周周练12 16.3 乘法公式（数学新教材人教版八年级上册）

**基本信息** 聚焦乘法公式，通过劳动实践基地几何模型、种植基地实际问题、赵爽弦图文化素材及“奇巧数”新定义设计，体现几何直观、模型意识与创新意识，适配八年级周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平方差公式、添括号法则、完全平方公式辨析|结合图形辨析公式结构（如第5题小长方形拼图）| |填空题|6/18|公式变形求值、几何面积计算、新定义“智慧优数”|赵爽弦图面积应用（第16题）考查符号意识| |解答题|6/52|公式运算、实际问题（种植基地）、新定义探究（奇巧数）|22题用两种方法表示大正方形面积，强化模型思想与运算能力|

2026-2027学年八年级上学期数学周周测12 16.3 乘法公式 时间：45分钟 分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列各多项式中，不能用平方差公式分解的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各式添括号正确的是(    ) A. B. C. D. 3.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 4.小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项可能是(    ) A. B. 或 C. D. 或 5.如图所示的是由个全等的小长方形与个小正方形拼成的一个大正方形图案分别用，表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为，则下列关系式中错误的是(    ) A. B. C. D. 6.已知，，则(    ) A. B. C. D. 7.运用平方差公式计算时，下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如果，则一定成立的是(    ) A. 是的相反数 B. 是的倒数 C. 是的相反数 D. 是的倒数 9.已知，，则的值为  (    ) A. B. C. D. 10.如图所示的是某校八年级班的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八年级两个班级的基地面积若，，则(    ) A. B. C. D. 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如果，那么           ． 12.如图，两个正方形的边长分别为，已知，阴影部分的面积为，则的值为          ． 13.已知，，则的值为          ． 14.若，则的值为          ． 15.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”例如，当，时，，是一个“智慧优数”若将“智慧优数”从小到大排列，则第个“智慧优数”是          ． 16.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如图，且大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边的长为，较长直角边的长为如果将四个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放，那么图中大正方形的面积为          ． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.分 某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗长方形实验田每排种植株，种植了排正方形实验田每排种植株，种植了排，其中． 正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株 当，时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗 18.12分 阅读材料：，求，的值． 解：，， ，，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： 若，则          ，          ； 已知，求的值； 已知的三边长分别为，，，且满足，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测12 16.3 乘法公式 时间：45分钟 分值：70分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列各多项式中，不能用平方差公式分解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】平方差公式只能计算两个平方数相减的式子。选项C是两个平方相加取负，无法使用平方差公式分解，其余选项均可。故选C。 2.下列各式添括号正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】 ，故A项错误 ，故B项错误 ，故C项错误 易知项正确． 3.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】原式整理为 (x+2)的平方 减 (3y)的平方，展开后得到 x平方减9y平方加4x加4。故选A。 4.小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项可能是(    ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】D  【详解】，， ， 墨迹覆盖的这一项是， 故选 D． 5.如图所示的是由个全等的小长方形与个小正方形拼成的一个大正方形图案分别用，表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为，则下列关系式中错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】由题图可知大正方形图案的边长为，小正方形的边长为， ，，，故A，选项中的关系式正确 ，， ，， 得，， ，故C选项中的关系式错误 得，， ，故D选项中的关系式正确 故选C． 6.已知，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】 ， ， ， ． 故选D． 7.运用平方差公式计算时，下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】将x减2y看作整体，原式凑成整体减1、整体加1的平方差标准形式。故选C。 8.如果，则一定成立的是(    ) A. 是的相反数 B. 是的倒数 C. 是的相反数 D. 是的倒数 【答案】B  【详解】因为， 所以， 即 所以互为倒数． 9.已知，，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】利用平方差公式，m平方减n平方等于(m-n)(m+n)，代入数值可得2乘(m+n)等于2，解得m+n等于1。故选A。 10.如图所示的是某校八年级班的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八年级两个班级的基地面积若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】，， ， ， ， ， ， ． 故选C． 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如果，那么           ． 【答案】14 【详解】x加x分之一等于4，x平方加x平方分之一等于4的平方减2，结果为14。 12.如图，两个正方形的边长分别为，已知，阴影部分的面积为，则的值为          ． 【答案】  【详解】由题图可知， ， ， ， ， ，解得 故答案为． 13.已知，，则的值为          ． 【答案】  【详解】 解：， ， ， ． 故答案为：． 14.若，则的值为          ． 【答案】  【详解】， ， ， ， ， ． 15.