ,PA+PB=10,.PA=PB=5.点P在线段BC的 垂直平分线上，∴.PB=PC..PC=5. 4.3边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点 E,.DM=DC,AE=2AC.:△MBC与△ABD的周长 分别为24cm和18cm,..AB+BC+AC=24cm,AB+ BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=18 cm..AC= 24-18=6em.AE=2AC=3em ∠A=∠C, 5.在△AOB和△COD中，OA=OC, ∠AOB=∠COD, ∴.△AOB≌△COD(ASA).∴.OB=OD..点O在线段 BD的垂直平分线上.BE=DE,∴.点E在线段BD的 垂直平分线上.∴.OE垂直平分BD. 6.B如图，设AC交EF于点D,连接AP.·EF垂直平 分AB,.AP=BP,即BP十CP=AP十CP..当点P和 点D重合时，BP十CP的值最小，最小值等于AC的长 ,等腰三角形ABC的腰长为6，∴.BP十CP的最小值 为6. E A B (第6题) 7.B:DE垂直平分AC,∴.AD=CD.△ADC的周 长是16，∴.AD+CD+AC=16.又：AC=2AD-4, ∴.AD+AD+2AD-4=16.,.AD=5..CD=5. 8.65连接AE,CE.:AC,BD的垂直平分线相交于点 E,.AE=CE,BE=DE.在△ABE和△CDE中， (AB=CD, AE=CE,'.△ABE≌△CDE(SSS)..∴.∠ABE= BE=DE. ∠CDE.∠ABE=65°，∴.∠CDE=65°. 9.17点A,D分别在BE,CE的垂直平分线上， ∴.AB=AE,DE=DC.∴.四边形ABCD的周长=AB十 AD+CD+BC=AB+AE+DE+DC+BC=2(AE+ DE)+BC=2AD+BC=2X5+7=17(cm). 10.(1):边AB的垂直平分线l,交BC于点D,边AC 的垂直平分线l2交BC于点E,∴.DA=DB,EA=EC △ADE的周长为6cm,.AD+DE十AE=6cm. ∴.BD+DE+CE=6cm.∴.BC=6cm.(2)'OD是 AB的垂直平分线，OE是AC的垂直平分线，∴.OA=OB, OA=OC..OB=OC..△OBC的周长为16cm,.OB+ OC+BC =16 cm.'.BC=6 cm,.OB=OC=5 cm. D .OA的长为5cm. 11.(1)如图，DE即为所求作.(2)如图，∠ADE= ∠CBH.DE是AC的垂直平分线，.AD=CD,AE= CE.又DE=DE,∴.△ADE≌△CDE(SSS). ∴.∠ADE=∠CDE.:BH⊥AC,DE⊥AC,.DE∥ BH..∴.∠CDE=∠CBH..∴.∠ADE=∠CBH. (第11题) 12.(1)如图①，作点P关于OB的对称点P',点P关于 OA的对称点p",连接PP"交OB于点R,交OA于点Q, 连接OP',OP",则∠1=∠2，∠3=∠4，OP=OP',OP= OP",RP=RP',QP=QP".∴.△PQR的周长为RP+ RQ+QP=RP'+RQ+QP'=P'P”.此时△PQR的周长 最小，最小值为P'P的长.：OP=OP',OP=OP”, ∴.OP'=OP.∠1=∠2，∠3=∠4，∴.∠POP"= ∠1+∠2+∠3+∠4=2∠2+2∠3=2∠AOB=60° ∴.△POP"为等边三角形..P'p"=OP'=OP=10,即 △PQR周长的最小值为10.(2)如图②，作点M关于 OB的对称，点M',点N关于OA的对称，点N',连接MN 交OB于点P,交OA于点Q,连接ON',OM,则 ∠M'OB=∠AOB,∠N'OA=∠AOB,OM'=OM=2, ON'=ON =2,MP =M'P,QN =QN'..MP+PQ+ QN=M'P+PQ+QN'=M'N'.此时MP+PQ+QN的 值最小，最小值为M'N'的长.：OM'=OM=2,ON'= ON=2,∴.OM'=ON'.∠M'OB=∠AOB=20°， ∠N'OA=∠AOB=20°，∴.∠MON'=60°.∴.△M'ON' 为等边三角形..M'N'=OM=2,即MP+PQ+QN的 最小值为2. ① (第12题) 方法归纳 解答阅读理解题的一般方法 阅读理解题是一种给定阅读材料，先从中获取新知 识、新方法、新思路，再解决新问题的题型.该题型能够 较好地考查同学们阅读理解、分析问题、解决问题的能 力.解答这类问题时，往往是先阅读问题的背景材料，再 从中获取信息、方法，最后用获得的方法、思路解决问题 16