13.3 专题特训二 三角形中的数学思想方法&综合与实践1 确定平面图形的重心位置-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 专题特训二三角形中的数学思想方法 类型一方程思想 当题目中的几个角有确定的数量关系且直接运算不方便时，一般设出其中一个角，并用这个角表示出其他角，再 利用三角形的内角和列出方程求解 1.如图，在△ABC中，∠A=∠ACB,CD是△ACB的角平分线，CE是△ABC的高.若∠DCE= 48°，则∠ACB的度数为 ( A.28 B.29° C.30° D.32° D C (第1题》 (第3题) 2.在△ABC中，∠B=∠A一10°，∠C=∠B+20°，则∠B的度数为 3.如图，AD平分∠BAC,∠EAD=∠EDA,∠B=50°，∠CAD:∠E=1:3,∠E的度数 为 4.如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD交BD的延长线于点E,∠ABC=72°，∠C:∠ADB= 2:3,求∠BAC和∠DAE的度数. (第4题) 类型二转化思想 当所求角与题目中已知角不在同一三角形中时，通过作辅助线等方法将其转化到同一个三角形中，利用三角形 的内角和求解. 5.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数： (第5题) 12 第十三章三角形 类型三整体思想 将题目中几个相关联的角当作一个整体来进行运算，一般涉及与角平分线有关的运算： 6.如图，在△AOB中，AO1,BO1分别平分∠OAB,∠OBA,AO2,BO2分别平分∠OAO1, ∠OB01,若∠O=60°，则∠O2的度数为 () A.90° B.100° C.110° D.120° 0 4 (第6题) (第7题) 7.如图，∠ABD的邻补角∠DBE的平分线与∠ACD的邻补角∠DCF的平分线交于点I,∠A+ ∠D=160°，则∠I的度数为 8.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点E,D,F,G.若∠BFC=132°， ∠BGC=118°，求∠A的度数. B≤ (第8题)》 类型四 分类讨论思想 当题目中的三角形形状不确定或其内角之间的关系不确定时，需要对其分类讨论，再利用三角形的内角和求解. 9.定义：如果一个三角形的两个内角a与B满足α十2,8=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余 三角形” (1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠B=60°，则∠A= (2)如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°. ①若AD是∠BAC的平分线，则△ABD是“准互余三角形”吗？请说明理由. ②若E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，∠B=24°，求∠EAC的度数. (第9题) ●“答案与解析”见P7 13 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 综合与实践1确定平面图形的重心位置 1.在Z形薄板中建立如图所示的平面直角坐标系，其中x,y轴的单位长度都为1cm,则Z形薄板 的重心坐标为 y↑10cm 10cml 30 cm 10cm 30.cm 30 cm Z形薄板 (第1题) 2.向探究题阅读材料，并解决问题 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处 重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一 项目背景 点，这一点叫物体的重心.如图①，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线 B4 D 绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.关于三角形的重心还 ① 有哪些性质呢？ (1)如图②，AD是△ABC的中线，可以得到面积的大小关系为S△AD S△ACD (填“>”“<”或“=”) (2)如图③，△ABC被三条中线分成六个小三角形，点O为△ABC的重心，则BC OF (3)如图④，在△ABC中，点O是△ABC的重心，连接BO,CO并延长，分别交AC, 探究1 AB于点D,E.若BD⊥CE,BD=9,CE=12,则△AED的面积为 问题探究 ② 4 四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到 如下信息：①四边形有重心，如图⑤，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图 形A与图形B拼成一个图形C(无缝隙、不重叠)，那么图形C的重心一定在图形A的 重心与图形B的重心所连的直线上， 探究2 (4)如图⑥，请画出该图形重心所在的直线. ⑤ ⑥ 14 >“答案与解析”见P8180°+∠G..∠G=210°-180°=30°.由内、外角平分线 模型可知∠A=2∠G=60° 6.(1)①45°..'∠MON=90°，∠BAO=70°，∴.∠AB0= 20°.∴.∠ABN=180°-∠AB0=160°.：BC平分 ∠ABN,.∠ABC=是∠ABN=80.:AD平分 ∠BA0∠BAD-号∠BA0-35:∠D=∠ABC ∠BAD=45°.②不随，点A,B的运动而发生变化.理由： :由题意知，AD平分∠BAO,BC平分∠ABN, :∠BAD=∠BAO,∠CBA=号∠ABN.:∠CBA= ∠D+∠BAD,·.∠D=∠CBA-∠BAD=2∠ABN- 3∠BA0-是（∠ABN-∠BAO)-是∠MON. ∠MON=90°，.∠D=45°.∴.∠D的度数不随点A,B 的运动而发生变化.(2)由(1)②知，∠D=∠CBA ∠BAD.:∠CBA=3∠ABN,∠BAD=号∠BAO, 1 ·.∠D-3∠ABN-3∠BAO=子（∠ABN-∠BAO) 3∠M0N.∠M0N=90,.∠D=30.(3)2a. 由(1)②知，∠D=∠CBA-∠BAD=2∠ABN- ∠BA0-(∠ABN-∠BAO)=2∠MON=7a: y 专题特训二三角形中的数学思想方法 1.A由题意得，设∠A=2x,则∠ACB=2x,∠ACD= x,∴.∠CDB=∠A+∠ACD=3x.,'CE是△ABC的 高，∠DCE=48°，∴.∠CDB=90°-48°=42°，即3x=42°， 解得x=14°..∠ACB=2x=28. 2.50°设∠B=x,由题意可知，∠A=∠B+10°=x十 10°，∠C=∠B+20°=x+20°.由三角形内角和可知，x十 10°+x+x+20°=180°，解得x=50°..∠B=50°. 3.48°设∠CAD=x,则∠E=3x.:AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD=x.∴.∠EAD=∠ADE=∠B+ ∠BAD=50°+x.:'在△ADE中，∠E+∠ADE十 ∠DAE=180°，∴.3x+2(50°+x)=180°，解得x=16°. ∴.∠E=3x=48°. 4.设∠C=2x,则∠ADB=3x.BD平分∠ABC, ∠ABC=72°，∴.∠ABD=∠CBD=36.∠ADB ∠DBC+∠C,∴.3x=36°+2x,解得x=36°.∴.∠C 72°，∠ADB=108°.∴.∠BAC=180°-72°-72°=36. :AE⊥BE,.∠E=90°.：∠ADB=∠E+∠DAE, .∠DAE=108°-90°=18. 5.·∠AKG=∠A+∠B,∠DHG=∠C+∠D,∠FGK= ∠E+∠F,∠AKG,∠DHG,∠FGK是△GKH的外角， ∴.易得∠AKG+∠DHG+∠FGK=360°.∴.∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 6.A∠O+∠OAB+∠OBA=180°，.∠OAB+ ∠OBA=180°-∠O=180°-60°=120°.A01,B01分 别平分∠OAB,∠OBA,.∠O1AB=∠O1AO= 3∠0AB,∠0，BA=∠0，B0=3∠0BA.又：A0, B02分别平分∠OAO1,∠OBO1,.∠O2AO1= 3∠0，A0=∠0AB,∠0，B0,=7∠0，B0 ∠OBA.·∠0，AB+∠0，BA=∠0AB+ ∠0BA=子（∠0AB+∠0BM)=×120=90 .∠O2=180°-（∠02AB+∠O2BA)=180°-90°=90 7.100°：BI平分∠DBE,CI平分∠DCF,∴.可设 ∠IBD=∠IBE=x,∠ICD=∠ICF=y.易得x+y= ∠I+∠A①，∠D=180°-2x+180°-2y+∠A②，将① 代入②，得∠D=360°-2∠A-2∠I+∠A,∴.∠I= 180-2(∠A+∠D)=180°-2×160=102 8.'∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点E,D,F, G.∠CBG=∠EG=∠ABE=号∠ABC.∠CF ∠PCF=∠ACE=3∠ACB.在△BCG中，∠GC=1I8. ∴.∠CBG+∠BCE=180°-∠BGC=62..∠CBG+ 2∠BCF=62①.在△BCF中，∠BFC=132°，.∠BCF+ ∠CBF=180°-∠BFC=48°.∴.∠BCF+2∠CBG=48 ②.①+②，得3∠BCF+3∠CBG=110°.∴.∠A=180°- (3∠BCF+3∠CBG)=70°. 9.(1)15°.：△ABC是“准互余三角形”，∠C>90, ∠B=60°，∴.∠B+2∠A=90°.∴.∠A=15° (2)①△ABD是“准互余三角形”.理由：：AD是∠BAC 的平分线，∴.∠BAC=2∠BAD.,∠ACB=90°， .∠BAC+∠B=90°..2∠BAD+∠B=90°.∴.△ABD是 “准互余三角形”.②：△ABE是“准互余三角形”， ∴.∠EAB+2∠ABC=90°或2∠EAB+∠ABC=90°. :∠ABC=24°，.∠EAB=42或∠EAB=33.当 ∠EAB=42°，∠ABC=24°时，∠EAC=90°-∠ABC- ∠BAE=24°.当∠EAB=33°，∠ABC=24时，∠EAC= 90°-∠ABC-∠BAE=33°.综上所述，∠EAC的度数为 24或33° 综合与实践1确定平面图形的重心位置 1.(2,27)每个长方形的重心是对角线的交点，观察图 形，将Z形薄板拆分为3个长方形，长方形①（左上方横 条)：尺寸为长30cm(水平)，宽10cm(垂直)，重心坐标为 (-15,45),面积为30×10=300(cm);长方形②（中间竖 条)：尺寸为宽10cm(水平)，长40cm(垂直)，重心坐标为 (5,30),面积为10×40=400(cm);长方形③（右下方横 条)：尺寸为长30cm(水平)，宽10cm(垂直)，重心坐标为 (15,5),面积为30×10=300(cm).∴.总面积：300+ 400+300=1000(cm..重心的横坐标为 300×(-15)+400×5+300×15 1000 =2,纵坐标为 300×45+400×30+300X5=27..Z形薄板的重心坐标 1000 为(2,27). 2.(1)=.设△ABC边BC上的高为h.:AD是 △ABC的中线，：BD=CD.:Sam=号X BDXh,. 5m=×CDXh,Sam=5am:(22:点0 为△ABC的重心，∴.BE=AE,BD=CD,AF=CF. .S△YoE=S△0E,S△AaR=S△E,S△OF=S△oF,S△m= SAcm.∴.SAACE-S△AOE=SACE-S△OE,即S△A0c= S△c.同理可得SAC=S△OB,.S△C=S△Os= S△Ac.∴.2S△0n=2S△AOp=2SAOE..S△D=S△A0r SAoF=Stcon=SAAOE=S△op·∴.SA0c=2S△or· “品2《318如图①，造装40并廷长交优于 点F.:点O是△ABC的重心，∴.由(2)得BO:OD= 2:1,CO:OE=2:1.又BD=9,CE=12,.OD=3, B0=6,OE=4,C0=8.:BD⊥CE,S△c=2 B0X0D=3×6X8=245am=3×0Xp0=3× 1 1 6X4=12,SAmm=2XC0XD0=2X8X3=12, 1 1 Sam=2XE0XD0=2X4X3=6.由(2)得S△m0= S△40B=S△0C=24,∴.S△Ax=3S△c=72..S△ABm= 72-24-12-12-6=18.(4)如图②，直线MN即为所 求作. ① (第2题) 第十三章拔尖自主测评 1.C任意三根组合有2cm,4cm,5cm;2cm,4cm,9cm; 2 cm,4 cm,8 cm;2 cm,5 cm,9 cm;2 cm,5 cm,8 cm;2 cm, 9 cm,8 cm;4 cm,5 cm,9 cm;4 cm,5 cm,8 cm;4 cm,9 cm, 8cm:5cm,9cm,8cm十种情况.根据三角形的三边关系， 其中的2cm,4cm,5cm;2cm,9cm,8cm;4cm,5cm,8cm; 4cm,9cm,8cm;5cm,9cm,8cm能构成一个三角形 2.C由点在数轴上的位置，得AB=1-(-1)=2,BC= x一1，CD=7一x,由三角形三边关系，得 x-1+7-x>2①， 2十x一1>7一x②，其中不等式①恒成立，由不等式②， 2+7-x>x-1③， 得x>3,由不等式③，得x<5.∴.不等式组的解集是3< x5..x可能是4. 3C“AD是边BC的中线，BD=DC.:A5-2 BC=3 “0专：S-XABXDF=-XBDXAF, 1 1 DF BD 3 AE-AB4' 4.C如图，连接AD,过点C作CG⊥AB,垂足为G. :△ABC的面积为48，AB=AC=8,.2AB·CG=48 ∴.CG=12.DE⊥AB,DF⊥AC,△ABD的面积+ △ACD的面积=△ABC的面积，∴.AB·DE+AC·DF AB·CG.∴.DE+DF=CG=12.:DF=2DE, .DE=4. D C (第4题) 5.C如图，由题意，得∠5=180°-（∠1+∠2）=180° 2∠2，∠6=180°-（∠3+∠4）=180°-2∠3.∠a=70°， ∴.∠2+∠3=180°-∠a=110°.：∠3=180°-（∠5+ ∠6)，.∠3=180°-(180°-2∠2+180°-2∠3)= 2(∠2+∠3)-180°=2×110°-180°=220°-180°=40°. C (第5题)