1.4线段垂直平分线与角平分线同步练习2026-2027学年苏科版数学八年级上册

1.4线段垂直平分线与角平分线 2026-2027学年苏科版数学八年级上册 一、单选题 1．如图，为增强人民体质，提高全民健康水平，某市拟修建一个大型体育中心，使得体育中心到三个乡镇中心，，的距离相等，则点应设计在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 2．如图，在中，，平分，交于点 D，若，则点D到的距离为（  ） A． B． C． D． 3．如图，是的平分线，是中线，、相交于点E，于点F，，，若的面积是30，则的长为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，，点D在内，于点E，于点F，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．则下列结论： ①；②；③；④． 其中正确结论序号是（    ）． A．①② B．③④ C．①③④ D．①②④ 6．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则的周长等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，直线为线段的垂直平分线，交于点D，连，若，，则长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，在四边形中，，，连接，，．若是边上一动点，则长的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 二、填空题 9．如图，的面积为4，，的平分线交于点D，E，F分别是线段和上的动点，则的最小值为__________．      10．如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是___． 11．在中，，，，点是的内心，过作于点． （1）______ （2）______ 12．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长是______． 13．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ___________ ． 14．如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为______________． 三、解答题 15．如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长是24．求的长． 16．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短． (3)在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等． 17．（1）如图，在中，分别是边的垂直平分线，，则的周长是________． （2）如图，，连接交于点，则________． 18．【教材呈现】如图是八年级上册数学教材第49页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图1，是的平分线，是上任一点，作，，垂足分别为点和点，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图1，，点在上，，，垂足分别为，，求证：． 【定理证明】结合图1，写出“角平分线的性质定理”的证明过程． 【定理应用】（1）如图2，的周长是12，分别平分和，于点，若，则的面积为_____． （2）如图3，，点在上，点、分别在和上，连接和，若，求证：； 19．（1）如图1，平分．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B D D D B C 1．D 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：体育中心到三个乡镇中心、、的距离相等， ， 点在线段的垂直平分线上， 同理，点在线段的垂直平分线上， 点应设计在三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 2．B 【分析】根据角的平分线性质定理解答即可． 本题考查了角的平分线性质定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：，平分，交于点 D， 根据角平分线上的点到角两边的距离相等，为点 D到的距离， 故点D到的距离也为． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键．过作于，由角平分线的性质推出，求出，由三角形的面积公式得到的面积的面积，得，即可求出． 【详解】解：如图，过作于， ∵是的平分线，， ∴， ∵是中线，，的面积是， ∴，的面积的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查了角平分线的判定，注意：到角的两边距离相等的点在角平分线上． 根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度即可． 【详解】解：∵，，， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：D． 5．D 【分析】主要题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟记全等三角形的判 定与性质是解题的关键． 如图：连接和，根据线段垂直平分线求出，根据角平分线性质求出，证出，根据全等三 角形的性质及线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接和， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵平分，， ∴，故①正确，符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即④正确，符合题意； 根据题意，无法求出，故③错误，不符合题意． 综上，正确的有①②④． 故选∶D． 6．D 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线性质知，，的周长． 【详解】解：∵垂直平分 ∴， ∴的周长 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质；根据此性质得，即可求解． 【详解】解：∵直线为线段的垂直平分线，且，， ∴； 故选：B． 8．C 【分析】根据垂线段最短得出当时，的长度最小，求出，根据角平分线的性质得出即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时，的长度最小， ， ， ， 的最小值是4， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当时，的长度最小是解此题的关键． 9．2 【分析】在边上截取，连接，过点作，垂足为F，交于点E，则线段的长即为所求，根据三角形的面积解题即可． 【详解】如图，在边上截取，连接．    ∵平分， ∴点B与点关于直线对称． 过点作，垂足为F，交于点E，则线段的长即为所求（垂线段最短）． 由作法知是等腰三角形， ∴的长与点B到的距离相等． ∵的面积为4，， ∴B到的距离为2， ∴，即的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查图形变换—轴对称，最短路径问题，掌握垂线段最短是解题的关键． 10．42 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质可得，再由的面积是，即可求解． 【详解】解：如图，过O作于E，于F，连接， ∵分别平分和，， ∴， 即， ∵的周长是21， ∴， ∴的面积是 ． 故答案为：42 11． 【分析】（1），，，根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）点是的内心，连接，，，过点作于点，作于点，即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）是直角三角形，点是的内心，即角平分线的交点，如图所示，连接，，，过点作于点，作于点， ∴在，中， ， ∴， ∴，， 同理可证，，， ∴，，，即四边形是正方形， ∵，，， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴，，， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握勾股定理的逆定理，内心的定义和性质是解题的关键． 12．7 【分析】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：7． 13．4 【分析】本题考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质回答即可． 【详解】解: 直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，将的周长转化为与的和． 由线段垂直平分线的性质得；结合的周长公式，将替换为，得到周长等于；代入已知数值求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ． 的周长为， ． ， ． 又， ． 答：的长为． 16．(1) 解：如图，即为所求作． (2) 解：如图，点P即为所求作．      理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴当点P在直线l和交点处时，，为最小值， ∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值， 即点P到点A、点B的距离之和最短； (3) 解：如图，点Q即为所求作． 【分析】本题考查轴对称作图、角平分线的性质： （1）利用格点找出三个顶点关于直线l对称点，顺次连接即可； （2）当点P在直线l和交点处时，，为最小值； （3）利用格点找出的角平分线与直线l的交点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 17．（1）11；（2）2 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． （1）本题需要利用线段垂直平分线的性质，将的周长转化为已知线段的和来求解； （2）本题要根据线段垂直平分线的判定与性质，确定是的垂直平分线，从而得出的长度． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为：． （2）∵，根据线段垂直平分线的判定，可知点都在的垂直平分线上． ∴是的垂直平分线． ∴． ∵， ∴． 18． 定理证明：证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 定理应用：（1）12； （2）证明：过点P作于点D，于点E， 则， ∵ ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 【分析】定理证明：由垂直可得，然后证明，进而问题可求证； 定理应用： （1）连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解； （2）过点P作于点D，于点E，则，，由已知与平角性质可得，即得，． 【详解】[定理证明]：略 [定理应用]： （1）连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，如图所示： ∵，分别平分和，于点D， ， ∴， ∴ ， ∵的周长是12， 即， ∴； 故答案为：12；　 （2）略 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．熟练掌握全等三角形的性质与判定，角平分线的性质定理证明和运用，三角形面积公式，平角性质，是解题的关键． 19．（1）； （2），理由如下： 过D作于点E，作交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ （3） 【分析】（1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过D点作于E点，于F点，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过D点作于E点，于F点，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据“”判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）过D作交延长线于点M，作于点N， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $