第07讲 有理数的乘方（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方的定义、底数指数概念及符号规律，衔接混合运算技巧（运算顺序与“奇负偶正”法则），延伸至科学记数法（a和n的确定方法及易错点），构建从概念到运算再到应用的递进式学习支架。 资料亮点在于7类题型覆盖概念理解到实际应用，探究式学习（如除方概念类比乘方）培养抽象能力与创新意识，科学记数法结合光纤速率等实例发展数学语言表达。课中辅助分层教学，课后检测与复盘笔记助力学生查漏补缺，强化应用意识。

简一数理 初中专题讲义 第07讲 有理数的乘方 （新教材北师大版） 知识点一：有理数的乘方 2 知识点二：混合运算技巧 2 知识点三：科学记数法 2 【题型1 有理数幂的概念理解】 3 【题型2 有理数的乘方运算】 4 【题型3 有理数的乘方逆运算】 4 【题型4 乘方运算的符合规律】 5 【题型5 乘方的应用】 5 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 6 【题型7 将用科学记数法表示的数还原】 6 【探究式学习】 7 【课后检测】 9 【复盘笔记】 13 知识点一：有理数的乘方 乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 【例】表示有n个a连续相乘： 表示， 表示， 表示． 【注】当n为奇数时，；当n为偶数时，． 知识点二：混合运算技巧 1．有理数运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算． （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）． 2．“奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 【例】 ； ． 知识点三：科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成 a×10ⁿ 的形式（其中 1 ≤ a < 10，n为正整数），叫做科学记数法。 2.确定a和n的方法： · a：原数的整数部分从左边起，只保留一位非零数字，其余位变为小数部分（即小数点移到第一个非零数字后面）。 · n：等于原数的整数位数减1。 【例】5670000=5.67×10^6 （整数部分7位，n = 7-1 = 6） 【例】304=3.04×10^2 3.易错提醒（避坑指南）： · a的范围必须是 1 ≤ a < 10，不能是10或大于10，也不能小于1（如 0.5×10^5是错的，应写成 5×10^4）。 · 带单位的数（如“万”“亿”）要先化成普通数字再转换，或记住：1万 = 10⁴，1亿 = 10⁸。 【例】2.52.5万 = 25000=2.5×10^4 【题型1 有理数幂的概念理解】 【例1】下面为小亮某次测试的答卷，每小题分，他的得分应是（   ） (1)的绝对值为3 (2)倒数等于本身的有理数只有1 (3)的底数是4 (4)的倒数是 (5)绝对值等于本身的有理数为非负有理数 A．分 B．分 C．分 D．分 【变式1-1】下列说法中正确的是（    ） A．两个有理数的差一定小于被减数 B．一对相反数的平方也互为相反数 C．数轴上的点不都表示有理数 D．倒数等于本身的数是、0 【变式1-2】若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式1-3】如果、互为相反数，、互为倒数，，为立方等于本身的数的个数，求代数式的值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．12 【题型2 有理数的乘方运算】 【例2】下列各数：，，，，，，其中负数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】如图所示，在单位长度为1的数轴上，点A、B表示的数分别为，且，则的倒数为（    ） A．4 B． C． D． 【变式2-2】对下列各算式计算结果的符号判断正确的一项是（　　）． A． B． C． D． 【变式2-3】下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型3 有理数的乘方逆运算】 【例3】若，，且，则等于（ ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】若有理数，z满足，，，且，，则的值为（    ） A．或 B．或6 C．或0 D．4或 【变式3-2】已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或3 C．或 D．11或3 【变式3-3】下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，且，则； ②若三个连续的奇数中，最小的一个为，则最大的一个是； ③已知a、b、c是有理数，，，则的值为1或者； ④的最小值是3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型4 乘方运算的符合规律】 【例4】观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【变式4-1】将，，从小到大排列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】与的和为0，则（　　） A． B． C．6 D．8 【变式4-3】若，则的值为（  ） A． B．1 C．3 D．4 【题型5 乘方的应用】 【例5】下列代数式的值，一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，不同进位制的数字之间也能进行转换，例如二进制数可转化为十进制数（规定当时，），则二进制数转化为八进制数可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数为（    ） A．1035 B．369 C．365 D．75 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例6】2026年5月18日，第二十一届“中国光谷”国际光电子博览会开幕．我国在光通信核心器件领域取得突破，全球首款面向算力集群的硅光单模产品亮相，光纤传输速率为每秒比特，即．将数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】《西游记》全书约万字，是中华优秀传统文化的瑰宝．用科学记数法表示数据万，结果是（     ）． A． B． C． D． 【变式6-2】“十四五”时期，盐城建成了农村生态河道约，位居全省第一．数据用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【变式6-3】2026年第一季度，我市实现农林牧渔业总产值3750000000元．该数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【题型7 将用科学记数法表示的数还原】 【例7】表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【变式7-2】中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 【变式7-3】北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 【探究式学习】 1．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 2．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：________， =________． (2)关于除方，下列说法错误的是（   ） A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； B．对于任何正整数n，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． =________；=_________；=_______ (4)想一想∶的圈次方写成幂的形式等于 ． (5)算一算： 【课后检测】 1．《西游记》是中国古典四大名著之一，通行本字数约为字．将用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．若，，，则a、b、c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．下列计算结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．有理数在数轴上的位置如图所示，下列五个代数式：，，，，，值为负数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在下列数，，，，，中，负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．下列各组表达式中，化简结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．已知，，且，则的值等于（   ） A．9或 B．7或 C．3或 D．1或 10．已知数a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．2026年3月27日江西省统计局发布，江西省2025年全年出生人口为万人，将万用科学记数法可表示为________． 12．若，，且，则______． 13．阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 14．我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 15．若，为有理数，且，则______． 16．如果，那么的值为____． 17．计算 (1) (2) 18．如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 19．直接写出得数 ① ；②      ③ ；④      ⑤ ；⑥      ⑦ ；⑧          ⑨ ；⑩ 20．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第07讲 有理数的乘方 （新教材北师大版） 知识点一：有理数的乘方 2 知识点二：混合运算技巧 2 知识点三：科学记数法 2 【题型1 有理数幂的概念理解】 3 【题型2 有理数的乘方运算】 5 【题型3 有理数的乘方逆运算】 7 【题型4 乘方运算的符合规律】 10 【题型5 乘方的应用】 12 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 13 【题型7 将用科学记数法表示的数还原】 14 【探究式学习】 16 【课后检测】 19 【复盘笔记】 28 知识点一：有理数的乘方 乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，读作“a的n次幂”或者“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数． 【例】表示有n个a连续相乘： 表示， 表示， 表示． 【注】当n为奇数时，；当n为偶数时，． 知识点二：混合运算技巧 1．有理数运算规则 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算． （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 简记为：从左到右，从高（级）到低（级），从小（括号）到大（括号）． 2．“奇负偶正” （1）多重负号的化简：这里奇、偶指的是“”号的个数，正、负指的是化简结果的符号； （2）有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号； （3）有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 【例】 ； ． 知识点三：科学记数法 1.定义：把一个大于10的数表示成 a×10ⁿ 的形式（其中 1 ≤ a < 10，n为正整数），叫做科学记数法。 2.确定a和n的方法： · a：原数的整数部分从左边起，只保留一位非零数字，其余位变为小数部分（即小数点移到第一个非零数字后面）。 · n：等于原数的整数位数减1。 【例】5670000=5.67×10^6 （整数部分7位，n = 7-1 = 6） 【例】304=3.04×10^2 3.易错提醒（避坑指南）： · a的范围必须是 1 ≤ a < 10，不能是10或大于10，也不能小于1（如 0.5×10^5是错的，应写成 5×10^4）。 · 带单位的数（如“万”“亿”）要先化成普通数字再转换，或记住：1万 = 10⁴，1亿 = 10⁸。 【例】2.52.5万 = 25000=2.5×10^4 【题型1 有理数幂的概念理解】 【例1】下面为小亮某次测试的答卷，每小题分，他的得分应是（   ） (1)的绝对值为3 (2)倒数等于本身的有理数只有1 (3)的底数是4 (4)的倒数是 (5)绝对值等于本身的有理数为非负有理数 A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的概念、倒数的定义、有理数幂的概念理解等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据绝对值的概念、倒数的定义、有理数幂的概念理解等知识，需逐项判断正误，统计正确小题数后计算得分． 【详解】解：∵=3，故(1)正确； 倒数等于本身的有理数有1和，故“只有1”错误，故(2)错误； 表示的相反数，底数为4，故(3)正确； ，故的倒数是倒数为，故(4)正确； 绝对值等于本身的数是非负数，故绝对值等于本身的有理数为非负有理数正确，故(5)正确； ∴正确小题为(1)､(3)､(4)､(5)，共4个； ∵每小题分， ∴得分分． 故选：B． 【变式1-1】下列说法中正确的是（    ） A．两个有理数的差一定小于被减数 B．一对相反数的平方也互为相反数 C．数轴上的点不都表示有理数 D．倒数等于本身的数是、0 【答案】C 【分析】根据有理数的运算，相反数，数轴，倒数的定义解答即可． 本题考查了有理数的运算，相反数，数轴，倒数的定义，熟练掌握定义和运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. 两个有理数的差不一定小于被减数，原说法错误，不符合题意； B. 一对相反数的平方不一定互为相反数，原说法错误，不符合题意； C. 数轴上的点不都表示有理数，正确，符合题意； D. 倒数等于本身的数是，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用数轴上点表示实数，实数运算，掌握根据数轴上点的位置判断式子的值是解题的关键． 根据数轴得到，结合实数运算法则判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴得，， ∴A、，此选项不符合题意， B、，此选项不符合题意， C、，，此选项符合题意， D、，此选项不符合题意， 故选：C． 【变式1-3】如果、互为相反数，、互为倒数，，为立方等于本身的数的个数，求代数式的值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数的定义，有理数的乘方计算，熟练掌握相反数和倒数及绝对值的性质是解题的关键． 互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得，，，，再由立方等于本身的数有0和，得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，， ∴，，， ∵立方等于本身的数是0或，为立方等于本身的数的个数 ∴， ∴ ． 故选A． 【题型2 有理数的乘方运算】 【例2】下列各数：，，，，，，其中负数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了绝对值以及有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键． 根据负数的定义即小于0的数是负数，再把所给的数进行计算，即可得出答案． 【详解】解：，，，，，， 其中负数的个数是4个， 故选：C． 【变式2-1】如图所示，在单位长度为1的数轴上，点A、B表示的数分别为，且，则的倒数为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值的概念，倒数，熟知不同的数的绝对值相等，则这两个数互为相反数是解题的关键． 由题意可得互为相反数，则可得，，代入即可解答． 【详解】解：， 互为相反数， 由图可得，， ， 的倒数为， 故选：C． 【变式2-2】对下列各算式计算结果的符号判断正确的一项是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算、乘法运算和乘方运算，掌握好相应的运算法则是关键． 利用有理数的乘方、乘法、加法运算法则分别计算各选项的结果，再判断符号是否正确即可． 【详解】解：对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误． 故选：A． 【变式2-3】下列各组数中，计算结果相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查多重符号的化简，绝对值，乘方，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数、绝对值、有理数乘方的运算法则，分别计算各选项中两个数的值，再比较是否相等即可． 【详解】解：A.∵， ， ∴，该选项不符合题意； B. ∵， ， ∴，该选项不符合题意； C. ∵， ， ∴，该选项符合题意； D.∵， ， ∴， 该选项不符合题意； 故选C． 【题型3 有理数的乘方逆运算】 【例3】若，，且，则等于（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方、求代数式的值，掌握相关知识点是解题的关键． 先根据绝对值和有理数乘方的逆运算求出a和b的可能值，再分4种情况讨论，结合找出符合题意的情况，从而计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ①当，时，，符合题意，此时； ②当，时，，不符合题意，舍去； ③当，时，，不符合题意，舍去； ④当，时，，符合题意，此时； ∴综上所述，． 故选：B． 