15.3 第4课时 含30°角的直角三角形的性质&专题特训六 等腰三角形中的分类讨论-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第4课时含30°角的直角三角形的性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，AD⊥AB交BC于点D,AD=3,则BC的长为() A.8 B.9 C.10 D.11 D B∠ E (第1题) (第2题) 2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，边AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E,且∠C 15°.若AB=2cm,则EC的长为 cm. 3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC,交AD于点 E,交AC于点F.求证： (1)△AEF是等边三角形. (2)AE=2DE. (第3题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.如图，在△ABC中，AB=AC=11,∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分 线，DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长为 A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 (第4题) 5.在△ABC中，点D在BC上，且CD=CA,点E在CB的延长线上，且BE=BA. (1)如图①，若∠BAC=120°，AB=AC,求∠DAE的度数. (2)试探究∠DAE与∠BAC的数量关系，并证明. (3)如图②，若AB平分∠DAE,AC⊥CD于点C,求证：BE=2CD. B D ① (第5题)》 56 “答案与解析”见P35 第十五章轴对称 专题特训六 等腰三角形中的分类讨论 类型一腰与底不明时需分类讨论 1.等腰三角形的周长为14cm,其中一边长为4cm,则该等腰三角形的腰长为 () A.4cm B.5 cm C.4cm或5cm D.4cm或6cm 2.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A,B(格点为网格线的交点)，连接AB,在网格中再找 一个格点C,使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是 () A.2 B.3 C.4 D.5 B (第2题) (第3题) 3.如图，在平面直角坐标系中，A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取一点C,使得△ABC是以AB为 腰的等腰三角形，则满足条件的点C的个数是 () A.3 B.4 C.5 D.6 类型二顶角与底角不明时需分类讨论 4.若等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为 A.40° B.100° C.40或70 D.40°或100 类型三锐角与钝角不明时需分类讨论 5.若一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为() A.509 B.50或130 C.130° D.65或25 6.在等腰三角形ABC中，AB=AC,两腰的垂直平分线交于点P,∠BPC=100°，求∠BAC的 度数 “答案与解析”见P36 57∴.∠BAC=∠ACF=60°，∠FCG=∠B=60°.∴.△CFG 是等边三角形..CF=FG.又：∠ACF=∠BAC=60°， .∠FCN=∠G=60°.：FN⊥AC,FH⊥CG ∴.∠FNC=∠FHG=90°.∴.△NFC≌△HFG(AAS) ∴.NF=FH.又：AF=DF,.Rt△AFN≌Rt△DFH (HL),∴.∠FAN=∠FDH.设AC与DF交于点Q. :∠AQD=∠FAN+∠AFQ=∠FDC+∠ACD, .∠AFD=∠ACD=60°.又AF=DF,.△ADF是 等边三角形. 0 D ① ② (第8题) 9.(1):△ABC是等边三角形，.∠ABC=∠ACB 60°，即∠ABD+∠DBC=60°，∠ACD+∠BCD=60° ∠BDC=120°，∴.∠DBC+∠BCD=180°-120°=60°. ∴.易得∠ABD+∠ACD=60°..∠ACD=60° ∠ABD=60°-a.(2)AD=2DE.如图，延长CD至点 F,使DF-BD,连接BF,AF.延长DE至点G,使GE= DE,连接BG.∠BDC=120°，.∠BDF=180° ∠BDC=60°.DF=BD,∴.△BDF是等边三角形 ∴.BF=DF=BD,∠FBD=∠BFD=6O°.∴.∠ABF十 ∠ABD=60°.：∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°， .∠ABF=∠DBC.△ABC是等边三角形，∴.AB= BC.∴.△ABF≌△CBD(SAS).∴.AF=CD,∠BFA= ∠BDC=120°.∴.∠AFD=∠BFA-∠BFD=60°.，E 是BC的中点，∴.BE=CE.又：∠BEG=∠CED,GE= DE,.△BEG≌△CED(SAS.∴.BG=CD,∠GBE= ∠DCE.∴.BG=AF.:∠BDC=120°，.∠DCB+ ∠DBC=60°.∴.∠GBE+∠DBC=60°，即∠GBD=60°， ∴.∠GBD=∠AFD=60°.在△DFA和△DBG中， DF=DB ∠AFD=∠GBD,∴.△DFA≌△DBG(SAS).∴.AD= AF=GB, GD=DE十GE=2DE. E (第9题) 第4课时含30°角的直角三角形的性质 1.B.AB=AC,∴.∠B=∠C=30°..AB⊥AD, ∴.BD=2AD=2X3=6,∠B+∠ADB=90°..∠ADB= 60°.∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴.∠DAC=30°. ∴.∠DAC=∠C.∴.DC=AD=3.∴.BC=BD+DC= 6+3=9. 2.4如图，连接AE.∠B=90°，∠C=15°，∴.∠BAC= 90°-15°=75°.：边AC的垂直平分线交AC于点D,交 BC于点E,.AE=CE..∠DAE=∠C=15. .∠BAE=75°-15°=60°..∠AEB=30°.AB= 2cm,∴.AE=2AB=4cm∴.EC=4cm A D C E (第2题) 3.(1):∠BAC=90°，∠C=30°，∴.∠ABC=90°-30°= 60°.：AD⊥BC于点D,.∠ADB=90°.∴.∠BAD= 30°.∴.∠CAD=60°.又BF平分∠ABC,∴.∠ABF= ∠CBF=30°..∠AFB=∠C+∠CBF=60°. ∴.∠AEF=∠BAD+∠ABF=60°..∠CAD= ∠AFB=∠AEF=60°.∴.△AEF是等边三角形. (2)由(1)知，△AEF是等边三角形，∴.EF=AE, ∠BED=∠AEF=60°.AD⊥BC,∴.∠EBD=30° .2ED=BE.又.∠BAD=∠ABF=30°，∴.BE=AE. .∴.AE=2DE. 4.CAB=AC,AD是△ABC的中线，.∴.AD⊥BC, ∠BAD=∠CAD.∴.∠ADB=90°.：∠BAC=120°， ∴∠BAD=60°.：AE是∠BAD的平分线，∴.∠DAE= ∠EAB=30°.：'DF∥AB,∴.∠F=∠BAE=30° ∴.∠DAF=∠F=30°.∴.AD=DF.AB=11,∠B= 30°，∴.AD=5.5..DF=5.5. 5.(1):∠BAC=120°，AB=AC,∴.∠C=∠ABC= 2180-∠BAC)=30::CD=CA.∠CAD- ∠CDA-号(180°-∠C)=75·∠BAD=∠BAC ∠CAD=45°.：BE=BA,∴.∠E=∠BAE.∠ABC= ∠E+∠BAE=2∠BAE,∴.2∠BAE=30°.∴.∠BAE= 15°.∴.∠DAE=∠BAE+∠BAD=15°+45=60. (2)∠BAC=2∠DAE.CD=CA,.设∠CAD= ∠CDA=a.BE=BA,∴.设∠E=∠BAE=B. ∴.∠ABD=∠E+∠BAE=2B.'∠CDA=∠ABD+ ∠DAB,∴.∠DAB=∠CDA-∠ABD=a-2R. ∴.∠BAC=∠DAB+∠CAD=&-23+a=2(a-B).又 ∠DAE=∠BAE+∠DAB=B+a-23=a-B, .∠BAC=2∠DAE.(3)AB平分∠DAE,∴.设 ∠BAE=∠BAD=0.BE=BA,..∠E=∠BAE=0. ∴.∠ABD=∠E+∠BAE=2A.CD=CA,AC⊥CD, ∴.△CAD是等腰直角三角形.∴.∠ADC=45°.又 :∠ADC=∠ABD+∠BAD=30,∴.39=45°.∴.0 15°..∠ABD=28=30°.在Rt△ABC中，.∠ABD= 30°，∴.BA=2CA.:CD=CA,BE=BA,∴.BE=2CD, 专题特训六等腰三角形中的分类讨论 1.C分两种情况讨论：①当腰长为4cm时，则另两边长 分别为4cm,6cm,:4十4>6，∴.能组成三角形.②当底 边长为4cm时，另两边长分别为5cm,5cm,,'4+5>5, ∴.能组成三角形.∴.该等腰三角形的腰长为4cm或 5 cm. 2.B如图，分两种情况讨论：①AB为等腰直角三角形 ABC的底边时，符合条件的格点C有0个；②AB为等腰 直角三角形ABC的一条腰时，符合条件的格点C有3个. 综上所述，满足条件的格点C的个数是3. C C B (第2题) 3.A·'△ABC是以AB为腰的等腰三角形，∴.有以下 两种情况：①当AB=AC时，如图①，以点A为圆心，AB 长为半径作圆，与坐标轴有三个交点，分别是B(4,0), O(0,0),C(0,4),其中点C,A,B在同一条直线上，不能构 成三角形，∴满足以AB为腰的等腰三角形ABC有1个， 即△ABO.②当BC=AB时，如图②，以点B为圆心，AB 长为半径作圆，与坐标轴有两个交点C,C2,∴.满足以AB 为腰的等腰三角形ABC有2个，即△ABC,和△ABC2.综 上所述，满足条件的点C的个数是3. O C 0 ------B x ① ② (第3题) 4.D当这个内角为顶角时，则顶角的度数为40°：当这个 内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角的度数为 180°一40°一40°=100°.综上所述，这个等腰三角形顶角的 度数为40或100°. 3 5.D在等腰三角形ABC中，AB=AC,BD为腰AC上的 高，∠ABD=40°.分两种情况讨论：如图①，当BD在 △ABC内部时，：BD为高，∴.∠ADB=90 ∴.∠BAD=90°-40°=50°.AB=AC,.∠ABC= ∠ACB=号X180°-50)=65.如图②，当BD在△MBC 外部时，：BD为高，∴.∠ADB=90°.∴.∠BAD=90° 40=50°.：AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB.:∠BAD= ∠ABC+∠ACB,∠ACB=7∠BAD=25:综上所述， 这个等腰三角形底角的度数为65°或25°. C B C ② (第5题) 6.分两种情况：①如图①，当点P在△ABC内部时，连接 AP.两腰的垂直平分线交于点P,∴AP=BP=CP. ∴.∠CAP=∠ACP,∠BAP=∠ABP.:'∠BAC= ∠BAP+∠CAP,∴.∠BAP+∠CAP+∠ACP+∠ABP= 2∠BAC.∠BPC=100°，∴.∠BPA+∠CPA=360°- 100°=260°.：∠BPA+∠CPA+2∠BAC=360°， ∴∠BAC=50°.如图②，当点P在△ABC外部时，连接 AP.由题意得，AP=BP=CP,.∠PAC=∠PCA, ∠PBA=∠PAB..∴.∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC= 2∠BAC.:∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC+∠BPC= 360°，∠BP℃=100°，.∴.2∠BAC=360°-100°=260° ∴.∠BAC=130°.综上所述，∠BAC的度数为50或130°. ① (第6题) 专题特训七构造等腰三角形的常用方法 1.解法一：如图①，在DC上截取DE=BD,连接AE. ∴.DC=CE+DE=CE+BD..·DC=AB+BD, ∴.AB+BD=CE十BD..∴.AB=CE.·AD⊥BC于点 D,∴.∠ADE=∠ADB=90°.在Rt△ACD中，∠C=26°， ∴.∠DAC=90°-∠C=64°.在△ADE和△ADB中， (DE=DB, ∠ADE=∠ADB=90°，.△ADE≌△ADB(SAS). AD-AD,