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”例如，当，时，，是一个“智慧优数”若将“智慧优数”从小到大排列，则第个“智慧优数”是          ． 【答案】609 【详解】根据定义推出通项公式为6n+9，代入第100项，结果为609。 16.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如图，且大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边的长为，较长直角边的长为如果将四个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放，那么图中大正方形的面积为          ． 【答案】  【详解】在题图中，由题意， 得， 两式相减，得 在题图中，大正方形的面积为． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.分 某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗长方形实验田每排种植株，种植了排正方形实验田每排种植株，种植了排，其中． 正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株 当，时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗 【详解】 (1)解:依题意,得(3a-b)(3a+b)-=5+4ab-2. 答:正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗(5+4ab-2)株; (2)依题意,得(3a-b)(3a+b)+=13-4ab. 当a=5,b=2时,原式=13-452=. 答:该种植基地这两块实验田一共种植了285株豌豆幼苗. 18.12分 阅读材料：，求，的值． 解：，， ，，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： 若，则          ，          ； 已知，求的值； 已知的三边长分别为，，，且满足，求． 【详解】 (1)2;0  (2)∵x2+2y2+10y+25-2xy＝0， ∴(x-y)2+(y+5)2＝0， ∴x＝y，y＝-5， ∴xy＝(-5)×(-5)＝25．  (3)∵a2+b2-6a-8b+25＝0， ∴(a-3)2+(b-4)2＝0， ∴a＝3，b＝4．  当c最大时，c2＝a2+b2＝25； 当b最大时，c2＝b2-a2＝7．  综上所述，c2的值是25或7．  原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测12 16.3 乘法公式 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列各多项式中，不能用平方差公式分解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】平方差公式只能计算两个平方数相减的式子。选项C是两个平方相加取负，无法使用平方差公式分解，其余选项均可。故选C。 2.下列各式添括号正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】 ，故A项错误 ，故B项错误 ，故C项错误 易知项正确． 3.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】原式整理为 (x+2)的平方 减 (3y)的平方，展开后得到 x平方减9y平方加4x加4。故选A。 4.小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项可能是(    ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】D  【详解】，， ， 墨迹覆盖的这一项是， 故选 D． 5.如图所示的是由个全等的小长方形与个小正方形拼成的一个大正方形图案分别用，表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为，则下列关系式中错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】由题图可知大正方形图案的边长为，小正方形的边长为， ，，，故A，选项中的关系式正确 ，， ，， 得，， ，故C选项中的关系式错误 得，， ，故D选项中的关系式正确 故选C． 6.已知，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【详解】 ， ， ， ． 故选D． 7.运用平方差公式计算时，下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】将x减2y看作整体，原式凑成整体减1、整体加1的平方差标准形式。故选C。 8.如果，则一定成立的是(    ) A. 是的相反数 B. 是的倒数 C. 是的相反数 D. 是的倒数 【答案】B  【详解】因为， 所以， 即 所以互为倒数． 9.已知，，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】利用平方差公式，m平方减n平方等于(m-n)(m+n)，代入数值可得2乘(m+n)等于2，解得m+n等于1。故选A。 10.如图所示的是某校八年级班的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八年级两个班级的基地面积若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【详解】，， ， ， ， ， ， ． 故选C． 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如果，那么           ． 【答案】14 【详解】x加x分之一等于4，x平方加x平方分之一等于4的平方减2，结果为14。 12.如图，两个正方形的边长分别为，已知，阴影部分的面积为，则的值为          ． 【答案】  【详解】由题图可知， ， ， ， ， ，解得 故答案为． 13.已知，，则的值为          ． 【答案】  【详解】 解：， ， ， ． 故答案为：． 14.若，则的值为          ． 【答案】  【详解】， ， ， ， ， ． 15.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”例如，当，时，，是一个“智慧优数”若将“智慧优数”从小到大排列，则第个“智慧优数”是          ． 【答案】609 【详解】根据定义推出通项公式为6n+9，代入第100项，结果为609。 16.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如图，且大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边的长为，较长直角边的长为如果将四个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放，那么图中大正方形的面积为          ． 【答案】  【详解】在题图中，由题意， 得， 两式相减，得 在题图中，大正方形的面积为． 3、 解答题：本题共6小题,第17题6分，第18~20题每题8分，第21题10分，第22题12分，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（6分）计算： ． 【详解】 解：原式 原式 ． 18.分 某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗长方形实验田每排种植株，种植了排正方形实验田每排种植株，种植了排，其中． 正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株 当，时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗 【详解】 (1)解:依题意,得(3a-b)(3a+b)-=5+4ab-2. 答:正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗(5+4ab-2)株; (2)依题意,得(3a-b)(3a+b)+=13-4ab. 当a=5,b=2时,原式=13-452=. 答:该种植基地这两块实验田一共种植了285株豌豆幼苗.   19.分 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，，因此，，都是奇巧数． ，是奇巧数吗？为什么？ 设两个连续偶数为，其中为正整数，由这两个连续偶数构造的奇巧数是的倍数吗？为什么？ 【详解】 (1)∵36＝102-82， ∴36是奇巧数． 设两个连续偶数为m，m+2（m为偶数）， 则(m+2)2-m2＝50， 解得m＝11.5（不符合题意，舍去）． ∴50不是奇巧数．  (2)是． 理由如下： ∵(2n+2)2-(2n)2＝(2n+2+2n)(2n+2-2n)＝4(2n+1)， ∴由这两个连续偶数构造的奇巧数是4的倍数．  20.分 已知：整式，，为任意有理数． 的值可能为负数吗？请说明理由． 请通过计算说明：当是整数时，的值一定能被整除． 【详解】 （1）的值不可能为负数， 理由如下： ， ， ， 的值不可能为负数.  (2)， 是整数， 一定能被24整除， 当是整数时，的值一定能被24整除.  21.10分 阅读材料：，求，的值． 解：，， ，，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： 若，则          ，          ； 已知，求的值； 已知的三边长分别为，，，且满足，求． 【详解】 (1)2;0  (2)∵x2+2y2+10y+25-2xy＝0， ∴(x-y)2+(y+5)2＝0， ∴x＝y，y＝-5， ∴xy＝(-5)×(-5)＝25．  (3)∵a2+b2-6a-8b+25＝0， ∴(a-3)2+(b-4)2＝0， ∴a＝3，b＝4．  当c最大时，c2＝a2+b2＝25； 当b最大时，c2＝b2-a2＝7．  综上所述，c2的值是25或7．  22.分 如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图的大正方形． 观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法：           ； 方法：           ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式：           ． 已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求的值； 用一张型纸板和一张型纸板，拼成图所示的图形，若，，求图中阴影部分的面积． 【详解】 (1) （a+b）2 ; a2+2ab+b2; （a+b）2=a2+2ab+b2  (2)由题意， 得（a+b）2=a2+2ab+b2=49， a2+b2=25， ∴． (3)由题意，得图3中阴影部分的面积为， ∴当a+b=8，ab=15时， 图3中阴影部分的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期数学周周测12 16.3 乘法公式 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列各多项式中，不能用平方差公式分解的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各式添括号正确的是(    ) A. B. C. D. 3.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 4.小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项可能是(    ) A. B. 或 C. D. 或 5.如图所示的是由个全等的小长方形与个小正方形拼成的一个大正方形图案分别用，表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为，则下列关系式中错误的是(    ) A. B. C. D. 6.已知，，则(    ) A. B. C. D. 7.运用平方差公式计算时，下列变形正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如果，则一定成立的是(    ) A. 是的相反数 B. 是的倒数 C. 是的相反数 D. 是的倒数 9.已知，，则的值为  (    ) A. B. C. D. 10.如图所示的是某校八年级班的劳动实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示八年级两个班级的基地面积若，，则(    ) A. B. C. D. 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如果，那么           ． 12.如图，两个正方形的边长分别为，已知，阴影部分的面积为，则的值为          ． 13.已知，，则的值为          ． 14.若，则的值为          ． 15.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”例如，当，时，，是一个“智慧优数”若将“智慧优数”从小到大排列，则第个“智慧优数”是          ． 16.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如图，且大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较短直角边的长为，较长直角边的长为如果将四个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放，那么图中大正方形的面积为          ． 【答案】  3、 解答题：本题共6小题,第17题6分，第18~20题每题8分，第21题10分，第22题12分，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（6分）计算： ． 18.分 某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，两块实验田均种植了豌豆幼苗长方形实验田每排种植株，种植了排正方形实验田每排种植株，种植了排，其中． 正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株 当，时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗   19.分 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇巧数”，如，，，，因此，，都是奇巧数． ，是奇巧数吗？为什么？ 设两个连续偶数为，其中为正整数，由这两个连续偶数构造的奇巧数是的倍数吗？为什么？ 20.分 已知：整式，，为任意有理数． 的值可能为负数吗？请说明理由． 请通过计算说明：当是整数时，的值一定能被整除． 21.10分 阅读材料：，求，的值． 解：，， ，，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： 若，则          ，          ； 已知，求的值； 已知的三边长分别为，，，且满足，求． 22.分 如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图的大正方形． 观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法：           ； 方法：           ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式：           ． 已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求的值； 用一张型纸板和一张型纸板，拼成图所示的图形，若，，求图中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $