16.3 专题特训八 整式运算的常考题型&综合与实践4 月历中的奥秘、和为定值的两数积的规律-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

x)2+(x-10)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2× 160=400-320=80. 9.思路导引 AE=10,S+S,=60 设参，设AD=a,DE=b a+b=10,a2+b2=60 完全平方公式变形 ab-atb)2-(a2+6) 2 求得△CDE面积 10 AD=CD=a,DE=6..AE=10,S+S2=60, ∴.a+b=10,a2+b2=60.(a+b)2=a2+b2+2ab, 100=60+2ab.ab=20.SAcpE =2CD.DE= 7a6=10, 10.原式=(4x2y2-8y+4-4+xy2)÷(1y) (6ry2-8y)片（只y）=20y-32.当x=2y=-03 时，原式=20×2×(-0.3)-32=一44. 1.():2[(a-b2+(6-c)2+(c-a)2]=2(a2+ 6-2a6+62+e2-2c+e2+a2-2ac)=号(2a2+26+ 2c2-2ab-2bc-2ac)=a2+62+c2-ab-bxc-ac,:'.a2+ b+c2-ab-c-ac=2[(a-b)2+(h-c)2+(c-a)2]. (2)由(1)，得a2+b+c2-ab-c-ac=2[(a-b)2+ (b-c)+(c-a)21.当a=2024,b=2025,c=2026时， 。+6+r-a6-女-ax=号x[(-1+(-1r+2]=8 微专题·已知x±士的值求代数式的值 1.21r2-5x+1=0.x≠0.x-5+7 =0. x+=5(-2)=(+2)-4=25 4=21. 22a+=-2.(a+)-a2+2+2=4, 即a+=2(a+)=++2=4十 =2. a 第3课时添括号法则 1.C(x-2y-1)(x-2y+1)=[(x-2y)-1][(x 2y)+11. 易错警示 添括号时易弄错符号 使用添括号法则时，要分清括到括号里的项是哪些 项，括号前面的符号是正号还是负号.添括号法则与去 括号法则是互逆的，因此验证运用添括号法则是否正确 时，可借助去括号法则判断. 2.C[x-(y+2x)]=(x一y-2x)2,与原式符号不一 致，变形错误.括号前面是负号，括到括号里的各项都需改 变符号 3.(1)2b-c-d(2)a+3b-c(3)y2+y 4.(1)原式=(a+b)2-1=a2+2ab+b2-1.(2)原式= [x-(y十x)刀[x+(y+x刀=x2-(y十z)2=x2-(y2+ 2yz十z2)=x2-y2-2y2-22.(3)原式=(a-b)2 2(a-b)c+c2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2r.(4)原式= (a+b)2-2(a+b)+1=a2+b2+2ab-2a-2b+1. (5)原式=(x2-1)2=x1-22+1.(6)原式= (a-)-a-2a+品 5.(1)a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.由题图可知，这个 正方形是由1个面积为a2的正方形，1个面积为b的正 方形，1个面积为c2的正方形，2个面积为ab的长方形， 2个面积为ac的长方形，2个面积为bc的长方形组成的， .(a+b+c)2=a2+62+c2+2ab 2ac +2bc. (2)a+2b+3c=6,∴.(a+2b+3c)2=62,即a2+ 4b2+9c2+4ab+6ac+12bc=36.又.'a2+4b2+9c2=30, .30+4ab+6ac+12bc=36.,.4ab+6ac+12bc=36 30=6..∴.2ab+3ac+6bc=3. 专题特训八整式运算的常考题型 1.AA.:'m3十m3=2n3,.此选项的运算正确，故此 选项符合题意.B..m°十m=2m3,∴.此选项的运算错 误，故此选项不符合题意.C.m3·m3=m°，∴.此选项的 运算错误，故此选项不符合题意.D..(m3)3=m,∴.此 选项的运算错误，故此选项不符合题意 2.C:3x-4y=2(x,y均为正整数)，.27÷9= (33÷(32)2w=32÷3w=32x-1w=32=9. 3.C小明用四个边长为a的正方形，两个长和宽分别为 2a和b的长方形拼成的题图③的面积为4a(a+b),小明 用四个边长为a的正方形，两个长和宽分别为2a和b的长 方形拼成的题图④的面积为(2a十b)2一b2,∴.4a(a十b)= (2a+b)2-b2. 4.D(3x-b)(x+5)=3x2+15x-bx-5b=3x2+ (15-b)x-5b.,展开式中不含关于x的一次项，∴.15 b=0..b=15. 5.(1)8a”(2a')=2·(a)=8a.(2)子 (号)”×()-（号）”×[()门-（号）"× (号)”=（号×号）×号=号.(3)-3mm+ m'n2+2m'n 原式=（-3m2n）·(mm2)- (-3m2n）(3m)-（-3m2n)·6=-3mn2+ m3n2+2m2n. 6.2y2-x2y+3x长方形的面积为6y-3xy+ xy,一边长为3y2,.它的另一边长为(6y-3.x2y3+ xy2)÷(3y2)=6y÷(3y2)-3x2y3÷(3y2)+xy2÷ (3y2)=2y2-a2y+3x. 7.(1)原式=a3·a3+a6+8a5=a5+a5+8a5=10a5. (2)原式=20x2一15x+24x-18一(15x2-20x+6x 8)=20x2-15.x+24x-18-15.x2+20x-6.x+8=5.x2+ 23x-10. 8原式=25a2.号a-4a2+8a2+12a-(a2-2a-a2+ 2)=5a3-4a3+8a2+12a-a3+2a+a2-2=9a2+14a- 2.当a=一1时，原式=9×（一1）2+14×（一1）-2=一7. 9.(1)原式=(2a-3b)2+2(2a-3b)+1=4a2-12ab+ 9b2+4a-6b+1.(2)原式=[(a-c)+4b][(a-c) 46]=(a-c)2-(46)2=a2-2ac+c2-16b2.(3)原式 [2x+(y-6)][2x-(y-6)]-[(x-y)2-12(x-y)+ 36]=(2x)2-(y-6)2-(x2-2xy+y2-12x+12y+ 36)=4x2-y2+12y-36-x2+2xy-y2+12x-12y 36=3x2+2xy-2y2+12x-72.(4)原式= (a+2)a-3)(a-)=a-)》'=a-2a+ 10.(1)原式=(1000十4)×(1000一4)=10002一42= 999984.(2)原式=(100+1)2+(100-1)2=10000+ 200+1+10000-200+1=20002. 11.(1)a+b=2,a2+b2=3,…∴.(a+b)2=4=a2+b2+ 2a6,即3+2b=4,解得b= ，(2)a2+b2=3,ab= 1 a+6=a2+b)2-2a26-3-2x（ 2/ =82 方法归纳 完全平方公式的常见变形 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)2+2ab. (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab,(a-b)2=(a+b)2-4ab. (3)(a十b)2+(a-b)2=2(a2+b2). (④a2+6=[a+b)+a-b]: (6)ab=1(a+b)2-a-b)] (6)a+6+e2-a6-c-ca=2a-b+6 c)2+(c-a)2]. 12.(1)(x+y)2=(x-y)2+4xy=52+4×(-6)=1, xty=士12)(a+号)=(e-2)'+a· 2=1+8=9u>0at2-3. a 综合与实践4月历中的奥秘、 和为定值的两数积的规律 1.(1)4×18-3×19=72-57=15.列算式答案不唯一，如 15×29-14×30=435-420=15.规律：“Z”字形框中间数 的上、下两个数相乘与左上、右下两个数相乘的差等于15. (2)设“Z字形框中间数上面的那个数为n,则其余三个数 分别为n-1,n+14,n+15,∴.n(n+14)-(n-1)(n+ 15)=n2+14n-(n2+14n-15)=n2+14n-n2-14n+ 15=15..n(n+14)-(n-1)(n+15)=15. 2.(1)根据题意可知，这两个数分别为a十b和a一b,其中 a为定值，b>0,∴.两个数的和为(a十b)+(a一b)=a十 b十a一b=2a(定值)，两个数的积为(a+b)(a-b)=a2 b2.当b>0时，b2随b的增大而增大，∴.a2一b2随b的增 大而减小.∴.b越小结果越大.当b=0时，结果最大（两数 相等)，即两数和一定时，差的绝对值越小，结果越大， (2)①根据题意可知，长与宽的和为20÷2=10(m),为定 值.当长和宽相等时，差的绝对值为0，面积最大，∴.长 宽=10÷2=5(m),最大面积为5×5=25(m).②设两 数为A=子x+2,B=9-x.3M+B=3(号x+2)+ (9-x)=15,为定值.根据规律可得，当3A=B时，3A·B 最大，由31=B,得3（分x+2)=9一x,解得x=号，此时 3A=B-克3M·B=(9)-婴即A·B=号· 3A·B=号×要-华：（日x+20-2)的最大值 第十六章拔尖自主测评 1.D选项A和选项C无法计算，(x2)=x2,x·x1= x8,故选项D正确。 2.Dx2·x5=x7,选项A错误；m1+m1=2m1,选项B 错误；（一xy)3=一x3y,选项C错误；一x÷(一x)3= x,选项D正确. 3c（3y）°-（3）·(x2·()- 4.A长方形的另一边长为(2x2十x)÷x=2x十1，.它 的周长为2(x+2x+1)=6x+2. 5.BM=(2x-1)(x-3)=2x2-6.x-x+3=2x2 7x+3,N=(x+1)(x-8)=x2-8x+x-8=x2-7x 8,M-N=(2x2-7x十3)-(x2-7x-8)=x2+11.x2≥ 0,∴.x2+11≥11.∴.M>N. 6.D.(x十2)(x一2)一2x=x2一4-2x=1,∴.x2 2x-4-1=0.x2-2x-5=0,x2-2x=5..2x2 4x+5=2(x2一2x)+5=2×5+5=10+5=15. 7.A4x2+mx+9=(2x)2+mx+32.4x2+m.x+9是 完全平方式，∴.m=±2×2×3=士12..(6m-8m)÷ （-2m2）+3m2=6m÷(-2m2）+8m3÷2m2+3m2= -3m2+4m+3m2=4m=4×(±12)=±48. 8.Ax一2能整除x2十kx一7，且常数项为一7，∴.另 -个益式的常数项为号子(+号)-2》=r计 红-7，即r+2-7=+红-2k=2 9.A设相邻的两奇数分别为21一1,2n+1(n≥1，且n为 正整数)，则(2n+1)2一(2n-1)2=8m.根据题意，得8≤ 2025,n<253日n最大为253，此时2m+1=507, 21-1=505..32-12+52-32+…+5052-5032+ 5072-5052=5072-12=257048. 10.B设正方形A,B的边长分别为a,b.根据题意，可得 (a-b)2=a2+b2-2ab=3,(a+b)2-a2-b2=a2+ 2ab+b2-a2-b2=2ab=42.∴.a2+b2=2ab+3=42+ 3=45,即正方形A,B的面积之和为45. 5 11.1021由题意，可知3s后该正方体的棱长为10× 100×100×100=10(cm),则3s后该正方体的体积为 (10)3=102(cm3). 12.1x-2y+3=0,∴.2÷4×8=2÷22×23= 2-2w+3=20=1. 1设-号6”单项式-号与单项式 /x=2y, x=4, 4a2wb3r-y的和为单项式，∴. 解得 y+8=3z-y, (y=2. 单项式-号a与单项式aby分别为 2 3a'b”,4ab品这两个单项式的积为二号a'b0 4a'b=-3a'b0 |x+1x+2 14.22 =27,.(x+1)(x-1)-(x+ x-3x-1 2)(x-3)=27.∴.x2-1-(x2-x-6)=27..x2-1- x2十x+6=27..∴.x=22 15.8设大、小正方形的边长分别为a,b.由题图①知， Se=2b=24,b=48.由题图@知，S#8=号u十 b)a+6)-b8-7a2=30.a2+a6+268-6 a2=30.ab=48,.b2=36.6=士6.6是小正 1 方形的边长，∴.b>0..b=6.∴.a=8,即大正方形的边长 为8. 16.-14:(a.x2+by2)(x+y)=(a.x3+by3)+(a.x+ by)xy,(ax3+by3)(x+y)=(ax'+by)+(ax2+by2). xy,.7(x+y)=16+3xy,16(x+y)=42+7xy..x+ y=-14,xy=-38. 17.(-2x0+1y201)·(5x"y")=-10x+w+1y"+2w-1= 10zy, m十n+1=4:解得 m+2n-1=4, =1-2mn· n=2. (←mr）》'=-2na·(任mn）=-3mn=-16 18.原式=[x2-4xy+4y2-(4x2-y2)-5y2]÷ (-2)=(x2-4y+4w2-2+y2-5y2)÷ (-2x)=(-3x2-4y)÷(2)=6x+8y.当x 1y=-号时，原式=6×1+8×(-2）=6-4=2 19.(1)892:(82+3×8+1)2.(2)n(n+1)(n+2)(n+ 3)+1是n2+3n+1的平方.假设猜想正确，则n(n十1)· (n十2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.:等式左边=[n(n十第十六章整式的乘法 专题特训八整式运算的常考题型 类型一幂的运算及整式乘法 1.[2025上海中考]下列运算中，正确的是 ( A.m3+m3=2m3 B.m3+m3=m9 C.m3·m3=m9 D.(m3)3=m6 2.已知3x一4y=2(x,y均为正整数)，则27÷9的值为 () A.6 B.8 C.9 D.27 3.数形结合思想小明用四个边长为a的正方形（如图①）和两个长和宽分别为2a和b的长方形（如 图②)拼成图③和图④.下列四个关系式中，能利用图③和图④验证的是 () ① ② ③ ④ (第3题) A.2a=4b B.a2=2ab C.4a(a+b)=(2a+b)2-b2 D.(2a+b)2=4a2+4ab 4.若(3x一b)(x十5)的展开式中不含关于x的一次项，则实数b的值为 A.3 B.-15 C.8 D.15 5.计算：(1)(2a4)3= (3)-3m2n(mm2-3mn-6)= 6.已知长方形的面积为6y4一3x2y3+xy2,它的一边长为3y2,则这个长方形的另一边长 为 7.计算： (1)a·a2·a3+(a3)2-(-2a2)3. (2)(5x+6)(4x-3)-(5x+2)(3x-4). 8先化简，再求值：(-5a)2…号a-4aa2-2a-3)-a-1Da2-2),其中a=-1 81 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 类型二乘法公式的应用 9.计算： (1)(2a-3b+1)2. (2)(a+4b-c)(a-4b-c). (3)(2x+y-6)(2x-y+6)-(x-y-6).(④(a+2)a2-1(a-2) 10.利用乘法公式计算： (1)1004×996. (2)1012+992. 11.*若a十b=2,a2十b2=3,求： (1)ab的值. (2)a4+b4的值 12.(1)已知x-y=5,xy=-6,求x十y的值. (2已知a>0a号-1，求a+号的简 82 “答案与解析”见P48 第十六章整式的乘法 综合与实践4月历中的奥秘、和为定值的两数积的规律 1.在生活中常见的月历上，我们发现某些数之间存在一定的数量关系.下面是某年11月的月历，现 用如图所示的“Z”字形框框出月历中的五个数（图中的涂色部分）. (1)将“Z”字形框中间数的上、下两个数相乘，左上、右下两个数相乘，再把两个乘积相减，例如： 4×18一3×19，请你算出结果，并列出另一个“Z”字形框的算式并计算结果，通过计算你能得出什 么规律？ (2)请你根据(1)中的做法，证明：n(n+14)一(n一1)(n+15)=15. 日 二三四五六 12 3 456789 10 111213 141516 17 181920212223 24 252627282930 (第1题) 2.舒考向探究题【发现】数学活动课中，学习小组通过计算下面两组乘法算式的结果（每组算式中 两个因数的和为定值)，发现结果有个规律：两数和一定时，差的绝对值越小，结果越大 ①30×30,35×25,43×17,52×8； ②50×50,53×47,74×26,91×9. 【验证】(1)设两个数分别为a+b和a一b,其中a为定值，b>0.请用整式的乘法证明上述 规律， 【运用】(2)请用上述规律解决以下问题： ①用20m长的绳子围成一个长方形或正方形，求这个图形的最大面积. ②求(3x+2(9-x)的最大值 “答案与解析”见P49 83