【变式3-1】若有理数，z满足，，，且，，则的值为（    ） A．或 B．或6 C．或0 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的乘方逆运算，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确求出的值． 根据条件、、以及绝对值方程的性质，确定 、、 的可能取值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵， ∴或， ∵ ， ∴ 或， ∵ ， ∴或， ∵ ， ∴ ， 当 时，，成立； 当 时，，不成立； 当 时，，成立； 当 时，，不成立， ∴ 可能情况：或， ∵ ， ∴ ，即， 又∵， ∴ ， - 当 时，； - 当 时，， ∴ 的值为或， 故选A． 【变式3-2】已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．或3 C．或 D．11或3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘方、求代数式的值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先根据绝对值和有理数乘方的逆运算求出的值，再结合得到，再分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∵， ∴， ①当，时，满足，； ②当，时，不满足，不符合题意，舍去； ③当，时，满足，； ④当，时，不满足，不符合题意，舍去； ∴综上所述，的值为11或3． 故选：D． 【变式3-3】下列说法中，正确的个数是（   ） ①若，且，则； ②若三个连续的奇数中，最小的一个为，则最大的一个是； ③已知a、b、c是有理数，，，则的值为1或者； ④的最小值是3． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值、乘方、列代数式、求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． ①由条件得和的可能取值，结合判断的值；②根据连续奇数的差为2判断；③利用代换，结合得出、、的符号，再代入计算即可；④利用绝对值几何意义求最小值． 【详解】解：①由题意可得：，， ， ，， 则或；故①是错误的； ② 若三个连续的奇数中，最小的一个为， 则最大的一个是；故②是正确的； ③由题意可得：，，， 又，， 、、两负一正， 设，，， 则； 原式的值为1，故③错误； ④表示到和1的距离之和． 当时，距离和最小，最小值为．④正确． 综上，正确个数为2， 故选：B． 【题型4 乘方运算的符合规律】 【例4】观察下列算式：，，，，，，…通过观察，用你发现的规律写出的末位数字是（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了乘方运算中末位数字的周期性规律，解题的关键是找出末位数字的循环周期，再通过指数除以周期求余数确定结果． 观察已知算式的末位数字，发现其以2、4、8、6为一个循环周期；用指数2026除以周期4，根据余数判断对应的末位数字． 【详解】解：观察算式可得，的末位数字依次为2、4、8、6，以4为循环周期；，余数为2； 余数为2对应循环周期中的第2个数字4，即的末位数字是4； 故选：C． 【变式4-1】将，，从小到大排列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方法则计算各数，根据有理数大小比较的法则比较即可． 本题考查的是有理数的大小比较、有理数的乘方，掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ． 故选：B． 【变式4-2】与的和为0，则（　　） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是相反数的应用，绝对值和平方的非负性．熟练掌握互为相反数的两数之和为0，以及非负数的和为0得每一个非负数均为0，是解题的关键． 根据互为相反数的两数之和为0，以及绝对值和平方的非负性，求出a、b的值，进而求出结果． 【详解】解：∵与的和为0， ∴与互为相反数， ， ， ， ， 故选：A． 【变式4-3】若，则的值为（  ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是非负数的性质，先根据非负数的性质求出m、n的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：因为， 所以，， 所以， 所以． 故选：B． 【题型5 乘方的应用】 【例5】下列代数式的值，一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数与0的大小关系，绝对值，立方和平方，判断不同的数与0之间的大小关系是解题的关键． 通过分析每个选项在实数a下的取值情况，判断其是否恒为正数（大于零）即可判断合适的选项． 【详解】解：对于A：当时，，∴不总是正数，∴不符合题意； 对于B：当时，，∴不总是正数，∴不符合题意； 对于C：当时，，∴不总是正数，∴不符合题意； 对于D：∵，∴，∴总是正数，∴符合题意； 故选：D． 【变式5-1】若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的应用，有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法． 先根据有理数的乘方运算法则化简各数，再根据有理数的大小比较方法判断即可． 【详解】解：，，，， 因为， 所以，即； 因为， 所以， 所以，即， 所以， 故选：D． 【变式5-2】进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，不同进位制的数字之间也能进行转换，例如二进制数可转化为十进制数（规定当时，），则二进制数转化为八进制数可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的混合运算，先将二进制数转化为十进制数，再将其转化为八进制数即可． 【详解】解： ， ∴ 十进制数为86． 又∵， ∴转化为八进制数为． 故选A． 【变式5-3】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数为（    ） A．1035 B．369 C．365 D．75 【答案】B 【分析】本题考查进位制的转换，解题的关键在于理解满七进一的计数规则． 将结绳计数的结果转换为十进制数，进行求解即可． 【详解】解：从右到左，第一位的权重是1，第二位的权重是，第三位的权重是，第四位的权重是， 最右边第一位有5个结，其对应的数值为， 第二位有个结，其对应的数值为， 第三位有0个结，其对应的数值为0， 第四位有个结，其对应的数值为， 将每一位对应的数值相加，可得孩子自出生后的天数为． 故选：B． 【题型6 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例6】2026年5月18日，第二十一届“中国光谷”国际光电子博览会开幕．我国在光通信核心器件领域取得突破，全球首款面向算力集群的硅光单模产品亮相，光纤传输速率为每秒比特，即．将数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的标准形式为，其中，为整数．先确定的取值，因为要满足，所以需要将原数的小数点向左移动，得到符合要求的．再确定的取值，因为的绝对值等于原数小数点移动的位数，且原数绝对值大于10时为正，所以根据小数点移动的位数得到的值，即可写出科学记数法的表达式． 【详解】解：． 【变式6-1】《西游记》全书约万字，是中华优秀传统文化的瑰宝．用科学记数法表示数据万，结果是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的形式，把万写成，把小数点向左移动5位，确定、，即可得答案． 【详解】解：万． 【变式6-2】“十四五”时期，盐城建成了农村生态河道约，位居全省第一．数据用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 【变式6-3】2026年第一季度，我市实现农林牧渔业总产值3750000000元．该数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：. 【题型7 将用科学记数法表示的数还原】 【例7】表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的定义，移动小数点即可得到原数． 【详解】解：科学记数法形式为（，为正整数），还原原数时需将的小数点向右移动位， 本题中，，将的小数点向右移动位， 得到原数为． 【变式7-1】2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 【变式7-2】中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 【答案】B 【分析】根据科学记数法的定义，将（n为正整数）还原时，把a的小数点向右移动n位即可得到原数． 【详解】解：∵给定数为，其中， ∴将2.42的小数点向右移动5位，可得原数为242000， 即原数为242000吨，对应选项为B． 【变式7-3】北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 【答案】B 【详解】解：． 【探究式学习】 1．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在， 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 2．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：________， =________． (2)关于除方，下列说法错误的是（   ） A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； B．对于任何正整数n，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． =________；=_________；=_______ (4)想一想∶的圈次方写成幂的形式等于 ． (5)算一算： 【答案】(1) (2)C (3) ，， (4) (5) 【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断； （3）观察例题得到规律，一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，按规律得到结果； （4）根据定义写出答案即可； （5）根据圈a的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果. 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，4． （2）解：，， 由于， ， 其它三个选项均正确， 所以选项错误， 故选：C． （3）解：； ； ； 故答案为：；；； （4）解：的圈次方， 故答案为：； （5）解： ． 【课后检测】 1．《西游记》是中国古典四大名著之一，通行本字数约为字．将用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的形式的要求逐个判断，继而得到答案． 【详解】解：科学记数法的形式是，其中，为正整数， ． 2．若，，，则a、b、c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简三个数，再比较化简后的数的大小即可解答． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A：，故此选项错误； B：，故此选项错误； C：，故此选项正确； D：，故此选项错误． 4．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为正整数． 【详解】解：将1200000000的小数点向左移动，直到得到的数满足，可得，1200000000的小数点向左移动了9位，所以．因此1200000000用科学记数法表示为． 5．下列计算结果相等的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：A、，，故，本选项不合题意； B、，，故，本选项不合题意； C、，，故，本选项不合题意； D、，，故，本选项符合题意． 6．有理数在数轴上的位置如图所示，下列五个代数式：，，，，，值为负数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方、正负数及数轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据数轴可得，再判断即可． 【详解】解：由数轴可得， 则，，，，， 则负数的个数为3个． 故选：C． 7．在下列数，，，，，中，负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，化简多重符号，化简绝对值．逐个计算每个数的值，根据运算规则判断正负性． 【详解】解：∵，，，，， ， ∴负数有4个：、、、． 故选：C． 8．下列各组表达式中，化简结果相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查多重符号的化简，绝对值，乘方，掌握知识点是解题的关键． 分别计算每组表达式的值，比较是否相等即可． 【详解】解：对于选项A∶ ∵， ， ∴， 该项不符合题意； 对于选项B∶ ∵， ， ∴， 该项符合题意； 对于选项C∶ ∵， ， ∴， 该项不符合题意； 对于选项D∶ ∵， ， ∴， 该项不符合题意； 故选B． 9．已知，，且，则的值等于（   ） A．9或 B．7或 C．3或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的运算． 根据绝对值的意义，有理数的乘方的定义分别求出，的值，然后结合进行分类讨论即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 由， 则，， ∴； ，， ∴； 故选：C． 10．已知数a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较，掌握数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，负数的奇数次幂是负数是关键．根据数轴上点的位置关系，可得a、b的大小，再判断各个结论即可． 【详解】解：由数轴上点的位置，得，， ，故①正确； ，故②错误； ，故③错误； ，，故④错误； 由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得，故⑤正确； ⑥，故⑥正确； 所以正确的结论有3个． 故选：B． 11．2026年3月27日江西省统计局发布，江西省2025年全年出生人口为万人，将万用科学记数法可表示为________． 【答案】 【分析】先将带单位“万”的数改写为普通整数，再根据科学记数法的要求确定和的值，科学记数法形式为，满足，为整数． 【详解】解：万． 12．若，，且，则______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了绝对值的定义、平方的定义，根据绝对值和平方的性质，确定和的可能值，再结合同号条件筛选，最后求和. 【详解】解：， 或， ， 或， ， 和同号， 当，时，； 当，时，. 13．阅读以下内容： 根据这一规律，计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，对于任意正整数，有，令，，即可求得答案． 【详解】根据题意可知，对于任意正整数，有． 令，，可得 ． 即 ． 故答案为： 14．我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了根据乘方运算求解．观察3的正整数次幂的个位数字，发现其以3、9、7、1四个数字为一个循环周期．2025除以4的余数为1，故的个位数字与的个位数字相同，据此即可求解． 【详解】解：由题意得的个位数字按3、9、7、1顺序循环， ， 因此个位数字为3． 故答案为：3． 15．若，为有理数，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的运算，偶次幂和绝对值的非负性，有理数除法，利用非负数的性质，求出 和 的值，再代入计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴且， 解得，， 则， ∴， 故答案为：． 16．如果，那么的值为____． 【答案】9 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及代数式的求值，准确的计算是解决本题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零时，每个部分都为零，从而求出未知数的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴且， ∴， ∴，． 则． 故答案为：9． 17．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加减混合运算和有理数加减乘除乘方混合运算，按照有理数的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 【答案】(1)4； (2)①；②， 【分析】（1）根据定义，找到10的多少次方等于对应数，这个指数就是劳格数； （2）①利用除法性质，拆分计算； ②把4、8拆成2相乘的形式，用乘法性质展开计算． 【详解】（1）解：， ； ， ． （2）解：①； ②， ， ． 19．直接写出得数 ① ；②      ③ ；④      ⑤ ；⑥      ⑦ ；⑧          ⑨ ；⑩ 【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【分析】根据分数、小数加减乘除法的运算法则，比值的求法以及乘方的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． 20．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】理解题意，模仿题干过程进行分析作答即可． 【详解】解：设， 则 ∴， 即． 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $