江苏省南菁高级中学2026-2027学年高三上学期9月诊断练习数学试题

**基本信息** 高三数学诊断练习聚焦函数、导数等核心知识，通过选择、解答题分层设计，考查抽象能力与推理意识，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|命题否定、集合运算、不等式|基础巩固，考查数学眼光| |多选题|3/18|函数性质、逻辑推理|能力提升，体现数学思维| |填空题|3/15|函数奇偶性、恒成立问题|简洁应用，强化数学语言| |解答题|5/77|导数切线、零点讨论、函数最值|综合创新，如第18题零点个数分析考查推理能力，第19题切线与交点问题培养数学思维|

高三数学诊断练习 命题人：徐德云 审题人：陈卫东 2026.9 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1.命题“x>0,y>0,3+2'>2”的否定是 (▲) A.x>0,y>0,3+2y<2 B.3x>0,y>0,3x+2y≤2 C.]x≤0，y≤0,3+2y>2 D.3x≤0，y≤0,3x+2y≤2 【答案】B 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的条件不变， 所以命题“x>0,y>0,3+2y>2"的否定是：“x>0,y>0,3+2'≤2”. 故选：B 2.若全集U=R,集合A={xy=x,B={3≤27}，则An(CB)= (▲) A.(0,3) B.(3,+∞) C.[3,+0) D.[0,3] 【答案】B 【详解】由题意可知，A={xx≥0，B={xx≤3}， 则B={xr>3},故An(C,B)=(3,+m) 故选：B 3.“a>b”的一个必要不充分条件是 (▲) 4周 B.In(a-b)>0 C.22>2 D.a>b3 【答案】A 【详解】对于选项A,由 s1释a-60.a≥6，所以月 ≤1是a>b的必要不充 分条件，故A正确： 对于选项B,取a=2,b=1.5,则h(a-b)=h(2-1.5)=n0.5<0,所以ln(a-b)>0不是 a>b的必要条件，故B错误： 对于选项C,2>2等价于a>b,所以2>2°是a>b的充要条件，故C错误： 对于选项D,a>b等价于a>b,所以>b是a>b的充要条件，故D错误. aa0到引，Hcma香5cw2a,则a 第1页 A. 1 B. 1 C.6 D. 6 6 6 【答案】D 【详解】因为&∈0， 2 则sina>0,cosa>0,所以，sina+cosa>0, π 由cosa- =√5cos2a可得 4 2 (cosa+sina)=3(cosa-sin2a)=3(cosa+sina)(cosa-sina), 所以，cosa-sina= VG 所以，(cos-sina}=1-2 sinacosa=1-sin2a= 6) 6 61 故simn2a= 6 故选：D. 5.已知函数fx)=2-,正数a.b满足fa+f(9b-2)=0,则2+的最小值为（▲） 2*+1 a b A.8 B.10 C.12 D.16 【答案】A 【详解】f=12”+1:2-1 2 2+12+1 2+1'定义域为R, 由y=2在R上单调递增，则∫(x)在R上单调递增， f-x)=1-,2=1-2-2 2+112*+1 则=x122g22=0 2x+1 则f(x)为奇函数， 由f(a)+f(9b-2)=0,则f(d=-f(9b-2)=f(2-9b), 又f(x)在R上单调递增，则a=2-9b,即a+b=2, 测片*后动a则)曾or288 当且仅当b-只，即a= 2b=。时，等号成立， 1 6 11 故二+，的最小值为8. a b 故选：A 6.若函数f(x)= sn2x+4cosx在(0，网上单调递增，则实数a的取值范围为 1 (▲) 第2页 A.(-0,-1] B.(-0,] C.[-1,+o) D.(1,+0) 【答案】A 【详解】f()=)sin2x+a-cosx=in cos+acos, 2 f(x)=cos?x-sin2x-asinx=-2sin2x-asinx+1, 因为f(x)在(0，D上单调递增，所以-2sinx-asinx+1≥0在(0，π)上恒成立， 令sinx=t,则-22-at+1≥0在(0,1]上恒成立， 即as}2x在(o,1上恒成立， 因为y=}21在(0,1]上单调递减， 所很-a=山，所以as1 min 故选：A 乙.已知函数f)=x+1-2,g)=e+C(a∈R),若曲线y=f)上存在点B,使得点p 关于y轴的对称点在曲线y=g(x)上，则a的最大值为 (▲) A. B.-1 C. 1 D.1 e e 【答案】c 【详解】函数fx)=x+1-2,g)=e+(a∈R)的定义域均为(-，0Uo,+), 设P(x,),则点P关于y轴的对称点为(-x,),x≠0 1 y=x+一 「y=f(x) -2 依题意，方程组 y=8()有解， 即方程组 有解， y= -x 因此方程x+1-2=e'+日台a=xe-x2-1+2x,x≠0有解， -x 令函数h(x)=e-x2-1+2x,求导得h()=1-x)ex-2x+2=1-x)(e+2), 当x<1时，H(x)>0;当x>1时，(x)<0,函数h(x)在(-o,1)上递增，在(1，+o)上递 减， 则(m=h=】,由a=h的有解得a≤ e e 所以a的最大值为 8.己知9s-4e+x=0,.9w+6w-y=0,则兰的值为 (▲) 第3页 A.5+1 B.5-1 2 C.√5+1 D.5-1 2 【答案】A 【详解】令log6x=m,log4y=n,则x=6",y=4”, 由96-41%+x=0,91w+6gwW-y=0, 得9"-4"+6"=0,9”+6”-4”=0， 广1-+-1o, 则 均为方程+t-1=0(t>0)的根， 即=n, 2V5+1 √5-12 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题，其中正确的是 (▲) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若c2>bc2,则a>b 11 C.若a>b,且 a>6,则ab>0 D.若a>b>0,则b+l aa+l 【答案】BD 【详解】对于A,若a=-1>b=-2,c=-3>d=4,则ac=3<8=bd,故A错误； 对于B,若ac2>bc2,显然c≠0，即c2>0,则a>b,故B正确： 对于c,因为a>b,则b-a<0,又>6，即62>0，所以ab<0,故C错误 a b ab 对于D,若a>b>0,则 b+10(at1)-a(6+1)=b-a ,故D正确。 aa+l a(a+1) a(a+1) aa+ 故选：BD. 第4页 10.己知a, sin(2a+B)=3sinB,则下列说法正确的有 A.若a= ,则tanB= 3 B.tan(a+B)=2tana C.3a,B,使得a=B D.tamP的最大值为 4 【答案】ABD 【详解】已知a,B∈0，》 sin(2a+B)=3sinB, 2 sin(2a+B)=sin (a+B)+a sin(a+B)cosa+cos(a+B)sin a, sinB=smn (a+B)-a=sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina, sin(a+B)cosa+cos(a+B)sina=3 sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina, 化简得2cos(a+B)sina=sin(a+B)cosa,即tan(a+B)=2tana, 对于A,若a=行，则ma=an-1, 4 tan亚+tanB tan(a+B)=tan 4 1+tan B 1-tan tan 6 1-tan B' 4 由于tan(a+B)=2tana,所以 A-2,新得细B-方故A正角 1-tan B 对于B,由前面的推导可知tan(a+P)=2tana,故B正确； 对于C,假设存在a,P,使得a=P,代入等式sin(2a+P)=3sinP,即sin3a=3sina, 由于 sin3a=sin(2a+a)=sin 2acosa+cos 2asin a=2sin acos2a+(1-2sin2a)sin a=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a 所以3sina-4sinm3a=3 sina,解得sina=0,由于a&e0, 2 sina>0,矛盾， 因此不存在，B,使得u=B,故C错误： 对于D,由于tan(a+B)=2tana&,所以 ta=a[(-]()taa+2an tan(a+B)-tan a 2tana-tana tana tana 1 由于a∈0， 1, 2 tana>0,所以taB= 1+2tan'a 2tan a+ tana 第5页 根据基本不等式，2tan+ -≥2,2tana. 1=22,当且仅当2tam= 一，即 tan a tan tan a tana= 时取等号， 2 所以tanB- 1√2 1 254,即P的最大值为 ,故D正确. 2tan a+- 4 tana 「2-4，x≥0 11.已知函数f(x)= 4-f(),x<0'则下列说法正确的是 A.f(x)的图象关于(0,2)中心对称 B.若函数yf(x)川-有4个零点，则0<m<3 C.函数yHf(x)-2是偶函数 D.设函数y=f(x)+x3-2有两个零点，x2,则f(x)+f(化)=4 【答案】CD 【详解】函数f(x)= 「2-4，x≥0 4-f(,x<0'当r<0时，x>0,则 f(x)=4-f(-x)=4-(2x-4)=8-2x, 2x-4,x≥0 因此函数f(x)= 8-2,x<01 对于A,f(0)=-3,即点(0，-3)在函数f(x)的图象上，而点(0，-3)关于(0,2)对称点(0,7)不 在f(x)的图象上，因此函数f(x)的图象关于(0,2)不成中心对称，A错误； 对于B,当x≥0时，由|f(x)=32-4=3,解得x=0或x=log27; 当x<0时，由lf(x)=3→8-2=3，解得x=-log25或x=-1og211, 因此当m=3时，函数yf(x)儿-m有4个零点，B错误： 2-6,x≥0 对于C,令函数8(x)=f(x)-2={ 2-6,x<01 当x>0时，-x<0,8(-x)2-6=g(x): 当x<0时，-x>0,8(-x)=2-6=g(x), 即x∈R,都有g(-x)=g(x),因此函数yf()-2是偶函数，C正确： 对于D,f(x)+x3-2= [x3+2-6,x≥0 -2+6x<0'函数=，y=2-6y=-2+6在R上都是增函 数， 因此函数y=f(x)+x3-2在(o,0),[0,+o)都单调递增，显然0不是此函数的零点， 第6页 x3+2-6,x>0 令函数h(x)= x3-2+6,x<01 当x>0时，-x<0,h←x)=-x3-2+6=-hx); 当x<0时，-x>0,h(-x)=-x+2x-6=-h(x, 即x∈R,x≠0，都有h(-x)=-x), 即函数h(x)是奇函数，而h)=-3<0,h(2)=6>0,即h(x)在(0，+o)上有唯一零点， 在(0,0)上有唯一零点，又函数h(x)与函数y=f(x)+x3-2有相同零点， 即x,x是函数(x)的两个零点，由奇函数性质得x2=-x1,且h)+h(飞)=0， 因此f()+x-2+f(x2)+x-2=0,f3)+fx)=4-(g+x)=4-[x+(-x)]=4,D正 确。 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上 12.已知sinc=, 8·且⊙E<x≤ ,则cosa-sina=▲ .3π 4 【详解】(cosa--sin a})-l-2 sinacos=1- 13 44' .∴.cosa-Sin=± 6 2 . << 3π .cosa sina,cos a-sina>0, 4 2 5 ∴.cosa-sina= 2. 13.若函数(x+2)为偶函数，y=g(x+1)-5是奇函数，且f(2-x)+g(x)=2,则 f(2023)=▲ 【详解】由题意可知f(x)关于x=2轴对称，g(x)关于(1,5)中心对称， f(2-x)+8(x)=2→f(2-x)+10-8(2-x)=2→f(2-x)-8(2-x)=-8, 所以f(x)-8(x)=-8,故f(x)+f(2-x)=-6=f(x)+f(2+x), 所以(x+2)+f(x+4)=-6→f(x)=f(x+4), 即T=4是f(x)的一个正周期，则f(2023)=∫(3)=f(1) 第7页 由f(2-x)+f(x)=-6→f(-1)+f(3)=-6,且f(-1)=f(3),则f(1)=-3, 故答案为：-3 14.若对x∈[1，+0)，32x+-3+(x+3)+32ax≥0恒成立，则实数a的取值范围为 【答案】（←∞，小U{3} 【详解】原式整理得(3-3)(3xH-3x)≥0，当a≤1时，3"-3“≥0在[1，+∞)上恒成立， 令f(x)=3x-3x(x≥1)，则f'(x)=3+h3-3≥9n3-3>0, 所以∫(x)单调递增，故f(x)≥(1)=9-3≥0， 所以a≤1时，原不等式恒成立： 当a>1时，易知函数g(x)=3-3在1，+m)上单调递增，令g(x)=0得x=a, 若原不等式在[1，+w)恒成立，则(a=3a+1-3.a=0,解得a=3, 此时f(x)=3+-27x,f'(x)=h3.3+-27,令f"(x)=0,得x=2-log(n3)e(1,2), 所以当1<x<2-log3(h3)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x>2-log3(n3)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；因为f(1)=-18<0,f(3)=0, 故当x>3时，f(x)>f(3)=0,所以当a=3时，原不等式在[1，+0)恒成立， 综上实数a的取值范围为(-o,1小U3} 故答案为：（∞，]小U{3}. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤， 1,(体小愿满分3分)已知晒数f)如不+0(：-) sin2+x】 2 7π (1)求 值 3 2)若f()=2,求sima+的值. 1+cos a 第8页 【详】解61)f)-血（+红os(云-）.-mr((-cow) tanx COSx +x .4 (2 π 7π π 3 =tan 3 tan- =√5 3 8 (2)由f(a)=tana=2, in+sinacosasin'+sinccosatana+tan1 .13 1+cos a sin'a+2cos'a 2+tan'a 16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=log.x(a>0,且a≠1)，若函数f(x)在区间 [3,2]上的最大值与最小值之差为1. (1)解不等式f(2x-2)<f(x): ②当xL9]时、求函数g()=()f3)的最值，并求出取得最值时对应的x的值， 【详解】(1)由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以2>3，a>0,a≠1， 所以a>√5，所以f(x)在(0，+o)上单调递增， 2 2x-2<x 所以{2x-2>0,解之得1<x<2,所以解集为(1,2) 6 x>0 (2)因为∫(x)在(0，+o)上单调递增， 所以f(xr=f(a2)=2,f(x)am=f(3)=loga3, 即2-log。3=1,所以a=3 8 所以f(x)=log3x,所以 ()()(og-)o,3+). 令lgx=t,因为x∈1,9]，所以t∈[0,2]， 10 质以0=6-20*0=r-2-- 该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得： 比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大， 所以h(C)n=h )..-w)-0. 1=- 第9页 即lg,x-=5,1gx=2x=9, 所以当=5时，重致g国有最小道- ,当x=9时，函数g()有最大值0.15 17.(本小题满分15分)已知0<w<, 3 (1)求sina的值： 求&-B的值. 24 3 【小问1详解】 解：因为0<a< π <3 4 4 又oa到n）(-29 2 所以 mae引erme- 6 ….6 【小问2详解】 解：因为cos ma=0-}lg引=as(g1-2g1 又因为受<B<0,所以c0sf=1-5nE=25 3 由(1)知， owa=[a+月)oa+引m导a+}g- ，10 “46 所以 -X 第10页 因为0<a<花，-T<B<0,则0<a-B<π，所以a-B= 2，、 2 4 .15 18.(本小题满分17分)己知函数(x)=e+cosx」 (1)求曲线y=f(x)在0， 上的最值 (2)讨论f(x)在区间(-兀，+o)上的零点个数： (3)若fm=n,其中m>0,求证：n-m>2. 【详解】（1)由f(x)=e*+cosx,f(x)=e-sinx, x0}f闭-心-血20所以r=网在0引 上单调递增，f(0)=1 得am=f0)=2,fx-f5）=e8 ………….4 (2)①当x>0时，e>1,-1≤cosx≤1，所以f(x)>0. 所以f()在区间(0，+∞)上无零点： 6 ②当-π<x≤0时，e>0,sinx≤0，所以f()=e-sinx>0, 所以f(x)在区间(-兀，0]上单调递增， 又f(-π)=e"-1<0,f(0)=2>0, 所以f()在区间(-兀，0]上仅有一个零点， 综上，f(x)在区间(-兀，+0)上的零点个数为1.……10 (3)设g(x)=f(x)-x-2(x>0),即g(x)=e+cosx-x-2, 所以g'(x)=e-sinx-1, g'(x)=h(x),h'(x)=e*-cosx, 因为x>0时，e>1,-1≤cosx≤1，所以h(x)>0, 所以h(x)在区间(0，+o)上单调递增， 即g'()在区间(0，+∞)上单调递增， 故8(x)>8'(O)=0,所以8(x)在区间(0，+∞)上单调递增. 故8(x)>8(0)=0,所以f()-x-2>0. 因为>0，所以f(m-m-2>0, 又f(m)=n,所以n-m>2. …17 19.(本小题满分17分)已知函数∫(x)=log。x(a>1)与8(x)=x2(t>0)的图象相交于点 P,O为坐标原点. 第11页 (1)求函数y=f(x)图象在M(a,1)处的切线方程： (2)若直线OP与y=∫(x)图象相切于点P,求a的值： (3)若直线OP与y=f(x)图象交于另一点Q,且Og≥2OP,求a的取值范围. 【详解】1)易知f()a所以ra= xhna a.Ina 所以切线方程为y-1=1k-a,即y=。 1 1 -x- -+1. a.la a.InaIna 4 a》陵.E8a终a 所以nx=1,解得x=e, 又点P在函数f(x)=log。x(a>1)与8(x)=2(t>0)的图象上， 则=2=log。t=,玉=a,则d=(）f=(化)=e心2…9 (3)设Q(x2,2),因为直线OP与y=f(x)图象交于另一点2，且OQ≥2OP,则 x222x1, 今m=受w2,点g,即。。符号 alhx=h为 XX2 所以玉-血_血+h玉，整理得到飞 _hm（m≥2)， m-1 1-1-Inm 令h(m="m22,则hm= (-1)2 令Pm）=1-1nmm≥2)，则pm=-11-m<0对任意的m≥2恒成立. mmm 故函数p(m)在[2，+∞)上为减函数， 对任意的m≥2，p(m)≤p(2)=1-}ln2=】-1n2<0, 2 2 1-1-nm 所以(m= 似-<0在区同[2o)上恒废立， 所以h(m)在[2，+o)上单调递减，则h(m)=n∈(0，n2],所以x∈L,2], 由(2)知d=(x)=e, 令p(x)=x2.hx,则p(x)=2xnx+x=x(2hx+1)>0在区间(L,2]上恒成立， 第12页 所以p(x)=x2nx在x∈(1,2]上单调递增，则p(x)e(0,lnl6], 所以d∈(1,16] 17 第13页 高三数学诊断练习 命题人：徐德云 审题人：陈卫东 2026.9 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．命题“，”的否定是 （  ▲  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．若全集，集合，，则 （  ▲  ） A． B． C． D． 3．“”的一个必要不充分条件是 （  ▲  ） A． B． C． D． 4．已知，且，则 （  ▲  ） A． B． C． D． 5．已知函数，正数满足，则的最小值为 （  ▲  ） A．8 B．10 C．12 D．16 6．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 （  ▲  ） A． B． C． D． 7．已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为 （  ▲  ） A． B． C． D．1 8．已知，则的值为 （  ▲  ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是 （  ▲  ） A．若，，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 10．已知，，，则下列说法正确的有 （  ▲  ） A．若，则 B． C．，，使得 D．的最大值为 11．已知函数，则下列说法正确的是 （  ▲  ） A．的图象关于中心对称 B．若函数有4个零点，则 C．函数是偶函数 D．设函数有两个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，且，则_____▲_____. 13．若函数为偶函数，是奇函数，且，则_____▲_____. 14．若对，恒成立，则实数的取值范围为_____▲_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 已知函数; （1）求的值； （2）若，求 16．（本小题满分15分） 已知函数(，且)，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． （1）解不等式； （2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 17．（本小题满分15分） 已知 （1）求的值； （2）若，求的值. 18．（本小题满分17分） 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在区间上的零点个数； （3）若，其中，求证：. 19．（本小题满分17分） 已知函数与的图象相交于点为坐标原点． （1）求函数图象在处的切线方程； （2）若直线与图象相切于点，求的值； （3）若直线与图象交于另一点，且，求的取值范围． 答案第2页（共11页） 高三数学试卷 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $